微分几何中的若干基础概念

帅帅爱数学
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微分流形

拓扑流形： 设MM是一个Hausdorff拓扑空间，若对每一点p∈Mp\in M，都有pp的一个邻域UU与Rm\mathrm{R}^m的一个开集同胚，则MM是一个mm维拓扑流形。

微分流形： 设MM是一个Hausdorff拓扑空间，若存在MM的一个开集族

Σ={(Uα,φα)∣α∈Λ,∪α∈ΛUα=M,φα是Uα到Rm的映射}\Sigma=\{(U_\alpha,\varphi_\alpha)|\alpha\in \Lambda,\mathop\cup\limits_{\alpha\in \Lambda}U_\alpha=M,\varphi_\alpha是U_\alpha到\mathrm{R}^m的映射\}

满足：

(1) ∀α∈Λ\forall \alpha\in\Lambda，φα:Uα→φα(Uα)\varphi_\alpha:U_\alpha\rightarrow\varphi_\alpha(U_\alpha)是同胚映射；

(2) ∀α,β∈Λ\forall \alpha,\beta\in\Lambda，当Uα∩Uβ≠∅U_\alpha\cap U_\beta\ne \emptyset时，φβ∘φα−1:φα(Uα∩Uβ)→φβ(Uα∩Uβ)\varphi_\beta\circ \varphi^{-1}_\alpha:\varphi_\alpha(U_\alpha\cap U_\beta)\rightarrow \varphi_\beta(U_\alpha\cap U_\beta)，是CkC^k映射；

(3) Σ\Sigma关于条件(1)和(2)是极大的，

则称MM是一个mm维CkC^k微分流形。

流形上的映射： 设MM和NN分别是mm维和nn维CkC^k微分流形，如果映射f:M→Nf:M\rightarrow N对每一点p∈Mp\in M，存在MM上包含pp的坐标图(U,φ)(U,\varphi)和NN上包含q=f(p)q=f(p)的坐标图(V,ψ)(V,\psi)，使得

ψ∘f∘φ−1:φ(U)→ψ(V)\psi\circ f\circ\varphi^{-1}:\varphi(U)\rightarrow \psi(V)

在φ(p)\varphi(p)点是CkC^k的，则映射ff是CkC^k映射。映射ff在pp点的秩，即映射ψ∘f∘φ−1\psi\circ f\circ\varphi^{-1}在φ(p)\varphi(p)点的秩。

流形的同胚： 设MM和NN分别是CkC^k微分流形，若映射f:M→Nf:M\rightarrow N是双射，且ff和f−1f^{-1}都是连续的，则ff为同胚映射。

流形的微分同胚： 设MM和NN分别是CkC^k微分流形，若映射f:M→Nf:M\rightarrow N是双射，且ff和f−1f^{-1}都是CkC^k的，则ff为CkC^k微分同胚映射，称M与M与与NN是CkC^k微分同胚的。

浸入映射： 设MM和NN分别是mm维和nn维CkC^k微分流形，f:M→Nf:M\rightarrow N为Cs(1≤s≤k)C^s(1\le s\le k)映射，如果ff在p∈Mp\in M的秩为mm，则ff在pp点为浸入，如果ff在MM上每一点都为浸入，则ff为浸入。

淹没映射： 设MM和NN分别是mm维和nn维CkC^k微分流形，f:M→Nf:M\rightarrow N为Cs(1≤s≤k)C^s(1\le s\le k)映射，如果ff在p∈Mp\in M的秩为nn，则ff在pp点为淹没，如果ff在MM上每一点都为淹没，则ff为淹没。

浸入子流形： 设MM和NN分别是mm维和nn维CkC^k微分流形，f:M→Nf:M\rightarrow N为单浸入映射，对于由ff诱导的拓扑和微分结构而言，f(M)f(M)或MM为NN的浸入子流形。

（注：由ff诱导的拓扑指，QQ是f(M)f(M)的开子集当且仅当f−1(Q)f^{-1}(Q)是MM的开子集。根据诱导的拓扑，M的坐标图册{(Uα,φα)∣α∈Λ}\{(U_\alpha,\varphi_\alpha)|\alpha\in\Lambda\}诱导出f(M)f(M)的坐标图册{(f(Uα),φα∘f−1)∣α∈Λ}\{(f(U_\alpha),\varphi_\alpha\circ f^{-1})|\alpha\in\Lambda\}，从而确定f(M)f(M)的微分结构）

嵌入子流形： 设MM和NN分别是mm维和nn维CkC^k微分流形，f:M→Nf:M\rightarrow N为单浸入映射，若f(M)f(M)上由ff诱导的拓扑与f(M)f(M)作为NN的子空间的拓扑相同，（f(M)f(M)作为NN的子空间拓扑，使得f:M→f(M)f:M\rightarrow f(M)是CsC^s微分同胚）则f(M)f(M)或MM为NN的嵌入子流形。

正则子流形： 设NN是nn维CKC^K微分流形，N′⊂NN'\subset N是NN的子集，具有子空间拓扑，对于某个正整数m(≤n)m(\le n)，若每一点q∈N′q\in N'都存在NN包含qq的坐标图(U,φ,yα)(U,\varphi,y^\alpha)，使得

(1) φ(q)\varphi(q)是Rn\mathrm{R}^n的原点；

(2) φ(U∩N′)={(y1,…,yn)∈φ(U)∣ym+1=⋯=yn=0}\varphi(U\cap N')=\{(y^1,\dots,y^n)\in \varphi(U)|y^{m+1}=\dots=y^n=0\}，

则称N′N'为NN的正则子流形。具有性质(1)和(2)的坐标图(U,φ)(U,\varphi)称为子流形图，n−mn-m称为N′N'的余维数。

流形的定向： 设MM是mm维CkC^k微分流形，如果存在MM的坐标图册{(Uα,φα)∣α∈Σ}\{(U_\alpha,\varphi_\alpha)|\alpha\in\Sigma\}，使得∀α,β∈Σ\forall \alpha,\beta\in\Sigma和每一点p∈Uα∩Uβp\in U_\alpha\cap U_\beta，φβ∘φα−1\varphi_\beta\circ\varphi^{-1}_\alpha在φα(p)\varphi_\alpha(p)点的Jacobi矩阵的行列式>0>0，则称MM是可定向的。

（注：满足上述条件的坐标图册称为定向相融的坐标图册，即其中任意两个坐标图不仅相容，且具有相同的定向。存在极大的定向相融坐标图册，其构成微分流形的微分结构，称为流形的一个定向）

张量场与微分形式

切向量与切空间： 设MM是mm维CkC^k微分流形，α:(−ε,ε)→M\alpha: (-\varepsilon,\varepsilon)\to M是MM上一条过点p∈Mp\in M的CsC^s曲线。设α(0)=p\alpha(0)=p，D(p)\mathcal{D}(p)是MM上在pp点某个邻域内有定义且在pp点是CsC^s的函数集合，MM在pp处的切向量XpX_p定义为，曲线α\alpha在t=0t=0是的切向量，即XpX_p是一个算子Xp:D(p)→RX_p:\mathcal{D}(p)\to \mathrm{R}，满足

α′(0)(f)=df∘αdt∣t=0,∀f∈Dp.\alpha'(0)(f)=\frac{\mathrm{d}f\circ\alpha}{\mathrm{d}t}\bigg|_{t=0},\forall f\in \mathcal{D}{p}.

MM在pp点的切向量全体构成一个mm维向量空间，称为MM在pp点的切空间，记为Tp(M)T_p(M)。

余切向量与余切空间： 微分流形MM在pp点的切空间Tp(M)T_p(M)的对偶空间称为MM在pp点的余切空间，记为Tp∗(M)T^*_p(M)，其元素为MM在pp点的余切向量。

切丛： 设MM是mm维CkC^k微分流形，Tp(M)T_p(M)是MM在pp点的切空间。令T(M)＝∪p∈MTp(M)T(M)＝\mathop\cup\limits_{p\in M}T_p(M)，通过映射

π:T(M)→M,Xp↦p,∀Xp∈Tp(M)\pi:T(M)\to M, X_p\mapsto p, \forall X_p\in T_p(M)

可在T(M)T(M)上可引入拓扑和Ck−1C^{k-1}微分结构，使其成为2m2m维Ck−1C^{k-1}微分流形。(T(M),π,M)(T(M),\pi,M)或简记为T(M)T(M)，称为MM上的切丛，映射π\pi称为自然射影，Tp(M)T_p(M)称为T(M)T(M)在pp点的纤维。

余切丛： 设MM是mm维CkC^k微分流形，Tp∗(M)T^*_p(M)是MM在pp点的余切空间。令T∗(M)＝∪p∈MTp∗(M)T^*(M)＝\mathop\cup\limits_{p\in M}T^*_p(M)，通过映射

π:T∗(M)→M,θp↦p,∀θp∈Tp∗(M)\pi:T^*(M)\to M, \theta_p\mapsto p, \forall \theta_p\in T^*_p(M)

可在T∗(M)T^*(M)上可引入拓扑和Ck−1C^{k-1}微分结构，使其成为2m2m维Ck−1C^{k-1}微分流形。(T∗(M),π,M)(T^*(M),\pi,M)或简记为T∗(M)T^*(M)，称为MM上的余切丛，映射π\pi称为自然射影，Tp∗(M)T^*_p(M)称为T∗(M)T^*(M)在pp点的纤维。

向量场： 设MM是mm维CkC^k微分流形，(T(M),π,M)(T(M),\pi,M)是MM上的切丛。MM上的向量场XX是一个映射X:M→T(M)X:M\to T(M)，使得π∘X\pi\circ X为MM上的恒等映射，即∀p∈M,X:p↦Xp(∈Tp(M))\forall p\in M,X:p\mapsto X_p(\in T_p(M))。

张量丛： 设MM是mm维CkC^k微分流形，Tp(M)T_p(M)是MM在pp点的切空间。令Ts,pr(M)T^r_{s,p}(M)为向量空间Tp(M)T_p(M)的(r,s)(r,s)型张量空间，令Tsr(M)＝∪p∈MTs,pr(M)T^r_s(M)＝\mathop\cup\limits_{p\in M}T^r_{s,p}(M)，通过映射

π:Tsr(M)→M,ϕp↦p,∀ϕp∈Ts,pr(M)\pi:T^r_s(M)\to M, \phi_p\mapsto p, \forall \phi_p\in T^r_{s,p}(M)

可在Tsr(M)T^r_s(M)上可引入拓扑和Ck−1C^{k-1}微分结构，使其成为m+mr+sm+m^{r+s}维Ck−1C^{k-1}微分流形。(Tsr(M),π,M)(T^r_s(M),\pi,M)或简记为Tsr(M)T^r_s(M)，称为MM上的(r,s)(r,s)型张量丛，映射π\pi称为投影，Ts,pr(M)T^r_{s,p}(M)称为Tsr(M)T^r_s(M)在pp点的纤维。

张量场： 设MM是mm维CkC^k微分流形，(Tsr(M),π,M)(T^r_s(M),\pi,M)是MM上的(r,s)(r,s)型张量丛。MM上的张量场ϕ\phi是一个映射ϕ:M→Tsr(M)\phi:M\to T^r_s(M)，使得π∘ϕ\pi\circ \phi为MM上的恒等映射，即∀p∈M,ϕ:p↦ϕp(∈Ts,pr(M))\forall p\in M,\phi:p\mapsto \phi_p(\in T^r_{s,p}(M))。张量场也称为其对应张量丛的一个截面。

外微分形式丛： 设MM是mm维CkC^k微分流形，Tp∗(M)T^*_p(M)是MM在pp点的余切空间。令∧rTp∗(M)\wedge^rT^*_p(M)为向量空间Tp∗(M)T^*_p(M)的rr阶反称共变张量空间，令∧rT∗(M)＝∪p∈M∧rTp∗(M)\wedge^rT^*(M)＝\mathop\cup\limits_{p\in M}\wedge^rT^*_p(M)，通过映射

π:∧rT∗(M)→M,ωp↦p,∀ωp∈∧rTP∗(M)\pi:\wedge^rT^*(M)\to M, \omega_p\mapsto p, \forall \omega_p\in \wedge^rT^*_P(M)

可在∧rT∗(M)\wedge^rT^*(M)上可引入拓扑和Ck−1C^{k-1}微分结构，使其成为m+(nr)m+\binom{n}{r}维Ck−1C^{k-1}微分流形。(∧rT∗(M),π,M)(\wedge^rT^*(M),\pi,M)或简记为∧rT∗(M)\wedge^rT^*(M)，称为MM上的rr次外微分形式丛。

外微分形式： 设MM是mm维CkC^k微分流形，(∧rT∗(M),π,M)(\wedge^rT^*(M),\pi,M)是MM上的rr次外微分形式丛。MM上的rr次形式ω\omega是一个映射ω:M→∧rT∗(M)\omega:M\to \wedge^rT^*(M)，使得π∘ω\pi\circ \omega为MM上的恒等映射，即∀p∈M,ω:p↦ωp(∈∧rTp∗(M))\forall p\in M,\omega:p\mapsto \omega_p(\in \wedge^rT^*_p(M))。

外微分形式空间： 设MM是mm维CkC^k微分流形，MM的所有rr次外微分形式组成的空间称为MM的rr次外微分形式空间，记为Ar(M)A^r(M)，A0(M)＝Ck′(M)A^0(M)＝C^{k'}(M)。令A(M)＝∑r=0mAr(M)A(M)＝\sum\limits_{r=0}^m A^r(M)，A(M)A(M)称为MM上的外微分形式空间，它的元素称为外微分形式。

以下为简单起见，设MM为C∞C^\infty微分流形。

外微分： 设MM是mm维C∞C^\infty微分流形，A(M)A(M)是MM上的外微分形式空间。若映射d:Ar(M)→Ar+1(M)d:A^r(M)\to A^{r+1}(M)，0≤r≤m0\le r\le m满足

(1) dd是R−R-线性的；

(2) 若f∈A0(M)≡C∞(M)f\in A^0(M)\equiv C^\infty(M)，则d(f)d(f)为ff的普通微分，且d(d(f))=0d(d(f))=0；

(3) 若ω∈Ar(M)\omega\in A^r(M)，σ∈A(M)\sigma\in A(M)，则d(ω∧σ)=dω∧σ+(−1)rω∧dσd(\omega\wedge\sigma)=d\omega\wedge\sigma+(-1)^r\omega\wedge d\sigma，

则称映射dd为外微分算子，简称外微分。

闭形式与恰当形式： 设MM是mm维C∞C^\infty微分流形，对于rr次外微分形式ω∈Ar(M)\omega\in A^r(M)，若dω=0d\omega=0，则称ω\omega是闭形式。若存在σ∈Ar−1\sigma\in A^{r-1}，使得ω=dσ\omega=d\sigma，则称ω\omega是恰当形式。

de Rham\mathrm{de\ Rham}上同调群： 设MM是mm维C∞C^\infty微分流形，ω∈Ar(M)\omega\in A^r(M)是MM上的rr次外微分形式空间，将其看作加法群，则外微分算子dd是一个群同态。令drd_r表示dd在Ar(M)A^r(M)上的限制，对∀0≤r≤m\forall 0\le r\le m，记

Zr(M)={drω=0∣ω∈Ar(M)}=Ker(dr)Br(M)={{ω∈Ar(M)∣dr−1σ=ω,σ∈Ar−1(M)}=Im(dr−1),1≤r≤m0,r=0Z^r(M)=\{d_r\omega=0|\omega\in Ar(M)\}=\mathrm{Ker}(d_r)\\ B^r(M)=\left\{ \begin{aligned} & \{\omega\in A^r(M)|d_{r-1}\sigma=\omega,\sigma\in A^{r-1}(M)\}=\mathrm{Im}(d_{r-1}), & 1\le r\le m\\ & 0, & r=0 \end{aligned} \right.

则Zr(M)Z^r(M)和Br(M)B^r(M)分别是rr次闭形式和rr次恰当形式构成的群，由于d2=0d^2=0，Br(M)⊂Zr(M)B^r(M)\subset Z^r(M)。MM的第rr个上同调群Hr(M)H^r(M)定义为

Hr(M)={Zr(M)/Br(M),0≤r≤m0,otherH^r(M)=\left\{ \begin{aligned} & Z^r(M)/B^r(M), & 0\le r\le m\\ & 0, & other \end{aligned} \right.

联络与曲率

黎曼流形与黎曼度量： 设MM是mm维CkC^k微分流形，如果在MM上存在一个(0,2)(0,2)型对称正定的CkC^k张量场gg，使得对∀p∈M\forall p \in M，切空间Tp(M)T_p(M)可看作具有度量gpg_p的欧式空间，则称(M,g)(M,g)为mm维黎曼流形，gg称为黎曼流形MM的黎曼度量。

仿射联络： 设MM是mm维C∞C^\infty微分流形，X(M)\mathcal{X}(M)是MM上的光滑向量场空间，MM的一个仿射联络定义为一个映射

∇:X(M)×X(M)→X(M),(X,Y)↦∇XY,\nabla:\mathcal{X}(M)\times\mathcal{X}(M)\to\mathcal{X}(M),(X,Y)\mapsto \nabla_XY,

使得对∀X,Y,Z∈X(M)\forall X,Y,Z\in \mathcal{X}(M)和任意的f,h∈C∞(M)f,h\in C^\infty(M)，满足：

(1) ∇fX+hYZ=f∇XZ+h∇YZ\nabla_{fX+hY}Z=f\nabla_XZ+h\nabla_YZ；

(2) ∇X(fY+hZ)=X(f)Y+f∇XY+X(h)Z+h∇XZ\nabla_X(fY+hZ)=X(f)Y+f\nabla_XY+X(h)Z+h\nabla_XZ.

∇XY\nabla_XY称为YY关于XX的共变导数或协变导数。

仿射联络的挠率： 设MM是mm维C∞C^\infty微分流形，∇\nabla是MM上的仿射联络，定义映射

T:X(M)×X(M)→X(M), (X,Y)↦T(X,Y)T(X,Y)=∇XY−∇YX−[X,Y].T:\mathcal{X}(M)\times\mathcal{X}(M)\to\mathcal{X}(M),\ (X,Y)\mapsto T(X,Y)\\ T(X,Y)=\nabla_XY-\nabla_YX-[X,Y].

称TT为仿射联络∇\nabla的挠率，若T≡0T\equiv 0，则称∇\nabla是无挠的或对称的。

仿射联络的曲率： 设MM是mm维C∞C^\infty微分流形，∇\nabla是MM上的仿射联络，定义映射

R:X(M)×X(M)→End(X(M)), (X,Y)↦R(X,Y)R(X,Y)=∇X∇Y−∇Y∇X−∇[X,Y]R(X,Y)Z=∇X∇YZ−∇Y∇XZ−∇[X,Y]ZR:\mathcal{X}(M)\times\mathcal{X}(M)\to \mathrm{End}(\mathcal{X}(M)),\ (X,Y)\mapsto R(X,Y)\\ R(X,Y)=\nabla_X\nabla_Y-\nabla_Y\nabla_X-\nabla_{[X,Y]}\\ R(X,Y)Z=\nabla_X\nabla_YZ-\nabla_Y\nabla_XZ-\nabla_{[X,Y]}Z

其中End(X(M))\mathrm{End}(\mathcal{X}(M))是XM\mathcal{X}{M}的全体自同态构成的空间，则称给定的R(X,Y)R(X,Y)是∇\nabla的曲率算子，对应的线性变换R(X,Y):X(M)→X(M)R(X,Y):\mathcal{X}(M)\to\mathcal{X}(M)称为曲率变换，三重线性映射R:X(M)×X(M)×X(M)→X(M)R:\mathcal{X}(M)\times\mathcal{X}(M)\times\mathcal{X}(M)\to\mathcal{X}(M)称为曲率张量。

黎曼联络： 设(M,g)(M,g)是mm维C∞C^\infty黎曼流形，∇\nabla是MM上的仿射联络，如果满足

(1) ∇XY−∇YX=[X,Y]\nabla_XY-\nabla_YX=[X,Y]，即∇\nabla的挠率T≡0T\equiv 0；

(2) ∀X,Y,Z∈X(M)\forall X,Y,Z\in\mathcal{X}(M)，X⟨Y,Z⟩=⟨∇XY,Z⟩+⟨Y,∇XZ⟩X\langle Y,Z\rangle=\langle\nabla_XY,Z\rangle+\langle Y,\nabla_XZ\rangle，⟨⋅,⋅⟩\langle\cdot,\cdot\rangle表示关于gg的内积，

则称∇\nabla是MM上的黎曼联络，也称为Levi−Civita\mathrm{Levi-Civita}联络。

共变导数： 设MM是mm维C∞C^\infty微分流形，∇\nabla是MM上的对称仿射联络（挠率为00），X(Tsr(M))\mathcal{X}(T^r_s(M))是MM上的(r,s)(r,s)型C∞C^\infty张量场空间。对于X∈X(M)X\in\mathcal{X}(M)，沿XX方向的共变导数定义为一个映射

∇X:X(Tsr(M))→X(Tsr(M))\nabla_X:\mathcal{X}(T^r_s(M))\to\mathcal{X}(T^r_s(M))

满足

(1) ∀f∈C∞\forall f\in C^\infty，∇Xf=X(f)\nabla_Xf=X(f)；

(2) 若ϕ∈A1(M)=X(T10(M))\phi\in A^1(M)=\mathcal{X}(T^0_1(M))，则对∀Y∈X(M)\forall Y\in\mathcal{X}(M)，(∇Xϕ)(Y)=X(ϕ(Y))−ϕ(∇XY)(\nabla_X\phi)(Y)=X(\phi(Y))-\phi(\nabla_XY)；

(3) 若ϕ∈X(Tsr(M))\phi\in\mathcal{X}(T^r_s(M))，则对∀ω1,…,ωr∈A1(M), Y1,…,Ys∈X(M)\forall \omega^1,\dots,\omega^r\in A^1(M),\ Y_1,\dots,Y_s\in\mathcal{X}(M)

(∇Xϕ)(ω1,…,ωr,Y1,…,Ys)=∇X(ϕ(ω1,…,ωr,Y1,…,Ys))−∑i=1rϕ(ω1,…,∇Xωi,…,ωr,Y1,…,Ys)−∑i=1sϕ(ω1,…,ωr,Y1,…,∇XYi,…,Ys).\begin{aligned} & (\nabla_X\phi)(\omega^1,\dots,\omega^r,Y_1,\dots,Y_s)\\ & = \nabla_X(\phi(\omega^1,\dots,\omega^r,Y_1,\dots,Y_s))\\ & - \sum\limits^r_{i=1}\phi(\omega^1,\dots,\nabla_X\omega^i,\dots,\omega^r,Y_1,\dots,Y_s)\\ & - \sum\limits^s_{i=1}\phi(\omega^1,\dots,\omega^r,Y_1,\dots,\nabla_XY_i,\dots,Y_s). \end{aligned}

共变微分： 设MM是mm维C∞C^\infty微分流形，∇\nabla是MM上的对称仿射联络（挠率为00），MM上的共变微分定义为一个映射

∇:X(Tsr(M))→X(Ts+1r(M)), ϕ↦∇ϕ\nabla:\mathcal{X}(T^r_s(M))\to \mathcal{X}(T^r_{s+1}(M)),\ \phi\mapsto\nabla\phi

对∀ω1,…,ωr∈A1(M), X1,…,Xs,X∈X(M)\forall \omega^1,\dots,\omega^r\in A^1(M),\ X_1,\dots,X_s,X\in\mathcal{X}(M)

(∇ϕ)(ω1,…,ωr,X1,…,Xs;X)=(∇Xϕ)(ω1,…,ωr,X1,…,Xs)(\nabla\phi)(\omega^1,\dots,\omega^r,X_1,\dots,X_s;X)=(\nabla_X\phi)(\omega^1,\dots,\omega^r,X_1,\dots,X_s)

黎曼曲率张量： 设(M,g)(M,g)是mm维C∞C^\infty黎曼流形，RR是黎曼联络∇\nabla的曲率张量，黎曼流形MM的黎曼曲率张量RR定义为一个映射

R:X(M)×X(M)×X(M)×X(M)→C∞(M)(X,Y,Z,W)↦R(X,Y,Z,W)≡⟨R(Z,W)Y,X⟩R:\mathcal{X}(M)\times\mathcal{X}(M)\times\mathcal{X}(M)\times\mathcal{X}(M)\to C^\infty(M)\\ (X,Y,Z,W)\mapsto R(X,Y,Z,W)\equiv\langle R(Z,W)Y,X\rangle

⟨⋅,⋅⟩\langle\cdot,\cdot\rangle表示关于gg的内积。

平坦黎曼流形与平坦度量： 设(M,g)(M,g)是mm维C∞C^\infty黎曼流形，RR是MM的曲率张量，若R≡0R\equiv 0，则称MM为平坦黎曼流形，称gg为平坦度量。

黎曼流形的等距同胚： 设(M,g)(M,g)和(M~,g~)(\widetilde{M},\widetilde{g})都是mm维C∞C^\infty黎曼流形，ϕ:M→M~\phi:M\to\widetilde{M}是微分同胚。若ϕ∗g~=g\phi^*\widetilde{g}=g，则称ϕ\phi是等距同胚，称MM与M~\widetilde{M}相互等距。

黎曼流形切空间的平截面： 设(M,g)(M,g)是mm维C∞C^\infty黎曼流形，Xp,Yp∈Tp(M)X_p,Y_p\in T_p(M)是两个线性无关向量，XpX_p和YpY_p张成的空间E⊂Tp(M)E\subset T_p(M)，称为在pp点由XpX_p和YpY_p张成的平截面。

黎曼流形关于平截面的截面曲率： 设(M,g)(M,g)是mm维C∞C^\infty黎曼流形，E⊂Tp(M)E\subset T_p(M)是一个平截面，Xp,YpX_p,Y_p是EE中任意两个线性无关向量。对∀X,Y,Z,W∈X(M)\forall X,Y,Z,W\in \mathcal{X}(M)，令G(X,Y,Z,W)=⟨X,Z⟩⟨Y,W⟩−⟨X,W⟩⟨Y,Z⟩G(X,Y,Z,W)=\langle X,Z\rangle\langle Y,W\rangle-\langle X,W\rangle\langle Y,Z\rangle，则

Kp(E)=R(Xp,Yp,Xp,Yp)G(Xp,Yp,Xp,Yp)K_p(E)=\frac{R(X_p,Y_p,X_p,Y_p)}{G(X_p,Y_p,X_p,Y_p)}\\

称为MM在pp点关于平截面EE的截面曲率，简称截曲率。

迷向黎曼流形： 设(M,g)(M,g)是mm维C∞C^\infty黎曼流形，若MM在p∈Mp\in M点关于任意平截面E∈Tp(M)E\in T_p(M)的截面曲率Kp(E)K_p(E)的值相同，则称MM在pp点是迷向的，称pp点为MM的迷向点。如果MM在每一点都是迷向的，则称MM为迷向黎曼流形。

常曲率黎曼流形： 设(M,g)(M,g)是mm维C∞C^\infty黎曼流形，若MM在任意点p∈Mp\in M，关于任意平截面E∈Tp(M)E\in T_p(M)的截面曲率Kp(E)K_p(E)的值相同，则称MM为常曲率黎曼流形。

Ricci\mathrm{Ricci}张量场： 设(M,g)(M,g)是mm维C∞C^\infty黎曼流形，RR是MM的曲率张量。MM的Ricci\mathrm{Ricci}张量场SS定义为一个二阶对称共变张量场

S:X(M)×X(M)→C∞(M), (X,Y)↦R(X,Y)R(X,Y)=gij⟨R(ei,X)Y,ej⟩S:\mathcal{X}(M)\times\mathcal{X}(M)\to C^\infty(M),\ (X,Y)\mapsto R(X,Y)\\ R(X,Y)=g^{ij}\langle R(e_i,X)Y,e_j\rangle

其中{ei}\{e_i\}为任意局部标架，gij=⟨ei,ej⟩g_{ij}=\langle e_i,e_j\rangle，(gij)=(gij)−1(g^{ij})=(g_{ij})^{-1}。

Ricci\mathrm{Ricci}曲率： 设(M,g)(M,g)是mm维C∞C^\infty黎曼流形，SS是MM的Ricci\mathrm{Ricci}张量场。对于p∈Mp\in M和单位向量Xp∈Tp(M)X_p\in T_p(M)

Ric(Xp)=S(Xp,Xp)\mathrm{Ric}(X_p)=S(X_p,X_p)

称为MM在pp点沿XpX_p方向的Ricci\mathrm{Ricci}曲率。

爱因斯坦流形： 设(M,g)(M,g)是mm维C∞C^\infty黎曼流形，若对∀p∈M\forall p\in M，MM在pp点沿XpX_p方向的Ricci\mathrm{Ricci}曲率Ric(Xp)\mathrm{Ric}(X_p)与XpX_p无关，仅是pp的函数，即S=λg (λ∈C∞(M))S=\lambda g\ (\lambda\in C^\infty(M))，则称MM为爱因斯坦流形。

Ricci\mathrm{Ricci}变换： 设(M,g)(M,g)是mm维C∞C^\infty黎曼流形，SS是MM的Ricci\mathrm{Ricci}张量场。MM在pp点的Ricci\mathrm{Ricci}变换R∗R^*定义为一个映射

R∗:X(M)→X(M), X↦R∗(X)⟨R∗(X),Y⟩=S(X,Y), ∀X,Y∈X(M)即R∗(X)=gijR(X,ei)ejR^*:\mathcal{X}(M)\to \mathcal{X}(M),\ X\mapsto R^*(X)\\ \langle R^*(X),Y\rangle=S(X,Y),\ \forall X,Y\in \mathcal{X}(M)\\ 即R^*(X)=g^{ij}R(X,e_i)e_j

其中{ei}\{e_i\}为任意局部标架，gij=⟨ei,ej⟩g_{ij}=\langle e_i,e_j\rangle，(gij)=(gij)−1(g^{ij})=(g_{ij})^{-1}。

纯量曲率： 设(M,g)(M,g)是mm维C∞C^\infty黎曼流形，R∗R^*是MM在pp点的Ricci\mathrm{Ricci}变换。MM纯量曲率ρ\rho定义为R∗R^*的迹trR∗\mathrm{tr}R^*，即

ρ=trR∗=gkl⟨R∗(ek),el⟩=gkl⟨gijR(ek,ei)ej,el⟩\rho=\mathrm{tr}R^*=g^{kl}\langle R^*(e_k),e_l\rangle=g^{kl}\langle g^{ij}R(e_k,e_i)e_j, e_l\rangle

其中{ei}\{e_i\}为任意局部标架，gij=⟨ei,ej⟩g_{ij}=\langle e_i,e_j\rangle，(gij)=(gij)−1(g^{ij})=(g_{ij})^{-1}。纯量曲率也称数量曲率。

外微分算子

外微分算子： 设MM是mm维C∞C^\infty微分流形，在MM的外微分形式上定义外微分算子d:Ar(M)→Ar+1(M)\mathrm{d}:A^r(M)\to A^{r+1}(M)，dd满足

(1) d\mathrm{d}是R−线性的\mathrm{R}-线性的；

(2) 若f∈A0(M)≡C∞(M)f\in A^0(M)\equiv C^\infty(M)，则df\mathrm{d}f为ff的普通微分，且d(df)=0\mathrm{d}(\mathrm{d}f)=0；

(3) 若ω∈Ar(M)\omega\in A^r(M)是MM上的rr次外微分形式，σ∈A(M)\sigma\in A(M)是MM上任意次外微分形式，则

d(ω∧σ)=dω∧σ+(−1)rω∧dσ.\mathrm{d}(\omega\wedge\sigma)=\mathrm{d}\omega\wedge\sigma+(-1)^r\omega\wedge \mathrm{d}\sigma.

外微分算子性质１： 对∀ω∈Ar(M)\forall \omega\in A^r(M)，d(dω)=0\mathrm{d}(\mathrm{d}\omega)=0.

证明： 因为d\mathrm{d}是R−线性的\mathrm{R}-线性的，因此只对ω\omega的每一个单项证明即可。设ω=adxi1∧⋯∧dxir\omega=a\mathrm{d}x^{i_1}\wedge\dots\wedge\mathrm{d}x^{i_r}，其中a∈C∞(M)a\in C^\infty(M)，则

dω=da∧dxi1∧⋯∧dxir\mathrm{d}\omega=\mathrm{d}a\wedge\mathrm{d}x^{i_1}\wedge\dots\wedge\mathrm{d}x^{i_r}

由于a,xi1,…,xir∈C∞(M)a,x^{i_1},\dots,x^{i_r}\in C^\infty(M)，因此da=dxi1=⋯=dxir=0\mathrm{d}a=\mathrm{d}x^{i_1}=\dots=\mathrm{d}x^{i_r}=0，从而d(dω)=0\mathrm{d}(\mathrm{d}\omega)=0.

外微分算子性质２： 令ω∈Ar(M)\omega\in A^r(M)，X1,…,Xr+1∈X(M)X_1,\dots,X_{r+1}\in \mathcal{X}(M)，则有

dω(X1,…,Xr+1)=∑i=1r+1(−1)r−1Xi(ω(X1,…,Xi^,…,Xr+1))    +∑i<j(−1)i+jω([Xi,Xj],X1,…,Xi^,…,Xj^,…,Xr+1)\begin{aligned} \mathrm{d}\omega(X_1,\dots,X_{r+1}) &= \sum^{r+1}_{i=1}(-1)^{r-1}X_i(\omega(X_1,\dots,\hat{X_i},\dots,X_{r+1}))\\ & \ \ \ \ + \sum_{i<j}(-1)^{i+j}\omega([X_i,X_j],X_1,\dots,\hat{X_i},\dots,\hat{X_j},\dots,X_{r+1}) \end{aligned}

外微分算子性质２推论： 令ω∈A1(M)\omega\in A^1(M)，X1,X2∈X(M)X_1,X_2\in \mathcal{X}(M)，则有

dω(X1,X2)=X1(ω(X2))−X2(ω(X1))−ω([X1,X2]).\mathrm{d}\omega(X_1,X_2)=X_1(\omega(X_2))-X_2(\omega(X_1))-\omega([X_1,X_2]).

证明： 因为d\mathrm{d}是R−线性的\mathrm{R}-线性的，因此只对ω\omega的每一个单项证明即可。不妨设ω=adx\omega=a\mathrm{d}x，其中a∈C∞(M)a\in C^\infty(M)，则

ω(X1)=aX1(x), ω(X2)=aX2(x)\omega(X_1)=aX_1(x),\ \omega(X_2)=aX_2(x)

从而

X1(ω(X2))=X1(aX2(x))=X1(a)X2(x)+aX1X2(x)X2(ω(X1))=X2(aX1(x))=X2(a)X1(x)+aX2X1(x)X_1(\omega(X_2))=X_1(aX_2(x))=X_1(a)X_2(x)+aX_1X_2(x)\\ X_2(\omega(X_1))=X_2(aX_1(x))=X_2(a)X_1(x)+aX_2X_1(x)

因此，有

dω(X1,X2)=(da∧dx)(X1,X2)=X1(a)X2(x)−X1(x)X2(a)=X1(ω(X2))−aX1X2(x)−X2(ω(X1))+aX2X1(x)=X1(ω(X2))−X2(ω(X1))−a[X1,X2](x)=X1(ω(X2))−X2(ω(X1))−ω([X1,X2]).\begin{aligned} \mathrm{d}\omega(X_1,X_2) &= (\mathrm{d}a\wedge\mathrm{d}x)(X_1,X_2)\\ &= X_1(a)X_2(x)-X_1(x)X_2(a)\\ &= X_1(\omega(X_2))-aX_1X_2(x)-X_2(\omega(X_1))+aX_2X_1(x)\\ &= X_1(\omega(X_2))-X_2(\omega(X_1))-a[X_1,X_2](x)\\ &= X_1(\omega(X_2))-X_2(\omega(X_1))-\omega([X_1,X_2]). \end{aligned}

iXi_X算子与LX\mathcal{L}_X算子

iXi_X算子： 设MM是mm维C∞C^\infty微分流形，X,X1,…,Xr−1∈X(M)X,X_1,\dots,X_{r-1}\in \mathcal{X}(M)是MM上的光滑向量场，φ∈Ar(M)\varphi\in A^r(M)是MM上的rr次外微分形式。在MM的外微分形式上定义算子iX:Ar(M)→Ar−1(M)i_X:A^r(M)\to A^{r-1}(M)，iXi_X满足

{(iXφ)(X1,…,Xr−1)=φ(X,X1…,Xr−1),r≥1iX=0,r=0\left\{ \begin{aligned} & (i_X\varphi)(X_1,\dots,X_{r-1})=\varphi(X,X_1\dots,X_{r-1}), & r\ge 1\\ & i_X=0, & r=0 \end{aligned} \right.

iXi_X算子性质１： ∀f∈A0(M)≡C∞(M)\forall f\in A^0(M)\equiv C^\infty(M)，X∈X(M)X\in \mathcal{X}(M)，iX(df)=X(f)i_X(\mathrm{d}f)=X(f).

证明： 对∀f∈A0(M)≡C∞(M)\forall f\in A^0(M)\equiv C^\infty(M)，可知df∈A1(M)\mathrm{d}f\in A^1(M)，因此iX(df)=df(X)=X(f)i_X(\mathrm{d}f)=\mathrm{d}f(X)=X(f).

iXi_X算子性质２： C∞(M)−C^\infty(M)-双线性性，即：对于ω,σ∈Ar(M)\omega,\sigma\in A^r(M)，X,Y∈X(M)X,Y\in \mathcal{X}(M)，f,g∈A0(M)≡C∞(M)f,g\in A^0(M)\equiv C^\infty(M)有

iX(fω+gσ)=f⋅iXω+g⋅iXσifX+gYω=f⋅iXω+g⋅iYω.\begin{align} & i_X(f\omega+g\sigma)=f\cdot i_X\omega+g\cdot i_X\sigma & \tag{1} \\ & i_{fX+gY}\omega=f\cdot i_X\omega+g\cdot i_Y\omega. & \tag{2} \end{align}

证明： 令X1,⋯ ,Xr−1∈X(M)X_1,\cdots,X_{r-1}\in \mathcal{X}(M)，则对于(1)(1)，有

(iX(fω+gσ))(X1,…,Xr−1)=(fω+gσ)(X,X1,…,Xr−1)=f⋅ω(X,X1…,Xr−1)+g⋅σ(X,X1,…,Xr−1)=(f⋅iXω)(X1,…,Xr−1)+(g⋅iXσ)(X1,…,Xr−1)=(f⋅iXω+g⋅iXσ)(X1,…,Xr−1).\begin{aligned} & (i_X(f\omega+g\sigma))(X_1,\dots,X_{r-1})\\ &= (f\omega+g\sigma)(X,X_1,\dots,X_{r-1})\\ &= f\cdot\omega(X,X_1\dots,X_{r-1})+g\cdot\sigma(X,X_1,\dots,X_{r-1})\\ &= (f\cdot i_X\omega)(X_1,\dots,X_{r-1})+(g\cdot i_X\sigma)(X_1,\dots,X_{r-1})\\ &=(f\cdot i_X\omega+g\cdot i_X\sigma)(X_1,\dots,X_{r-1}). \end{aligned}

对于(2)(2)，有

(ifX+gYω)(X1,…,Xr−1)=ω(fX+gY,X1,…,Xr−1)=f⋅ω(X,X1,…,Xr−1)+g⋅ω(Y,X1,…,Xr−1)=(f⋅iXω)(X1,…,Xr−1)+(g⋅iYω)(X1,…,Xr−1)=(f⋅iXω+g⋅iYω)(X1,…,Xr−1).\begin{aligned} & (i_{fX+gY}\omega)(X_1,\dots,X_{r-1})\\ &= \omega(fX+gY,X_1,\dots,X_{r-1})\\ &= f\cdot\omega(X,X_1,\dots,X_{r-1})+g\cdot\omega(Y,X_1,\dots,X_{r-1})\\ &= (f\cdot i_X\omega)(X_1,\dots,X_{r-1})+(g\cdot i_Y\omega)(X_1,\dots,X_{r-1})\\ &= (f\cdot i_X\omega+g\cdot i_Y\omega)(X_1,\dots,X_{r-1}). \end{aligned}

iXi_X算子性质３： 对于∀ω∈Ar(M)\forall \omega\in A^r(M)，σ∈A(M)\sigma\in A(M)，X∈X(M)X\in \mathcal{X}(M)，有

iX(ω∧σ)=iXω∧σ+(−1)rω∧iXσ.i_X(\omega\wedge\sigma)=i_X\omega\wedge\sigma+(-1)^r\omega\wedge i_X\sigma.

iXi_X算子例题１： 令ω=exdx∧dy+ezdy∧dz∈A2(R3)\omega=\mathrm{e}^x\mathrm{d}x\wedge\mathrm{d}y+\mathrm{e}^z\mathrm{d}y\wedge\mathrm{d}z\in A^2(\mathrm{R}^3)，X=x∂∂y−y∂∂xX=x\frac{\partial}{\partial y}-y\frac{\partial}{\partial x}，计算iXωi_X\omega.

解答： 由i∂∂xdx=1i_{\frac{\partial}{\partial x}}\mathrm{d}x=1，i∂∂xdy=i∂∂xdz=0i_{\frac{\partial}{\partial x}}\mathrm{d}y=i_{\frac{\partial}{\partial x}}\mathrm{d}z=0和i∂∂ydy=1i_{\frac{\partial}{\partial y}}\mathrm{d}y=1，i∂∂ydx=i∂∂ydz=0i_{\frac{\partial}{\partial y}}\mathrm{d}x=i_{\frac{\partial}{\partial y}}\mathrm{d}z=0，可知

{i∂∂x(dx∧dy)=i∂∂xdx∧dy−dx∧i∂∂xdy=dyi∂∂x(dy∧dz)=i∂∂xdy∧dz−dy∧i∂∂xdz=0i∂∂y(dx∧dy)=i∂∂ydx∧dy−dx∧i∂∂ydy=−dxi∂∂y(dy∧dz)=i∂∂ydy∧dz−dy∧i∂∂ydz=dz\left\{ \begin{aligned} & i_{\frac{\partial}{\partial x}}(\mathrm{d}x\wedge\mathrm{d}y)=i_{\frac{\partial}{\partial x}}\mathrm{d}x\wedge\mathrm{d}y-\mathrm{d}x\wedge i_{\frac{\partial}{\partial x}}\mathrm{d}y=\mathrm{dy}\\ & i_{\frac{\partial}{\partial x}}(\mathrm{d}y\wedge\mathrm{d}z)=i_{\frac{\partial}{\partial x}}\mathrm{d}y\wedge\mathrm{d}z-\mathrm{d}y\wedge i_{\frac{\partial}{\partial x}}\mathrm{d}z=0\\ & i_{\frac{\partial}{\partial y}}(\mathrm{d}x\wedge\mathrm{d}y)=i_{\frac{\partial}{\partial y}}\mathrm{d}x\wedge\mathrm{d}y-\mathrm{d}x\wedge i_{\frac{\partial}{\partial y}}\mathrm{d}y=-\mathrm{dx}\\ & i_{\frac{\partial}{\partial y}}(\mathrm{d}y\wedge\mathrm{d}z)=i_{\frac{\partial}{\partial y}}\mathrm{d}y\wedge\mathrm{d}z-\mathrm{d}y\wedge i_{\frac{\partial}{\partial y}}\mathrm{d}z=\mathrm{d}z \end{aligned} \right.

因此，有

iXω=i(x∂∂y−y∂∂x)ω=x⋅i∂∂yω−y⋅i∂∂xω=−xexdx+xezdz−yexdy.\begin{aligned} i_X\omega &= i_{(x\frac{\partial}{\partial y}-y\frac{\partial}{\partial x})}\omega\\ &= x\cdot i_{\frac{\partial}{\partial y}}\omega-y\cdot i_{\frac{\partial}{\partial x}}\omega\\ &=-x\mathrm{e}^x\mathrm{d}x+x\mathrm{e}^z\mathrm{d}z-y\mathrm{e}^x\mathrm{d}y. \end{aligned}

LX\mathcal{L}_X算子： 设MM是mm维C∞C^\infty微分流形，X∈X(M)X\in \mathcal{X}(M)是MM上的光滑向量场，φ∈Ar(M)\varphi\in A^r(M)是MM上的rr次外微分形式，f∈A0(M)≡C∞(M)f\in A^0(M)\equiv C^\infty(M)。在MM的外微分形式上定义算子LX:Ar(M)→Ar(M)\mathcal{L}_X:A^r(M)\to A^r(M)，LX\mathcal{L}_X满足

{LXφ=iXdφ+d(iXφ),r≥1LXf=X(f),r=0\left\{\begin{aligned}& \mathcal{L}_X\varphi=i_X\mathrm{d}\varphi+\mathrm{d}(i_X\varphi), & r\ge 1\\ & \mathcal{L}_Xf=X(f), & r=0\end{aligned}\right.

LX\mathcal{L}_X算子性质１： ∀f∈A0(M)≡C∞(M)\forall f\in A^0(M)\equiv C^\infty(M)，X∈X(M)X\in \mathcal{X}(M)，LX(f)=X(f)\mathcal{L}_X(f)=X(f).

证明： 对∀f∈A0(M)≡C∞(M)\forall f\in A^0(M)\equiv C^\infty(M)，LX(f)=iX(df)+d(iXf)=iX(df)=X(f)\mathrm{L}_X(f)=i_X(\mathrm{d}f)+\mathrm{d}(i_Xf)=i_X(df)=X(f).

LX\mathcal{L}_X算子性质２： R−\mathrm{R}-双线性性，即：对于ω,σ∈Ar(M)\omega,\sigma\in A^r(M)，X,Y∈X(M)X,Y\in \mathcal{X}(M)，a,b∈Ra,b\in \mathrm{R}有

LX(aω+bσ)=a⋅LXω+b⋅LXσLaX+bYω=a⋅LXω+b⋅LYω.\begin{align} & \mathcal{L}_X(a\omega+b\sigma)=a\cdot \mathcal{L}_X\omega+b\cdot \mathcal{L}_X\sigma & \tag{1} \\ & \mathcal{L}_{aX+bY}\omega=a\cdot \mathcal{L}_X\omega+b\cdot \mathcal{L}_Y\omega. & \tag{2} \end{align}

证明： 对于(1)(1)，有

LX(aω+bσ)=iXd(aω+bσ)+d(a⋅iXω+b⋅iXσ)=a⋅iXdω+b⋅iXdσ+a⋅d(iXω)+b⋅d(iXσ)=a⋅(iXdω+d(iXω))+b⋅(iXdσ+d(iXσ))=a⋅LXω+b⋅LXσ.\begin{aligned} \mathcal{L}_X(a\omega+b\sigma) &= i_X\mathrm{d}(a\omega+b\sigma)+\mathrm{d}(a\cdot i_X\omega+b\cdot i_X\sigma)\\ &= a\cdot i_X\mathrm{d}\omega+b\cdot i_X\mathrm{d}\sigma+a\cdot \mathrm{d}(i_X\omega)+b\cdot\mathrm{d}(i_X\sigma)\\ &= a\cdot(i_X\mathrm{d}\omega+\mathrm{d}(i_X\omega))+b\cdot(i_X\mathrm{d}\sigma+\mathrm{d}(i_X\sigma))\\ &= a\cdot\mathcal{L}_X\omega+b\cdot\mathcal{L}_X\sigma. \end{aligned}

对于(2)(2)，有

LaX+bYω=iaX+bYdω+d(iaX+bYω)=a⋅iXdω+b⋅iYdω+d(a⋅iXω+b⋅iYω)=a⋅iXdω+b⋅iYdω+a⋅d(iXω)+b⋅d(iYω)=a⋅(iXdω+d(iXω))+b⋅(iYdω+d(iYω))=a⋅LXω+b⋅LYω.\begin{aligned} L_{aX+bY}\omega &= i_{aX+bY}\mathrm{d}\omega+\mathrm{d}(i_{aX+bY}\omega)\\ &= a\cdot i_X\mathrm{d}\omega+b\cdot i_Y\mathrm{d}\omega+\mathrm{d}(a\cdot i_X\omega+b\cdot i_Y\omega)\\ &= a\cdot i_X\mathrm{d}\omega+b\cdot i_Y\mathrm{d}\omega+a\cdot\mathrm{d}(i_X\omega)+b\cdot \mathrm{d}(i_Y\omega)\\ &= a\cdot(i_X\mathrm{d}\omega+\mathrm{d}(i_X\omega))+b\cdot(i_Y\mathrm{d}\omega+\mathrm{d}(i_Y\omega))\\ &= a\cdot\mathcal{L}_X\omega+b\cdot\mathcal{L}_Y\omega. \end{aligned}

LX\mathcal{L}_X算子性质３： 对于∀ω∈Ar(M)\forall \omega\in A^r(M)，σ∈A(M)\sigma\in A(M)，X∈X(M)X\in \mathcal{X}(M)，有

LX(ω∧σ)=LXω∧σ+ω∧LXσ.\mathcal{L}_X(\omega\wedge\sigma)=\mathcal{L}_X\omega\wedge\sigma+\omega\wedge \mathcal{L}_X\sigma.

证明： 由d(ω∧σ)=dω∧σ+(−1)rω∧dσ\mathrm{d}(\omega\wedge\sigma)=\mathrm{d}\omega\wedge\sigma+(-1)^r\omega\wedge \mathrm{d}\sigma，iX(ω∧σ)=iXω∧σ+(−1)rω∧iXσi_X(\omega\wedge\sigma)=i_X\omega\wedge\sigma+(-1)^r\omega\wedge i_X\sigma，得

LX(ω∧σ)=iX(d(ω∧σ))+d(iX(ω∧σ))=iX(dω∧σ+(−1)rω∧dσ)+d(iXω∧σ+(−1)rω∧iXσ)=iX(dω)∧σ+(−1)r+1dω∧iXσ+(−1)riXω∧dσ+(−1)2rω∧iXdσ    +d(iXω)∧σ+(−1)r−1iXω∧dσ+(−1)rdω∧iXσ+(−1)2rω∧d(iXσ)=(iX(dω)+d(iXω))∧σ+(−1)2rω∧(iXdσ+d(iXσ))=LXω∧σ+ω∧LXσ.\begin{aligned} \mathcal{L}_X(\omega\wedge\sigma) &= i_X(\mathrm{d}(\omega\wedge\sigma))+\mathrm{d}(i_X(\omega\wedge\sigma))\\ &= i_X(\mathrm{d}\omega\wedge\sigma+(-1)^r\omega\wedge\mathrm{d}\sigma)+\mathrm{d}(i_X\omega\wedge\sigma+(-1)^r\omega\wedge i_X\sigma)\\ &= i_X(\mathrm{d}\omega)\wedge\sigma+(-1)^{r+1}\mathrm{d}\omega\wedge i_X\sigma+(-1)^ri_X\omega\wedge\mathrm{d}\sigma+(-1)^{2r}\omega\wedge i_X\mathrm{d}\sigma\\ &\ \ \ \ + \mathrm{d}(i_X \omega)\wedge\sigma+(-1)^{r-1} i_X\omega\wedge\mathrm{d}\sigma+(-1)^r\mathrm{d}\omega\wedge i_X\sigma+(-1)^{2r}\omega\wedge \mathrm{d}(i_X\sigma)\\ &= (i_X(\mathrm{d}\omega)+\mathrm{d}(i_X\omega))\wedge\sigma+(-1)^{2r}\omega\wedge(i_X\mathrm{d}\sigma+\mathrm{d}(i_X\sigma))\\ &= \mathcal{L}_X\omega\wedge\sigma+\omega\wedge\mathcal{L}_X\sigma. \end{aligned}

LX\mathcal{L}_X算子性质４： 对于∀ω∈A(M)\forall \omega\in A(M)，X∈X(M)X\in \mathcal{X}(M)，有LXdω=dLXω\mathcal{L}_X\mathrm{d}\omega=\mathrm{d}\mathcal{L}_X\omega.

证明： 由算子d\mathrm{d}的性质，对∀ω∈A(M)\forall \omega\in A(M)，有ddω=0\mathrm{d}\mathrm{d}\omega=0，因此有

LXdω=iX(d(dω))+d(iX(dω))=d(iX(dω))+d(d(iXω))=d(iX(dω)+d(iXω))=dLXω.\begin{aligned} \mathcal{L}_X\mathrm{d}\omega &= i_X(\mathrm{d}(\mathrm{d}\omega))+\mathrm{d}(i_X(\mathrm{d}\omega))\\ &= \mathrm{d}(i_X(\mathrm{d}\omega))+\mathrm{d}(\mathrm{d}(i_X\omega))\\ &= \mathrm{d}(i_X(\mathrm{d}\omega)+\mathrm{d}(i_X\omega))\\ &= \mathrm{d}\mathcal{L}_X\omega. \end{aligned}

LX\mathcal{L}_X算子例题１： 令ω=exdx∧dy+eydy∧dz∈A2(R3)\omega=\mathrm{e}^x\mathrm{d}x\wedge\mathrm{d}y+\mathrm{e}^y\mathrm{d}y\wedge\mathrm{d}z\in A^2(\mathrm{R}^3)，X=x∂∂yX=x\frac{\partial}{\partial y}，计算LXω\mathcal{L}_X\omega.

解答：

LXω=iX(dω)+d(iXω)=d(xi∂∂y(exdx∧dy+eydy∧dz))=d(xex(i∂∂ydx∧dy−dx∧i∂∂ydy)+xey(i∂∂ydy∧dz−dy∧i∂∂ydz))=d(−xexdx+xeydz)=eydx∧dz+xeydy∧dz\begin{aligned} \mathcal{L}_X\omega &= i_X(\mathrm{d}\omega)+\mathrm{d}(i_X\omega)\\ &= \mathrm{d}(xi_{\frac{\partial}{\partial y}}(\mathrm{e}^x\mathrm{d}x\wedge\mathrm{d}y+\mathrm{e}^y\mathrm{d}y\wedge\mathrm{d}z))\\ &= \mathrm{d}(x\mathrm{e}^x(i_{\frac{\partial}{\partial y}}\mathrm{d}x\wedge\mathrm{d}y-\mathrm{d}x\wedge i_{\frac{\partial}{\partial y}}\mathrm{d}y)+x\mathrm{e}^y(i_{\frac{\partial}{\partial y}}\mathrm{d}y\wedge\mathrm{d}z-\mathrm{d}y\wedge i_{\frac{\partial}{\partial y}}\mathrm{d}z))\\ &= \mathrm{d}(-x\mathrm{e}^x\mathrm{d}x+x\mathrm{e}^y\mathrm{d}z)\\ &= \mathrm{e}^y\mathrm{d}x\wedge\mathrm{d}z+x\mathrm{e}^y\mathrm{d}y\wedge\mathrm{d}z \end{aligned}

典型例题

微分流形

例１： nn维球面Sn={(x1,…,xn+1)∈Rn+1∣∑i=1n+1xi2=1}\mathrm{S}^n=\{(x_1,\dots,x_{n+1})\in \mathrm{R}^{n+1}|\sum\limits_{i=1}^{n+1}x_i^2=1\}是nn维C∞C^\infty微分流形。

证明： 取Sn\mathrm{S}^n的拓扑为其作为Rn+1\mathrm{R}^{n+1}子空间的拓扑，则Sn\mathrm{S}^n是Hausdorff拓扑空间。令

Ui+={(x1,…,xn+1)∈Sn∣xi>0}Ui−={(x1,…,xn+1)∈Sn∣xi<0}U_i^+=\{(x_1,\dots,x_{n+1})\in\mathrm{S}^n|x_i>0\}\\ U_i^-=\{(x_1,\dots,x_{n+1})\in\mathrm{S}^n|x_i<0\}
φi+:Ui+→Rn, (x1,…,xn+1)↦(x1,…,xi^,…,xn+1)φi−:Ui−→Rn, (x1,…,xn+1)↦(x1,…,xi^,…,xn+1)\varphi_i^+:U_i^+\to \mathrm{R}^n,\ (x_1,\dots,x_{n+1})\mapsto (x_1,\dots,\hat{x_i},\dots,x_{n+1})\\ \varphi_i^-:U_i^-\to \mathrm{R}^n,\ (x_1,\dots,x_{n+1})\mapsto (x_1,\dots,\hat{x_i},\dots,x_{n+1})

其中i=1,2,…,n+1i=1,2,\dots,n+1，则φi+\varphi_i^+与φi−\varphi_i^-都是可逆映射，有

(φi+)−1:φ(Ui+)→Ui+, (x1,…,xn)↦(x1,…,xi−1,1−∑j=1nxj2,xi,…,xn)(φi−)−1:φ(Ui−)→Ui−, (x1,…,xn)↦(x1,…,xi−1,−1−∑j=1nxj2,xi,…,xn).(\varphi_i^+)^{-1}:\varphi(U_i^+)\to U_i^+,\ (x_1,\dots,x_n)\mapsto (x_1,\dots,x_{i-1},\sqrt{1-\sum\limits_{j=1}^nx_j^2},x_{i},\dots,x_n)\\ (\varphi_i^-)^{-1}:\varphi(U_i^-)\to U_i^-,\ (x_1,\dots,x_n)\mapsto (x_1,\dots,x_{i-1},-\sqrt{1-\sum\limits_{j=1}^nx_j^2},x_{i},\dots,x_n).

考虑映射

φ2−(φ1+)−1:φ1+(U1+∩U2−)→φ2−(U1+∩U2−)(x1,…,xn)↦(1−∑j=1nxj2,x2,…,xn),\varphi_2^-(\varphi_1^+)^{-1}:\varphi_1^+(U_1^+\cap U_2^-)\to\varphi_2^-(U_1^+\cap U_2^-)\\ (x_1,\dots,x_n)\mapsto (\sqrt{1-\sum\limits_{j=1}^nx_j^2},x_2,\dots,x_n),

可知φ2−(φ1+)−1\varphi_2^-(\varphi_1^+)^{-1}是C∞C^\infty映射，因此坐标图(U1+,φ1+)(U_1^+,\varphi_1^+)与(U2−,φ2−)(U_2^-,\varphi_2^-)是C∞C^\infty相容的。同理可得坐标图册{(Ui±,φi±)∣i=1,2,…,n+1}\{(U_i^\pm,\varphi_i^\pm)|i=1,2,\dots,n+1\}是C∞C^\infty相容坐标图册，因此唯一确定Sn\mathrm{S}^n上的C∞C^\infty微分结构，因此Sn\mathrm{S}^n是nn维C∞C^\infty微分流形。

例２： 实射影空间RPn\mathrm{R}\mathrm{P}^n是nn维C∞C^\infty微分流形。

证明： 实射影空间RPn\mathrm{R}\mathrm{P}^n是Hausdorff空间。令X=Rn+1−0X=\mathrm{R}^{n+1}-{0}，在XX上定义等价关系∼\sim：对∀x,y∈X\forall x,y\in X，x∼yx\sim y当且仅当存在t∈Rt\in\mathrm{R}且t>0t>0使得y=txy=tx，则RPn\mathrm{R}\mathrm{P}^n即为X/∼X/\sim.令

Ui={[(x1,…,xn+1)]∣(x1,…,xn+1)∈X∣xi≠0}, i=1,2,…,n+1U_i=\{[(x_1,\dots,x_{n+1})]|(x_1,\dots,x_{n+1})\in X|x_i\ne 0\},\ i=1,2,\dots,n+1

其中[x][x]表示x∈Xx\in X关于等价关系∼\sim的等价类。令(x1,…,xn+1)∈X(x_1,\dots,x_{n+1})\in X且xi≠0x_i\ne 0，对∀(y1,…,yn+1)∈X\forall (y_1,\dots,y_{n+1})\in X，可知

(x1xi,…,xn+1xi)=(y1yi,…,yn+1yi)  ⟺  (x1,…,xn+1)∼(y1,…,yn+1)(\frac{x_1}{x_i},\dots,\frac{x_{n+1}}{x_i})=(\frac{y_1}{y_i},\dots,\frac{y_{n+1}}{y_i})\iff(x_1,\dots,x_{n+1})\sim(y_1,\dots,y_{n+1})

因此，下面的映射φi\varphi_i是良定义的单射

φi:Ui→Rn, [(x1,…,xn+1)]↦(x1xi,…,xi−1xi,xi+1xi,…,xn+1xi), i=1,2,…,n+1.\varphi_i:U_i\to \mathrm{R}^n,\ [(x_1,\dots,x_{n+1})]\mapsto (\frac{x_1}{x_i},\dots,\frac{x_{i-1}}{x_i},\frac{x_{i+1}}{x_i},\dots,\frac{x_{n+1}}{x_i}),\ i=1,2,\dots,n+1.

因此φi\varphi_i存在逆映射

φi−1:φi(Ui)→Ui, (x1,…,xn)↦[(x1,…,xi−1,1,xi+1,…,xn+1)].\varphi_i^{-1}:\varphi_i(U_i)\to U_i,\ (x_1,\dots,x_n)\mapsto [(x_1,\dots,x_{i-1},1,x_{i+1},\dots,x_{n+1})].

考虑映射

φ2(φ1)−1:φ1(U1∩U2)→φ2(U1∩U2)(x1,…,xn)↦(1x1,x2x1,…,xnx1),\varphi_2(\varphi_1)^{-1}:\varphi_1(U_1\cap U_2)\to \varphi_2(U_1\cap U_2)\\ (x_1,\dots,x_n)\mapsto (\frac{1}{x_1},\frac{x_2}{x_1},\dots,\frac{x_{n}}{x_1}),

可知φ2(φ1)−1\varphi_2(\varphi_1)^{-1}是C∞C^\infty映射，因此坐标图(U1,φ1)(U_1,\varphi_1)与(U2,φ2)(U_2,\varphi_2)是C∞C^\infty相容的。同理可得坐标图册{(Ui,φi)∣i=1,2,…,n+1}\{(U_i,\varphi_i)|i=1,2,\dots,n+1\}是RPn\mathrm{R}\mathrm{P}^n的C∞C^\infty相容坐标图册，因此RPn\mathrm{R}\mathrm{P}^n是nn维C∞C^\infty微分流形。

例３： 复射影空间CPn\mathrm{C}\mathrm{P}^n是2n2n维C∞C^\infty微分流形。

证明： 实射影空间CPn\mathrm{C}\mathrm{P}^n是Hausdorff空间。令X=Cn+1−0X=\mathrm{C}^{n+1}-{0}，在XX上定义等价关系∼\sim：对∀x,y∈X\forall x,y\in X，x∼yx\sim y当且仅当存在t∈Ct\in\mathrm{C}且t>0t>0使得y=txy=tx，则CPn\mathrm{C}\mathrm{P}^n即为X/∼X/\sim.令

Ui={[(x1,…,xn+1)]∣(x1,…,xn+1)∈X∣xi≠0}, i=1,2,…,n+1U_i=\{[(x_1,\dots,x_{n+1})]|(x_1,\dots,x_{n+1})\in X|x_i\ne 0\},\ i=1,2,\dots,n+1

其中[x][x]表示x∈Xx\in X关于等价关系∼\sim的等价类。令(x1,…,xn+1)∈X(x_1,\dots,x_{n+1})\in X且xi≠0x_i\ne 0，对∀(y1,…,yn+1)∈X\forall (y_1,\dots,y_{n+1})\in X，可知

(x1xi,…,xn+1xi)=(y1yi,…,yn+1yi)  ⟺  (x1,…,xn+1)∼(y1,…,yn+1)(\frac{x_1}{x_i},\dots,\frac{x_{n+1}}{x_i})=(\frac{y_1}{y_i},\dots,\frac{y_{n+1}}{y_i})\iff(x_1,\dots,x_{n+1})\sim(y_1,\dots,y_{n+1})

因此，下面的映射φi\varphi_i是良定义的单射

φi:Ui→Rn, [(x1,…,xn+1)]↦(x1xi,…,xi−1xi,xi+1xi,…,xn+1xi), i=1,2,…,n+1.\varphi_i:U_i\to \mathrm{R}^n,\ [(x_1,\dots,x_{n+1})]\mapsto (\frac{x_1}{x_i},\dots,\frac{x_{i-1}}{x_i},\frac{x_{i+1}}{x_i},\dots,\frac{x_{n+1}}{x_i}),\ i=1,2,\dots,n+1.

因此φi\varphi_i存在逆映射

φi−1:φi(Ui)→Ui, (x1,…,xn)↦[(x1,…,xi−1,1,xi+1,…,xn+1)].\varphi_i^{-1}:\varphi_i(U_i)\to U_i,\ (x_1,\dots,x_n)\mapsto [(x_1,\dots,x_{i-1},1,x_{i+1},\dots,x_{n+1})].

令π:C→R2, x+yi↦(x,y)\pi:\mathrm{C}\to \mathrm{R}^2,\ x+y\mathrm{i}\mapsto (x,y)，显然π\pi是C∞C^\infty同胚，因此πφi\pi\varphi_i是UiU_i到πφi(Ui)∈R2n\pi\varphi_i(U_i)\in \mathrm{R}^{2n}的C∞C^\infty微分同胚映射，考虑映射

πφ2(πφ1)−1:πφ1(U1∩U2)→πφ2(U1∩U2)(π(x1),…,π(xn))↦(π(1x1),π(x2x1),…,π(xnx1)),\pi\varphi_2(\pi\varphi_1)^{-1}:\pi\varphi_1(U_1\cap U_2)\to \pi\varphi_2(U_1\cap U_2)\\ (\pi(x_1),\dots,\pi(x_n))\mapsto (\pi(\frac{1}{x_1}),\pi(\frac{x_2}{x_1}),\dots,\pi(\frac{x_{n}}{x_1})),

可知πφ2(πφ1)−1\pi\varphi_2(\pi\varphi_1)^{-1}是C∞C^\infty映射，因此坐标图(U1,πφ1)(U_1,\pi\varphi_1)与(U2,πφ2)(U_2,\pi\varphi_2)是C∞C^\infty相容的。同理可得坐标图册{(Ui,πφi)∣i=1,2,…,n+1}\{(U_i,\pi\varphi_i)|i=1,2,\dots,n+1\}是CPn\mathrm{C}\mathrm{P}^n的C∞C^\infty相容坐标图册，因此CPn\mathrm{C}\mathrm{P}^n是2n2n维C∞C^\infty微分流形。

积流形： 令MM和NN分别是mm维和nn维CkC^k微分流形，它们的微分结构分别为{(Ui,φi)∣i∈I}\{(U_i,\varphi_i)|i\in I\}和{(Vj,ϕj)∣j∈J}\{(V_j,\phi_j)|j\in J\}，II和JJ分别是相应的指标集。显然，{(Ui×Vj)∣i∈I,j∈J}\{(U_i\times V_j)|i\in I,j\in J\}是拓扑空间M×NM\times N的开覆盖。定义映射

φi×ϕj:Ui×Vj→Rm×Rn=Rm+n(p,q)↦(φi(p),ϕj(q)), (p,q)∈Ui×Vj⊂M×N,\varphi_i\times \phi_j:U_i\times V_j\to\mathrm{R}^m\times\mathrm{R}^n=\mathrm{R}^{m+n}\\ (p,q)\mapsto(\varphi_i(p),\phi_j(q)),\ (p,q)\in U_i\times V_j\subset M\times N,

则容易证明{(Ui×Vj,φi×ϕj)∣i∈I,j∈J}\{(U_i\times V_j,\varphi_i\times\phi_j)|i\in I,j\in J\}是M×NM\times N的CkC^k相容坐标图册，因此M×NM\times N是m+nm+n维CkC^k微分流形。此时，称M×NM\times N是MM和NN的积流形。

例４： nn维环面Tn=S1×…,×S1\mathrm{T}^n=\mathrm{S}^1\times\dots,\times\mathrm{S}^1，是nn维C∞C^\infty微分流形。

证明： Tn=S1×…,×S1\mathrm{T}^n=\mathrm{S}^1\times\dots,\times\mathrm{S}^1是nn个圆环S1\mathrm{S}^1的积空间，而S1\mathrm{S}^1是１１维C∞C^\infty微分流形。因此，根据积流形的定义，容易验证Tn\mathrm{T}^n是nn维C∞C^\infty微分流形。

曲线与曲面积分

例１： 对于R2\mathrm{R}^2上的向量场X=x∂∂y−y∂∂xX=x\frac{\partial}{\partial y}-y\frac{\partial}{\partial x}，其积分曲线满足积分方程

{x˙(t)=−y(t)y˙(t)=x(t)\left\{ \begin{aligned} & \dot{x}(t)=-y(t)\\ & \dot{y}(t)=x(t) \end{aligned} \right.

解得积分曲线γ=(Rcos⁡(t),Rsin⁡(t))\gamma=(R\cos(t),R\sin(t)).

例２： 令M=S1×RM=\mathrm{S}^1\times\mathrm{R}是一个圆柱面，其上的坐标用(θ,x)(\theta,x)表示。对于MM上的向量场X=∂∂θ+x∂∂xX=\frac{\partial}{\partial \theta}+x\frac{\partial}{\partial x}，其积分曲线满足以下方程

{θ˙(t)=1x˙(t)=x(t)\left\{ \begin{aligned} & \dot{\theta}(t)=1\\ & \dot{x}(t)=x(t) \end{aligned} \right.

解得积分曲线γ=(θ+t,x0et)\gamma=(\theta+t,x_0\mathrm{e}^t).

de Rham\mathrm{de\ Rham}上同调

例１： 设MM是CkC^k微分流形，则H0(M)=RlH^0(M)=\mathrm{R}^l，其中ll为MM的连通子集的个数。

证明： A0(M)=C∞(M)A^0(M)=C^\infty(M)，对∀f∈A0(M)\forall f\in A^0(M)，若df=0df=0，则ff为局部常数函数，因此Z0(M)=RlZ^0(M)=\mathrm{R}^l，而显然B0(M)=0B^0(M)=0，因此H0(M)=RlH^0(M)=\mathrm{R}^l。

例２： 令S1={(x,y)∈R2∣x2+y2=1}\mathrm{S}^1=\{(x,y)\in \mathrm{R}^2|x^2+y^2=1\}，证明H0(S1)＝H1(S1)=R.H^0(\mathrm{S}^1)＝H^1(\mathrm{S}^1)=\mathrm{R}.

证明： S1\mathrm{S}^1是连通的，因此H0(S1)=RH^0(\mathrm{S}^1)=\mathrm{R}。令ω\omega为R2\mathrm{R}^2上的一形式−ydx+xdy∈A1(R2)-ydx+xdy\in A^1(\mathrm{R}^2)在S1\mathrm{S}^1上的限制，由S1S^1维度为11，可得dω=0d\omega=0，即ω\omega是闭形式。（未完待续。。。）

例３： 由于Rd+1=Rd×R\mathrm{R}^{d+1}=\mathrm{R}^d\times\mathrm{R}，存在投影映射π:Rd+1→Rd, (x,t)↦x\pi:\mathrm{R}^{d+1}\to\mathrm{R}^d,\ (x,t)\mapsto x和包含映射i:Rd→Rd+1, x↦(x,0)i:\mathrm{R}^d\to \mathrm{R}^{d+1},\ x\mapsto (x,0)，它们分别在A(Rd+1)A(\mathrm{R}^{d+1})和A(Rd)A(\mathrm{R}^d)之间导出拉回映射π∗:A(Rd)→A(Rd+1)\pi^*:A(\mathrm{R}^{d})\to A(\mathrm{R}^{d+1})和i∗:A(Rd+1)→A(Rd)i^*:A(\mathrm{R}^{d+1})\to A(\mathrm{R}^d)。π∗\pi^*在de Rham\mathrm{de\ Rham}上同调群H(Rd)H(R^d)上的导出映射，与i∗i^*在de Rham\mathrm{de\ Rham}上同调群H(Rd+1)H(R^{d+1})上的导出映射互逆，两者都是同构映射，使得H(Rd)=H(Rd+1)H(\mathrm{R}^d)=H(\mathrm{R}^{d+1})。

例４： 设U⊂RdU\subset \mathrm{R}^d是Rd\mathrm{R}^d上的星形状开集，则H(U)=H(R)H(U)=H(\mathrm{R})，即

Hk(U)=Hk(R)={R,k=00,otherH^k(U)=H^k(\mathrm{R})=\left\{ \begin{aligned} & \mathrm{R}, &k=0\\ & 0, & other \end{aligned} \right.

例５： 设M=Rd+1−{0}M=\mathrm{R}^{d+1}-\{0\}，则投影映射π:M→Sd, x↦x∣∣x∣∣\pi:M\to\mathrm{S}^d,\ x\mapsto \frac{x}{||x||}和包含映射i:Sd→M, x↦xi:\mathrm{S}^d\to M,\ x\mapsto x是同伦等价，因此H(Sd)=H(M)＝H(Rd+1−{0})H(\mathrm{S}^d)=H(M)＝H(\mathrm{R}^{d+1}-\{0\})。

（定理）Mayer−Vietoris Sequence\mathrm{Mayer-Vietoris\ Sequence}: 设MM是C∞C^\infty微分流形，U,V⊂MU,V\subset M是MM上两个开集，使得M=U∪VM=U\cup V，则存在一个长正合序列

⋯⟶Hk(M)⟶Hk(U)⊕Hk(V)⟶Hk(U∩V)⟶δ∗Hk+1(M)⟶⋯\cdots\longrightarrow H^k(M)\longrightarrow H^k(U)\oplus H^k(V)\longrightarrow H^k(U\cap V)\stackrel{\delta^*}{\longrightarrow} H^{k+1}(M)\longrightarrow \cdots

例６： Sd (d≥1)\mathrm{S}^d\ (d\ge 1)的de Rham\mathrm{de\ Rham}上同调群满足

Hk(Sd)={R,k=0 or k=d0,otherH^k(\mathrm{S}^d)=\left\{ \begin{aligned} & \mathrm{R}, &k=0\ or\ k=d\\ & 0, & other \end{aligned} \right.

证明： 已知d=1d=1时H0(S1)=H1(S1)=RH^0(\mathrm{S}^1)=H^1(\mathrm{S}^1)=\mathrm{R}，现证d>1d>1的情况。分别令pN=(0,…,0,1)∈Sdp_N=(0,\dots,0,1)\in \mathrm{S}^d和pS=(0,…,0,−1)∈Sdp_S=(0,\dots,0,-1)\in \mathrm{S}^d是Sd\mathrm{S}^d中两点，则U=Sd−pN⊂SdU=\mathrm{S}^d-p_N\subset \mathrm{S}^d和V=Sd−pS⊂SdV=\mathrm{S}^d-p_S\subset \mathrm{S}^d 是Sd\mathrm{S}^d中两个开集且Sd=U∪V\mathrm{S}^d=U\cup V。则存在Mayer−Vietoris\mathrm{Mayer-Vietoris}长正合序列

⋯⟶Hk(U)⊕Hk(V)⟶Hk(U∩V)⟶δk∗Hk+1(Sd)⟶Hk+1(U)⊕Hk+1(V)⟶⋯\cdots\longrightarrow H^k(U)\oplus H^k(V)\longrightarrow H^k(U\cap V)\stackrel{\delta_k^*}{\longrightarrow} H^{k+1}(\mathrm{S}^d)\longrightarrow H^{k+1}(U)\oplus H^{k+1}(V)\longrightarrow\cdots

由于U≅RdU\cong \mathrm{R}^d，V≅RdV\cong \mathrm{R}^d和U∩V≅Rd−{0}≅Sd−1U\cap V\cong \mathrm{R}^d-\{0\}\cong \mathrm{S}^{d-1}，因此当k>1k>1时有长正合列

⋯⟶0⊕0⟶Hk(Sd−1)⟶δk∗Hk+1(Sd)⟶0⊕0⟶⋯\cdots\longrightarrow 0\oplus 0\longrightarrow H^k(\mathrm{S}^{d-1})\stackrel{\delta_k^*}{\longrightarrow} H^{k+1}(\mathrm{S}^d)\longrightarrow 0\oplus 0\longrightarrow\cdots

即δk∗:Hk(Sd−1)→Hk+1(Sd)\delta_k^*:H^k(\mathrm{S}^{d-1})\to H^{k+1}(\mathrm{S}^d)是同构，从而Hk(Sd)≅H1(Sd−k+1)H^k(\mathrm{S}^d)\cong H^1(\mathrm{S}^{d-k+1})。又因为U,V,U∩VU,V,U\cap V都为连通的，因此正合序列的前几项为

0⟶R⟶R⊕R⟶R⟶δ0∗H1(Sd)⟶0⋯0\longrightarrow \mathrm{R}\longrightarrow \mathrm{R}\oplus\mathrm{R}\longrightarrow \mathrm{R}\stackrel{\delta_0^*}{\longrightarrow} H^1(\mathrm{S}^d)\longrightarrow 0 \cdots

因此H1(Rd)=0H^1(\mathrm{R}^d)=0。由于Hk(Sd)≅H1(Sd−k+1)H^k(\mathrm{S}^d)\cong H^1(\mathrm{S}^{d-k+1})，因此0<k<d0<k<d时Hk(Sd)=0H^k(\mathrm{S}^d)=0，k=dk=d时Hk(Sd)=RH^k(\mathrm{S}^d)=\mathrm{R}。

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