在豆包MarsCode刷题过程中遇到这样一道题目
小S在码头租用货船，有 Q 种不同类型的货船可供选择。每种货船有固定的数量 m[i]、租赁成本 v[i] 和最大载货量 w[i]。小S希望在预算 V 元内，租用能够承载最大总货物的货船组合。每种货船的具体信息包括数量、租赁价格和载货量。小S需要你帮忙计算在给定预算下，她能租用的货船的最大总载货量是多少。
Q: 货船的种类数量。V: 李华可用的总预算（单位：元）。ships: 一个列表，其中每个元素是一个元组[m[i], v[i], w[i]]，分别表示第i种货船的数量、租赁价格和每艘货船的最大载货量。
通过AI得知，这道题属于这道题目可以看作是一个经典的多重背包问题的变种。索性就问了AI，什么是多重背包问题。AI也是很快就给了多重背包问题的简介。
多重背包问题（Multiple Knapsack Problem） 是背包问题的一个变种，它与0-1背包问题和完全背包问题类似，但每种物品有一定的数量限制。 具体来说：
- 0-1背包问题：每种物品只有一个，可以选择放入背包或不放入。
- 完全背包问题：每种物品有无限个，可以选择放入任意数量的物品。
- 多重背包问题：每种物品有一定的数量限制，可以选择放入0到该数量之间的任意个物品。
问题描述
在多重背包问题中，给定一组物品，每种物品有一个重量、一个价值和一个数量限制。目标是选择一些物品放入一个容量有限的背包中，使得背包中物品的总价值最大化。
解题思路
解决多重背包问题通常可以使用动态规划（DP）来实现。
-
定义状态：
- 使用一个一维数组
dp，其中dp[j]表示在背包容量为j时的最大价值。
- 使用一个一维数组
-
状态转移方程：
- 对于每种物品
(weight[i], value[i], count[i])，我们需要考虑选择该物品的数量k从0到count[i]。 - 对于每个容量
j，我们需要更新dp[j]，使其等于max(dp[j], dp[j - weight[i] * k] + value[i] * k)。
- 对于每种物品
-
初始化：
- 初始化
dp数组，所有元素初始化为0。
- 初始化
-
遍历顺序：
- 对于每种物品，我们需要逆序遍历容量
j，以避免重复计算。
- 对于每种物品，我们需要逆序遍历容量
而在本题中，我们可以将每种货船看作是一种物品，货船的租赁成本看作是物品的重量，货船的最大载货量看作是物品的价值，货船的数量看作是物品的数量限制。
具体来说：
- 物品：每种货船。
- 重量：每种货船的租赁成本
v[i]。 - 价值：每种货船的最大载货量
w[i]。 - 数量限制：每种货船的数量
m[i]。 - 背包容量：预算
V。
解题思路
-
理解问题：
- 我们需要在有限的预算
V内，选择不同类型的货船，使得总载货量最大化。
- 我们需要在有限的预算
-
数据结构选择：
- 使用动态规划（DP）来解决这个问题。
- 定义一个一维数组
dp，其中dp[j]表示在预算为j元时的最大载货量。
-
算法步骤：
· 双重循环：
- 外层循环遍历每种货船
(m, v, w)。 - 内层循环从
V到v逆序遍历，更新dp数组。
· 状态转移方程：
dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - 1][j - k * v] + k * w)更新dp[i][j]，使其等于当前预算j下的最大载货量。
· 返回结果：
return dp[n][V]返回在预算V下的最大载货量。
- 外层循环遍历每种货船
以下是代码实现
def solution(Q, V, ships):
n = len(ships)
dp = [[0] * (V + 1) for _ in range(n + 1)]
for i in range(1, n + 1):
for j in range(1, V + 1):
count, cost, weight = ships[i - 1]
if cost > j:
dp[i][j] = dp[i - 1][j]
else:
for k in range(min(count, j // cost) + 1):
dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - 1][j - k * cost] + k * weight)
return dp[n][V]
由此可见，通过使用动态规划，我们可以有效地解决多重背包问题。
以上就是关于多重背包问题的分析和具体解决方法。
在豆包MarsCode刷题过程中，通过AI，我获得了及时反馈大大提高了学习效率，并且为我拓展知识点，例如这篇多重背包问题，受益良多。
