【贪心算法】[No.126]数组重排最小化差值｜豆包MarsCode AI 刷题题干部分：问题描述小C 和小U

题干部分：

问题描述

小C 和小U 有两个数组，分别是 a 和 b，它们的长度相同。小U 想通过重新排列数组 a 的元素，来最小化 a 和 b 之间的差异。具体来说，他们要最小化所有元素差值绝对值之和，即 sum(abs(a[i] - b[i]))。
你能帮助小C 和小U 找到这个最小化的值吗？

测试样例

样例1：

输入：a = [2, 1, 3, 2], b = [5, 2, 4, 2]
输出：5

样例2：

输入：a = [1, 4, 6], b = [2, 5, 7]
输出：3

样例3：

输入：a = [1, 9, 6], b = [2, 5, 7]
输出：4

题目分析

若想达到数组差值的最小化，可以优先考虑求数组中每组元素差值绝对值较小值的和。即考虑通过贪心算法对该题目进行求解。由于贪心算法的证明较难，不妨先尝试采取贪心算法的解题策略对该题进行尝试求解。当然，我也会给出自己的证明理解。

题目解答

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>//原题中的string头文件无用，故进行了舍弃

using namespace std;

long long solution(vector<int> a, vector<int> b) {
    sort(a.begin(), a.end());
    sort(b.begin(), b.end());
    
    long long ans = 0;
    for (int i = 0; i < a.size(); ++i) {
        ans += abs(a[i] - b[i]);
    }
    
    return ans;
}

int main() {
    vector<int> a1 = {2, 1, 3, 2}, b1 = {5, 2, 4, 2};
    vector<int> a2 = {1, 4, 6}, b2 = {2, 5, 7};
    vector<int> a3 = {1, 9, 6}, b3 = {2, 5, 7};
    
    cout << (solution(a1, b1) == 5) << endl;
    cout << (solution(a2, b2) == 3) << endl;
    cout << (solution(a3, b3) == 4) << endl;
    
    return 0;
}

提交代码，发现解题成功，该题目使用贪心算法求解是有效的。

算法证明

假设 a 和 b 已经排序，并且 a[i] 和 b[i] 匹配。我们需要证明： $sum_{i=1}^{n} |a[i] - b[i]| <= sum_{i=1}^{n} |a[i] - b[j]|$

其中 j 是任意排列。即证明，表示在数组 a 和 b 已经排序的情况下，按顺序匹配 a[i] 和 b[i] 的差值总和小于等于任何其他匹配方式的差值总和。

具体证明步骤

排序的必要性：
- 假设我们不对数组 a 和 b 进行排序，而是直接计算差值。由于 abs(a[i] - b[i]) 的值取决于 a[i] 和 b[i] 的相对大小，如果不排序，可能会出现某些 a[i] 和 b[i] 的差值较大的情况，从而导致总差值较大。
- 通过排序，我们可以确保 a[i] 和 b[i] 在相对大小上尽可能接近，从而最小化差值。
贪心选择性质：
- 假设我们有一个最优解，其中 a 和 b 的元素没有按顺序匹配。我们可以通过交换 a 和 b 中的元素，使得 a[i] 和 b[i] 的差值更小。
- 具体来说，假设 a 和 b 已经排序，但 a[i] 和 b[j] 匹配，其中 i != j。我们可以通过交换 a[i] 和 a[j] 或 b[i] 和 b[j]，使得 a[i] 和 b[i] 匹配，从而减少差值。
最优子结构性质：
- 假设我们已经对 a 和 b 进行了排序，并且按顺序匹配它们。对于每个 i，a[i] 和 b[i] 的差值是独立的，不会影响其他 a[j] 和 b[j] 的差值。
- 因此，通过按顺序匹配 a 和 b，我们可以确保每个 a[i] 和 b[i] 的差值最小，从而使得总差值最小。

至此，我们成功证明了贪心算法的正确性。

题目总结

当我们在解题过程中遇到一些疑似使用贪心算法求解，且自己对其他解法毫无思路的题目时，不妨使用贪心算法进行尝试，或许你的直觉就是正确的。

【贪心算法】[No.126]数组重排最小化差值 ｜ 豆包MarsCode AI 刷题