【MATLAB】 1.1 序列的卷积运算

一 基本概念

离散卷积

对于线性时不变系统（Linear Time-Invariant System，或 L.T.I 系统），输入和输出之间的关系为：当系统输入序列为 $x(n)$，系统的单位脉冲响应为 $h(n)$，则系统输出为 $y(n)$：

$y(n) = \sum_{m=-\infty}^{+\infty} x(m) h(n - m) = x(n) * h(n)$

或者 $y(n) = \sum_{m=-\infty}^{+\infty} h(m) x(n - m) = h(n) * x(n)$

上述公式称为离散卷积或线性卷积。

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Q：为什么更换了x(n)为h(n)却没有影响呢？

A：卷积运算具有交换性（也称为对称性），即对于任何两个序列 $x(n)$ 和 $h(n)$，等式成立：$x(n) * h(n) = h(n) * x(n)$，卷积的运算结果是对两个序列之间的“重叠”求和，所以无论我们先将 $x(n)$ 反转并平移，再与 $h(n)$ 相乘；还是先将 $h(n)$ 反转并平移，再与 $x(n)$ 相乘，最后的结果都是一样的。

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二 基本例题

用MATLAB计算序列 {-2 0 1 –1 3} 和序列 {1 2 0 -1} 的离散卷积

代码区：

% 定义两个序列
x = [-2 0 1 -1 3];  % 序列 x，表示第一个输入序列
h = [1 2 0 -1];     % 序列 h，表示第二个输入序列

% 计算卷积
y = conv(x, h);     % 使用 MATLAB 的 conv 函数计算序列 x 和 h 的离散卷积

% 显示结果
disp('两个序列的离散卷积结果为:');       % 显示提示文本，说明以下输出为卷积结果
disp(y);                             % 显示卷积结果 y

% 绘制卷积结果
figure;                   % 创建一个新图形窗口
stem(y, 'filled');        % 使用 stem 函数绘制离散卷积结果，并用填充点表示每个值
title('序列的离散卷积');    % 设置图形标题
xlabel('n');              % 设置 x 轴标签为 'n'，表示离散序列的索引
ylabel('Amplitude');      % 设置 y 轴标签为 'Amplitude'，表示幅度
grid on;                  % 打开网格显示，使图形更清晰

截屏区：