数组元素之和最小化

我们需要构造一个包含 n 个元素的数组，且满足以下条件：

1. 数组中的所有元素两两不同。
2. 数组所有元素的最大公约数（GCD）为 k。
3. 数组元素之和尽可能小。

思路

为了满足上述条件，首先可以考虑以下几个关键点：

• 最大公约数为 k：这意味着数组中的每个元素都应该是 k 的倍数。如果数组元素是 ka1,ka2,…,k*an，那么这些元素的最大公约数将是 k（前提是 a1,a2,…,an的最大公约数为 1）。
• 元素两两不同：为了保证元素不同，可以选择不同的 ai 值。
• 元素之和尽可能小：为了使数组的元素和尽可能小，我们希望选择最小的 ai值（且保证它们的最大公约数为 1）。

解决方案

1. 选择最小的 ai 值：我们希望选择从 1 开始的连续自然数作为 ai，即选择 a1=1,a2=2,…,an=n。因为这保证了所有 ai 两两不同。

2. 计算数组元素的和：数组中的元素将是 k1,k2,…,k*n。因此，数组元素的和为：

   k*(1+2+3+⋯+n)

   其中，1 到 n 的和可以通过求和公式计算：

   sum=n*(n+1)/2

   因此，数组的元素之和为：

   最小和=kn(n+1)/2

代码提示

   # 初始化一个数组用于存储选中的元素
   selected_elements = []
   
   # 从 k 开始，依次选择 k 的倍数，直到选满 n 个元素
   current_value = k
   while len(selected_elements) < n:
       # 如果当前值不在数组中，则添加到数组中
       if current_value not in selected_elements:
           selected_elements.append(current_value)
       # 增加当前值，使其成为下一个 k 的倍数
       current_value += k
   
   # 计算这些元素的和
   result = sum(selected_elements)
   
   return result

其中主要处理方式为：

• current_value = k 表示从 k 开始，逐个检查 k 的倍数。
• while len(selected_elements) < n: 循环会持续进行，直到数组中有 n 个不同的元素。
• if current_value not in selected_elements: 检查当前值是否已经在数组中。这个条件保证每个元素在数组中都是唯一的（即没有重复元素）。如果当前值不在数组中，就将其添加到 selected_elements 中。
• current_value += k 表示增加 k，使 current_value 成为下一个 k 的倍数。

存在问题

1. if current_value not in selected_elements 的效率问题:

   • 每次检查 current_value 是否在 selected_elements 中，时间复杂度是O(n)。
   • 如果 n 很大，这种方法的效率较低，因为它会导致多次遍历 selected_elements 数组。

2. 不需要检查重复值:

   • 因为我们是按顺序从k,2k,3k,… 选择元素，每个元素都是唯一的，所以不需要再检查是否已存在于数组中。
   • 我们可以直接将每个新的 k 的倍数添加到 selected_elements 中，直到选满 n 个元素。

解决方法

# 直接通过范围选择前 n 个 k 的倍数 
selected_elements = [k * i for i in range(1, n + 1)] 
# 计算和 
return sum(selected_elements)

通过列表推导式，我们直接生成了 n 个 k 的倍数，即 k * 1, k * 2, ..., k * n。这个方法不仅简洁，而且避免了多次检查重复元素，这样效率更高，适应性更强。