英雄升级与奖励最大化｜豆包MarsCode AI 刷题问题描述：问题描述在一个游戏中，小W拥有 n 个英雄，每个英

问题描述：

问题描述

在一个游戏中，小W拥有 n 个英雄，每个英雄的初始能力值均为 1。她可以通过升级操作来提升英雄的能力值，最多可以进行 k 次升级。

每次升级操作包含以下步骤：

选择一个英雄
选择一个正整数 x
将该英雄的能力值 aiai 更新为：ai=ai+⌊ai/x⌋ai=ai+⌊ai/x⌋
- 其中 ⌊ ⌋ 表示向下取整操作

游戏规则：

当英雄的能力值首次达到或超过目标值 bibi 时，小W可以获得对应的奖励 cici
每个英雄的奖励只能获得一次
升级操作的选择是自由的，可以多次选择同一个英雄进行升级

请计算在最多进行 k 次升级操作后，小W能获得的最大奖励总和。

测试样例：

样例1：

输入：n = 4 ,k = 4 ,b = [1, 7, 5, 2] ,c = [2, 6, 5, 2]
输出：9
解释：可以通过以下操作获得最大奖励：

第一个英雄初始值为 1，已达到目标值 1，直接获得奖励2

第四个英雄初始值为 1，选择 x=1 升级一次变为 2，达到目标值2，获得奖励2

第三个英雄通过三次合理的升级操作 (1->2->4->5) 可达到目标值5，获得奖励5
总奖励为：2 + 2 + 5 = 9

样例2：

输入：n = 3 ,k = 0 ,b = [3, 5, 2] ,c = [5, 4, 7]
输出：0
解释：无法进行升级操作，因此无法获得奖励

样例3：

输入：n = 3 ,k = 3 ,b = [3, 5, 2] ,c = [5, 4, 7]
输出：12
解释：可以通过以下操作获得最大奖励：
可以通过合理的升级操作使第一个和第三个英雄达到目标值，获得总奖励5 + 7 = 12

解题思路：

我们首先提取题目的关键信息：

每个英雄初始能力值都是1，要升级到目标能力值，升级次数可能大于等于0（当目标能力值就是1的话不需要升级）。
当英雄升级到目标能力值时，可以获得对应的奖励。
我们需要求最多能获得多少奖励。
而我们只有k次升级机会。

基于上面几点，我们需要知道能力值升级到target能力值，最少可以几次升级。这样才能保证我们不浪费升级次数。我们来看一下升级公式：

ai = ai + ⌊ai/x⌋ 其中x是正整数，也就是x至少得大于等于1

当x大于ai时，那么⌊ai/x⌋就为0了，相当于没升级还浪费了一次升级机会。当x等于ai时, 那么⌊ai/x⌋就为1了，相当于升级了1能力。当x小于ai时, 那么⌊ai/x⌋最大可以为ai（相当于能力翻倍了），最小其实是1（由于是下取整）。

我们可以先计算出每个英雄升级到目标能力值最少花多少升级次数。我们用f(i,target)表示当前能力值为i,升级到目标能力值target的最少升级次数 如果当前能力值翻倍还比目标能力值小的话，那就翻倍，答案为 1 + f(2 * i,target)。如果翻倍比目标能力值大，那就取x从2开始往上试探，直到升级完的能力值是小于等于target的。，答案是1 + f(i + ⌊i/x⌋ ,target)。这个过程我们还可以用记忆化搜索做一些优化。

此时我们已经算完了每个英雄升级到目标能力值花的最少次数了。我们只需要在里面选一些，保证开销小于等于k,并且得到的奖励最多就行了。 其实这个就是一个背包问题了。

核心

两阶段问题：
1. 能力值扩展：通过 comp2 求得从 1 到 b[i] 的最小步数。
2. 背包优化：利用这些步数作为重量解决 0-1 背包问题，最大化在不超过总步数的情况下的总价值。
算法策略：
- 记忆化搜索：用于优化能力扩展计算，减少重复计算。
- 动态规划：用于解决组合优化中的背包问题。
整体流程：
- 先转换问题为求步数的操作，然后将此步数与价值对应到一个背包问题中，再寻求在总步数不超过 k 时的最大价值。

把升级能力当成背包容量，把奖励当成金额。以下提供具体的代码。其中的01背包代码可以做优化，此处使用的是最朴素的01背包方法。

代码：

#include <unordered_map>
#include <vector>
#include <iostream>
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
unordered_map<int, int> memo;

int comp2(int curlevel,int target)
{
    if(curlevel==target){
        return 0;
    }
    int hashv = 31 * curlevel + target;
    if(memo.find(hashv)!=memo.end()){
        return memo[hashv];
    }
    if(2*curlevel<=target){
        return memo[hashv]=1+comp2(2*curlevel,target);
    }else{
        int o=2;
        for(;o<=curlevel;++o){
            if((curlevel+ curlevel/o)>target){
                continue;
            }else{
                break;
            }
        }
        return memo[hashv]=1+comp2(curlevel+ curlevel/o,target);
    }
}

int bpack(int k,const vector<int> &weight,const vector<int> &value){
    //dp[i][j] 前i个物品里背包容量为j时最大的奖励
    int n =weight.size();
    vector<vector<int>> dp (n+1,vector<int>(k+1,0));
    for(int i=1;i<n+1;++i){
        for(int j=0;j<k+1;++j){
            dp[i][j]=max(dp[i-1][j],j>=weight[i-1]?(dp[i-1][j-weight[i-1]]+value[i-1]):0);
        }
    }
    return dp[n][k];
}

int solution(int n, int k, const std::vector<int>& b, const std::vector<int>& c) {
    //对每个数达到的能力改成对应的开销次数
    vector<int> times(b.size());
    for(int i=0;i<n;++i){
        times[i]=comp2(1,b[i]);
    }
    //把times当成每个物品的容量，c当初每个物品的价值,背包最大容量为k，01背包
    return bpack(k, times, c);
}

int main() {
    // Add your test cases here
    std::cout << (solution(4, 4, {1, 7, 5, 2}, {2, 6, 5, 2}) == 9) << std::endl;
    std::cout << (solution(3, 0, {3, 5, 2}, {5, 4, 7}) == 0) << std::endl;
    return 0;
}

算法复杂度：

时间复杂度：O(n* log target + n* k)

空间复杂度：O(n * k)，dp数组的大小

英雄升级与奖励最大化｜ 豆包MarsCode AI 刷题

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算法复杂度：

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