青训营X豆包MarsCode 技术训练营刷题3 ｜豆包MarsCode AI 刷题数组分割与最大化总和问题问题描述：

数组分割与最大化总和问题

问题描述：

给定一个整数数组 arr，你可以将其划分为若干个连续的子数组，每个子数组的长度最多为 k。对于每个子数组，你可以将其中的所有元素替换为该子数组中的最大值。你的目标是找到一种划分方式，使得在对数组进行上述替换操作后，数组的总和最大化。

任务是：

找到一种最优的数组划分方式，使得经过替换操作后的数组元素之和达到最大。
计算并输出这个最大和。

示例：

示例 1：

输入：arr = [1, 3, 7, 9, 5, 5, 8], k = 3

输出：56

解释：
- 最优的划分方式是将数组分为 [1, 3, 7], [9], [5, 5, 8]。
- 替换后，每个子数组中的元素都变为该子数组的最大值，得到 [7, 7, 7], [9], [8, 8, 8]。
- 数组的总和为 7 + 7 + 7 + 9 + 8 + 8 + 8 = 56。
示例 2：

输入：arr = [1, 4, 1, 5, 6], k = 2

输出：24
示例 3：

输入：arr = [2, 3, 1, 2, 4], k = 2

输出：16

注意：

数组的长度可以是任何正整数。
可以选择不分割数组（即将整个数组视为一个子数组），只要满足每个子数组的长度不超过 k。
需要考虑所有可能的划分方式，选择使总和最大的那一种。

解答

要解决这个问题，我们可以使用动态规划的方法。定义一个一维数组 dp，其中 dp[i] 表示前 i 个元素可以得到的最大和。对于每个位置 i，我们考虑长度不超过 k 的所有可能的子数组，并计算在将这些子数组中的元素替换为最大值后的总和。

算法步骤：

初始化 dp[0] = 0。
对于每个位置 i 从 1 到 n：
- 初始化 curr_max = arr[i - 1]。
- 对于 j 从 1 到 min(k, i)：
  - 更新 curr_max = max(curr_max, arr[i - j])。
  - 更新 dp[i] = max(dp[i], dp[i - j] + curr_max * j)。

代码实现（Python）：

def maxSumAfterPartitioning(arr, k):
    n = len(arr)
    dp = [0] * (n + 1)
    for i in range(1, n + 1):
        curr_max = arr[i - 1]
        for j in range(1, min(k, i) + 1):
            curr_max = max(curr_max, arr[i - j])
            dp[i] = max(dp[i], dp[i - j] + curr_max * j)
    return dp[n]

# 测试样例
arr1 = [1, 3, 7, 9, 5, 5, 8]
k1 = 3
print(maxSumAfterPartitioning(arr1, k1))  # 输出：56

arr2 = [1, 4, 1, 5, 6]
k2 = 2
print(maxSumAfterPartitioning(arr2, k2))  # 输出：24

arr3 = [2, 3, 1, 2, 4]
k3 = 2
print(maxSumAfterPartitioning(arr3, k3))  # 输出：16

解释：

样例1：
- 最优分割方式是将数组分为 [1,3,7]、[9]、[5,5,8]，对应的替换后子数组为 [7,7,7]、[9]、[8,8,8]，总和为 7*3 + 9*1 + 8*3 = 56。
样例2：
- 最优分割方式是将数组分为 [1,4]、[1,5]、[6]，对应的替换后子数组为 [4,4]、[5,5]、[6]，总和为 4*2 + 5*2 + 6*1 = 24。
样例3：
- 最优分割方式是将数组分为 [2,3]、[1,2]、[4]，对应的替换后子数组为 [3,3]、[2,2]、[4]，总和为 3*2 + 2*2 + 4*1 = 16。

时间复杂度分析：

外层循环遍历数组，时间复杂度为 O(n)。
内层循环最多遍历 k 次，时间复杂度为 O(k)。
总时间复杂度为 O(n * k)，在数据规模允许的情况下可以接受。

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