徒步旅行中的补给问题 | 豆包MarsCode AI刷题

问题描述

小R正在计划从地点A到地点B的徒步旅行，总路程需要 N 天。在旅途中，每天小R需要消耗 1 份食物。每一天都会经过一个补给站，且每个补给站的食物价格可能不同。小R最多只能携带 K 份食物，因此，他需要在旅行过程中合理安排补给，确保每天有足够的食物，并尽可能地以最小的花费完成旅行。

现在，我们的目标是帮助小R计算出最小的花费，确保他在整个旅程中每天都能有足够的食物，并且不会超出最多携带的食物数量。

输入与输出

• 输入：

  • n: 旅行的天数。
  • k: 小R最多能够携带的食物数量。
  • data: 每个补给站的食物价格（一个长度为 n 的列表）。

• 输出：

  • 最低的花费。

示例

• 输入：n = 5, k = 2, data = [1, 2, 3, 3, 2]

  • 输出：9

• 输入：n = 6, k = 3, data = [4, 1, 5, 2, 1, 3]

  • 输出：9

• 输入：n = 4, k = 1, data = [3, 2, 4, 1]

  • 输出：10

解题思路

1. 问题分析：

   • 小R每一天都需要消耗1份食物。
   • 每一天会经过一个补给站，食物价格不固定，且小R最多携带K份食物。
   • 我们的任务是确保小R能够在旅程中每天都有食物，并且以最低的花费完成旅行。

2. 关键点：

   • 在旅程中，前几天可能需要提前购买食物，以应对后续几天食物价格较高的情况。
   • 小R每次购买食物时，必须确保不会超过最多携带的食物数量 K。

3. 动态规划： 我们可以通过动态规划来求解这个问题。假设 dp[i] 代表在第 i 天结束时，小R手上剩余食物的数量。我们的任务就是最小化花费，同时保证在每一天都能满足食物需求。

   • 初始状态：在第一天时，小R携带了 K 份食物，无需额外花费，dp[k] = 0。
   • 状态转移：对于每一天，小R可以选择购买一定数量的食物。我们根据购买食物的数量来更新花费，确保每天都能消耗完 1 份食物。

4. 状态转移方程： 对于每一天，我们通过状态转移更新当前持有食物的数量，并计算对应的花费。

5. 时间复杂度： 由于每一天我们都需要考虑所有可能的购买数量，因此时间复杂度为 O(n * k^2)，其中 n 是旅行天数，k 是最大携带食物数量。

6. 空间复杂度： 由于我们只需要一个 dp 数组来存储状态，空间复杂度为 O(k)。