(及格的组合方式探索)讲解 | 豆包MarsCode AI刷题记忆化搜索详解及格的组合方式探索 ,这道题目要求计算小S

题目分析

小S的目标是计算课程组合中满足平均分不低于60分的所有情况。对于每门课程，最高分为100，最低分为0，步进为5（每题5分，满分20题），这形成了一系列可能的得分组合。我们很容易想到通过dfs暴力枚举组合的方法来解决这道问题 , 但是很显然 , 时间复杂度不允许 , 注意 , 这里有一个细节 : 结果是返回方案数 , 而不是具体的方案 , 很显然 , 这是一个动态规划/记忆化搜索的组合问题

我们这里采用记忆化搜索的方式解决这道题()

第一步

我们先用普通做法 : 使用dfs爆搜来实现这道题

思路

递归构建组合：
- 从第1门课开始，递归地为每门课选择分数，选择范围是 {0, 5, 10, ..., 100}。对于每种分数，将其累加到总分 sum 并递归地处理下一门课程。
递归终止条件：
- 当递归深度等于课程总数（即 n + 3），判断累计分数 sum 是否达标（即总分是否不低于 60 * (n + 3)）。
- 如果达标，返回 1 表示这是一个有效的组合，否则返回 0。

结果累加：

每次递归返回时累加有效组合数，并在每次递归中对结果取模 202220222022，避免溢出。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const long Mod = 202220222022;

string solution(int n) {
   n += 3;  // 加上3门必修课

   // 非记忆化的DFS函数
   auto dfs = [&](auto&& dfs, int i, long long sum) -> long long {
       // 递归终止条件
       if (i == n)
           return sum >= 60 * n;  // 判断是否达标，达标返回1，不达标返回0

       long long ans = 0;
       // 遍历分数的选择：0, 5, 10, ..., 100
       for (int j = 0; j <= 100; j += 5) {
           ans = (ans + dfs(dfs, i + 1, sum + j)) % Mod;  // 递归求解下一门课程
       }

       return ans;
   };

   // 调用DFS并返回最终结果
   return to_string(dfs(dfs, 0, 0) % Mod);
}

int main() {
   cout << (solution(3) == "19195617") << endl;
   cout << (solution(6) == "135464411082") << endl;
   cout << (solution(49) == "174899025576") << endl;
   cout << (solution(201) == "34269227409") << endl;
   cout << (solution(888) == "194187156114") << endl;

   return 0;
}

第二步

对题目分析得 , 在dfs的搜索过程中 , 其中很多中间状态是会重复到达的 , 所以我们可以进行记忆化

记忆化搜索：
- 为避免重复计算，dp[i][sum] 用于缓存递归结果。如果已经计算过，则直接返回缓存值。
取模运算：
- 每次更新时对结果取模 202220222022，以避免数据溢出并满足题目要求。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const long  Mod = 202220222022;

string solution(int n) {
    int mask[101];
    vector<vector<long long>> dp;

    memset(mask , 0 , sizeof mask);
    // Please write your code here
    n += 3;
    dp.resize(n+1 , vector<long long>(n * 100+1 , -1));

    auto dfs = [&](auto&& dfs , int i , long long sum) -> long long {
      
        if(i == n)
            return sum   >= 60 * n;                        

        if(dp[i][sum] != -1) return dp[i][sum];

        long long ans = 0;
        // 任选
        for(int j = 0; j <= 100; j += 5){
            mask[j]++;
            ans += dfs(dfs , i + 1 , sum + j);
            mask[j]--;
        }

        return dp[i][sum] = ans % Mod;
    };

    return to_string(dfs(dfs , 0 , 0) % Mod);
}

int main() {
    // You can add more test cases here
    cout << (solution(3) == "19195617") << endl;
    cout << (solution(6) == "135464411082") << endl;
    cout << (solution(49) == "174899025576") << endl;
    cout << (solution(201) == "34269227409") << endl;
    cout << (solution(888) == "194187156114") << endl;

    return 0;
}

总结

记忆化搜索的精髓就在于两步走策略 , 我们先实现普通dfs版 , 然后发现 , 很多中间状态可以进行记忆化那我们就可以进行通过记忆化的方式进行搜索

扩展

本题中 , 我们用数组dp[i][sum] 进行记忆 ,但是通常记忆化的题目会和状态压缩一起出 , 因为数组的长度是有限的 , 但数值不进行取模的时候 , 就需要用一些特殊方法来记忆状态 , 下面我将详细介绍我总结的三种状压方式

状压的三种方式

注意 : 前两种压缩方式都是需要明确所存数据的数据范围

1. 二进制状压

当我们要存储的数组超过 100010 时或者希望存储多个状态值时 , 我们可以用 longlong 哈希表压缩成二进制

压缩方法 : 第一个元素左移第二个元素最大数据范围 , 第二个元素左移动第三个元素的最大数据范围 ,中间用 | 连接

eg : long long mask = (long long) i << 32 | j << 1 | pre_down; // 这里压缩了三个状态元素

二进制字符中指定中位置 i 的操作

插入1 到第 i 位操作 mask | (1 << i) 判断第 i 位元素值的操作 mask >> i & 1
插入数据范围是 4 bits 的元素 mask |= ((longlong)arr[i] << (i * 4)); // 这里的 i 是数组第 i 位 , 每位元素占有 4bit 空间

提取数据范围是 4 bits 的第 i 个元素的值 value = (mask >> (i * 4)) & 0b1111; // 或者可以使用 & 15

例题 : 错题集 2376. 统计特殊整数

2. 整数压缩

当我们要压缩一个无序哈希无法存储的 key 时 , 可以用 unordered<long long , int > hash;

然后将 key ( 例如 : 一个数组 ) 通过 x = x * 100 + arr[i]; 的方式进行压缩 这里的 100 是由元素的数据范围决定的

例题: 错题集 : 638. 大礼包

3. map 压缩

在 c++中 , 存储的数组超过 100010 时或者存一个数组的映射等 , 无序 hash 可能会报错

但是有普通哈希 : map<vector , int > hash; 支持存各种数据结构 , 缺点 : 效率慢一点 ,但方便