小L的元素修改问题|豆包MarscodoeAI刷题
一、问题解析
1. 问题描述
小R有一个长度为 ( n ) 的数组 ( a )，她可以进行如下操作：
- 每次操作选择两个元素，一个加1，另一个减1。
她的目标是使数组中的每个元素都在区间 ([l, r]) 内。她想知道，最少需要多少次操作才能达到目标。如果无法在有限次操作内完成，返回 (-1)。
2. 示例分析
样例1：
- 输入： ( n = 2, l = 3, r = 5, a = [1, 2] )
- 输出： (-1)
- 分析： 数组总和为3，目标最小总和为6，无法达到。
样例2：
- 输入： ( n = 3, l = 4, r = 6, a = [3, 6, 5] )
- 输出： (1)
- 分析： 只需将第一个元素增加1。
样例3：
- 输入： ( n = 4, l = 2, r = 8, a = [1, 10, 2, 6] )
- 输出： (2)
- 分析： 需要将第一个元素增加1，第二个元素减少2。
二、解题思路
方法一：贪心算法
1. 总和判定
- 总和不变性： 每次操作不改变数组总和。
- 可行性判断： 总和必须在 n * l和 n * r 之间。
2. 计算需要调整的总量
- 需要增加的总量 increase_sum： 对于 ai < l ，累加 l -ai 。
- 需要减少的总量 decrease_sum： 对于 ai > r ，累加 ai - r 。
3. 最少操作次数
- 操作次数： max(increase_sum,decrease_sum)
4. 解题代码
def solution(n: int, l: int, r: int, a: list) -> int:
total = sum(a)
min_sum = n * l
max_sum = n * r
# 检查总和是否在可行范围内
if total < min_sum or total > max_sum:
return -1
# 计算需要增加和减少的总量
total_increase = sum(l - x for x in a if x < l)
total_decrease = sum(x - r for x in a if x > r)
# 返回最小操作次数
return max(total_increase, total_decrease)
# 测试代码
if __name__ == '__main__':
print(solution(n=2, l=3, r=5, a=[1, 2]) == -1)
print(solution(n=3, l=4, r=6, a=[3, 6, 5]) == 1)
print(solution(n=4, l=2, r=8, a=[1, 10, 2, 6]) == 2)
方法二：最小费用最大流
1. 构建流网络
- 源点和汇点： 增加源点 ( S ) 和汇点 ( T )。
- 节点表示： 每个数组元素对应一个节点。
2. 边的设置
- 源点到每个节点的边： 容量无限，费用为0。
- 节点之间的边： 对于每对元素，设置双向边，容量无限，费用为1（对应一次操作）。
- 节点到汇点的边： 调整到 ( l ) 或 ( r ) 所需的容量和费用。
3. 求解最小费用最大流
- 目标： 使得所有节点满足元素在 ([l, r]) 范围内，最小化总费用。
4. 解题代码
def solution(n: int, l: int, r: int, a: list) -> int:
from collections import deque
INF = float('inf')
class Edge:
def __init__(self, to, rev, capacity, cost):
self.to = to
self.rev = rev
self.capacity = capacity
self.cost = cost
def add_edge(graph, fr, to, capacity, cost):
graph[fr].append(Edge(to, len(graph[to]), capacity, cost))
graph[to].append(Edge(fr, len(graph[fr])-1, 0, -cost))
def min_cost_flow(graph, s, t, f):
n = len(graph)
prevv = [0]*n
preve = [0]*n
res = 0
h = [0]*n # 潜在值
while f > 0:
dist = [INF]*n
dist[s] = 0
inqueue = [False]*n
que = deque()
que.append(s)
while que:
v = que.popleft()
inqueue[v] = False
for i, e in enumerate(graph[v]):
if e.capacity > 0 and dist[e.to] > dist[v] + e.cost + h[v] - h[e.to]:
dist[e.to] = dist[v] + e.cost + h[v] - h[e.to]
prevv[e.to] = v
preve[e.to] = i
if not inqueue[e.to]:
que.append(e.to)
inqueue[e.to] = True
if dist[t] == INF:
return -1 # 无法再增加流量
for v in range(n):
h[v] += dist[v]
d = f
v = t
while v != s:
d = min(d, graph[prevv[v]][preve[v]].capacity)
v = prevv[v]
f -= d
res += d * h[t]
v = t
while v != s:
e = graph[prevv[v]][preve[v]]
e.capacity -= d
graph[v][e.rev].capacity += d
v = prevv[v]
return res
# 构建图
S = 0
T = n + 1
V = T + 1 # 总节点数
graph = [[] for _ in range(V)]
# 检查总和是否在可行范围内
total = sum(a)
min_sum = n * l
max_sum = n * r
if total < min_sum or total > max_sum:
return -1
# 添加边
for i in range(n):
# 从源点到节点 i+1
add_edge(graph, S, i+1, a[i] - l, 0)
# 从节点 i+1 到汇点
add_edge(graph, i+1, T, r - l, 0)
# 节点之间的边
for i in range(n):
for j in range(n):
if i != j:
add_edge(graph, i+1, j+1, INF, 1)
# 需要的总流量
required_flow = total - n * l
# 计算最小费用流
res = min_cost_flow(graph, S, T, required_flow)
return res
# 测试代码
if __name__ == '__main__':
print(solution(n=2, l=3, r=5, a=[1, 2]) == -1)
print(solution(n=3, l=4, r=6, a=[3, 6, 5]) == 1)
print(solution(n=4, l=2, r=8, a=[1, 10, 2, 6]) == 2)
方法三：排序与双指针
1. 排序数组
- 将数组按元素大小排序。
2. 双指针调整
- 左指针 ( i )： 指向需要增加的元素。
- 右指针 ( j )： 指向需要减少的元素。
3. 调整过程
- 步骤：
- 如果 ( ai < l )，则增加 ( ai )，操作次数累加。
- 如果 ( aj > r )，则减少 ( aj )，操作次数累加。
- 移动指针，直到所有元素在范围内。
4. 解题代码
def solution(n: int, l: int, r: int, a: list) -> int:
total = sum(a)
min_sum = n * l
max_sum = n * r
# 检查总和是否在可行范围内
if total < min_sum or total > max_sum:
return -1
# 初始化操作次数
operations = 0
# 将需要增加和减少的元素分别存储
increase = []
decrease = []
for num in a:
if num < l:
increase.append(l - num)
elif num > r:
decrease.append(num - r)
# 排序
increase.sort()
decrease.sort()
i = 0 # increase指针
j = 0 # decrease指针
while i < len(increase) and j < len(decrease):
# 每次操作，将一个需要增加的元素和一个需要减少的元素调整
move = min(increase[i], decrease[j])
operations += move
increase[i] -= move
decrease[j] -= move
if increase[i] == 0:
i += 1
if decrease[j] == 0:
j += 1
# 处理剩余的增加或减少操作
operations += sum(increase[i:])
operations += sum(decrease[j:])
return operations
# 测试代码
if __name__ == '__main__':
print(solution(n=2, l=3, r=5, a=[1, 2]) == -1)
print(solution(n=3, l=4, r=6, a=[3, 6, 5]) == 1)
print(solution(n=4, l=2, r=8, a=[1, 10, 2, 6]) == 2)
三、思考过程中的问题与AI的帮助
在解题过程中，我对方法二的最小费用最大流有些疑惑，不确定如何构建流网络模型。这时，我请教了MascodeAI助手。
我问AI：
如何将这个问题建模为最小费用最大流问题？
AI解答：
要将这个问题转化为最小费用最大流，可以按以下步骤：
-
节点设置：
- 源点 ( S )： 总供给点。
- 汇点 ( T )： 总需求点。
- 元素节点 ( i )： 每个数组元素对应一个节点。
-
边的设置：
-
从源点到每个元素节点：
- 容量： ai
- 费用： 0
-
从每个元素节点到汇点：
- 容量： ( r - l )
- 费用： 0
-
元素节点之间的边：
- 对于所有 i!=j，建立边i → j
- 容量： 无限
- 费用： 1（对应一次操作的代价）
-
-
需求与供给：
- 总供给： ∑ai
- 总需求： n×目标范围中的某个值
-
目标：
- 最小化总费用，使得流量满足总需求。
AI的帮助让我理解了如何构建流网络模型，并成功应用最小费用最大流算法求解。
四、知识总结
1. 贪心算法
- 应用场景： 问题具有最优子结构和贪心选择性质。
- 本题应用： 通过计算需要增加和减少的总量，直接得出最少操作次数。
2. 流网络算法
- 最小费用最大流： 在满足流量需求的前提下，最小化总费用。
- 应用： 适用于复杂的资源分配和调度问题。
3. 排序与双指针
- 优势： 简化问题，降低时间复杂度。
- 局限性： 可能无法处理所有情况，需要具体分析。
五、学习计划
1. 制定详细的刷题计划
-
每日目标：
- 数量： 每天至少完成3道算法题。
- 类型： 包含不同算法类型，如贪心、动态规划、图论等。
-
周总结：
- 回顾错题： 统计一周内的错题，分析错误原因。
- 知识巩固： 针对薄弱环节，重点复习相关知识点。
2. 利用错题进行针对性学习
-
错题本：
- 记录错题： 将错题及解题思路记录下来。
- 标注难点： 特别标注不理解的地方，便于复习。
-
定期复习：
- 频率： 每周复习两次错题本。
- 方法： 重新尝试解答，巩固记忆。
3. 阶段性目标
-
短期目标（1个月）：
- 熟练掌握常用算法和数据结构。
- 提高解题速度和准确性。
-
中期目标（3个月）：
- 能够独立解决中等难度的算法题。
- 开始接触高级算法，如线段树、字典树等。
-
长期目标（6个月及以上）：
- 掌握各类高级算法，具备参加算法竞赛的能力。
- 能够在面试中自如应对算法问题。
六、工具运用
1. 巧用豆包MarsCode AI刷题功能
-
即时反馈：
- 优势： 立即获取解题结果，知道对错。
- 应用： 在完成每道题后，立即提交，获取反馈。
-
解析与提示：
- 优势： 提供详细的题目解析和解题思路。
- 应用： 当遇到困难时，参考AI的提示，理清思路。
2. 结合其他学习资源
-
算法教材：
- 推荐： 《算法导论》、《剑指Offer》。
- 应用： 配合教材学习理论知识，加深理解。
-
在线课程：
- 平台： Coursera、慕课网等。
- 应用： 系统性地学习算法和数据结构。
3. 参与讨论与交流
-
论坛和社区：
- 平台： LeetCode讨论区、CSDN论坛等。
- 应用： 提出疑问，参与讨论，学习他人思路。
-
学习小组：
- 方式： 加入或组建学习小组，定期交流。
- 应用： 互相监督，共同进步。
4. 实践与项目
-
小项目练习：
- 目标： 将算法应用于实际项目中。
- 应用： 开发简单的算法应用，如排序可视化工具。
-
竞赛参与：
- 平台： Codeforces、牛客网等。
- 应用： 参加编程竞赛，提高实战能力。
七、总结
通过对“小R的元素修改问题”的多种解法研究，我不仅学到了贪心算法的应用，还了解了最小费用最大流等高级算法的建模方法。在学习过程中，遇到不懂的地方，及时向AI求助，解决了疑惑。未来的学习中，我将制定详细的计划，合理利用工具和资源，持续提升自己的算法能力。
