问题描述
小R正在研究DNA序列，他需要一个函数来计算将一个受损DNA序列（dna1）转换成一个未受损序列（dna2）所需的最少编辑步骤。编辑步骤包括：增加一个碱基、删除一个碱基或替换一个碱基。
测试样例
样例1：
输入：
dna1 = "AGT",dna2 = "AGCT"
输出：1
样例2：
输入：
dna1 = "AACCGGTT",dna2 = "AACCTTGG"
输出：4
样例3：
输入：
dna1 = "ACGT",dna2 = "TGC"
输出：3
样例4：
输入：
dna1 = "A",dna2 = "T"
输出：1
样例5：
输入：
dna1 = "GGGG",dna2 = "TTTT"
输出：4
这是典型的编辑距离问题，可以使用动态规划来求解。
定义一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示将dna1的前i个字符转换成dna2的前j个字符所需的最少编辑步骤。
1. DP数组的初始化
dp[i][0]：将dna1的前i个字符转换成空字符串，需要i次删除操作，因此dp[i][0] = i。dp[0][j]：将空字符串转换成dna2的前j个字符，需要j次插入操作，因此dp[0][j] = j。
2. 状态转移方程
-
如果
dna1[i-1] == dna2[j-1]，表示当前字符相同，不需要额外操作，直接继承前一状态：dp[i][j] = dp[i-1][j-1]。 -
如果
dna1[i-1] != dna2[j-1]，则可以进行以下三种操作：- 插入：将
dna1的前i个字符转换成dna2的前j-1个字符，再插入dna2[j-1]，所需步骤为dp[i][j-1] + 1。 - 删除：将
dna1的前i-1个字符转换成dna2的前j个字符，再删除dna1[i-1]，所需步骤为dp[i-1][j] + 1。 - 替换：将
dna1的前i-1个字符转换成dna2的前j-1个字符，再将dna1[i-1]替换为dna2[j-1]，所需步骤为dp[i-1][j-1] + 1。
- 插入：将
取三者的最小值即为dp[i][j]的值：
-
可视化示例：
以下是对于dna1 = "ABC", dna2 = "AC"的dp数组填充过程的可视化示例：
dp[i][j] | j = 0 | j = 1（A） | j = 2（C） |
|---|---|---|---|
i = 0 | 0 | 1（插入A） | 2（插入A、C） |
i = 1（A） | 1（删除A） | 0（相同字符） | 1（替换B为C） |
i = 2（AB） | 2（删除A、B） | 1（删除B） | 1（相同字符） |
i = 3（ABC） | 3（删除A、B、C） | 2（删除C） | 2（删除B） |
-
首先初始化第一行和第一列。第一行表示将空字符串转换为
dna2的不同长度前缀所需的操作数，即依次插入字符，所以dp[0][1] = 1（插入A），dp[0][2] = 2（插入A、C）。第一列表示将dna1的不同长度前缀转换为空字符串所需的操作数，即依次删除字符，如dp[1][0] = 1（删除A），dp[2][0] = 2（删除A、B）等。 -
当
i = 1，j = 1时，dna1[0]（A）和dna2[0]（A）相同，所以dp[1][1] = 0，无需额外操作。 -
当
i = 1，j = 2时，dna1[0]（A）和dna2[1]（C）不同。此时有三种选择：- 删除：
dp[0][2] + 1 = 3（先将空字符串转换为AC，再删除A，但这不是最小值）。 - 插入：
dp[1][1] + 1 = 1（先将A转换为A，再插入C）。 - 替换：
dp[0][1] + 1 = 2（先将空字符串转换为A，再替换A为C）。取最小值，所以dp[1][2] = 1（这里实际是替换操作）。
- 删除：
-
以此类推，完成整个
dp数组的填充，最终答案是dp[3][2] = 2。
3. 最终结果
最终答案为dp[m][n]，其中m和n分别是dna1和dna2的长度。
完整的Python实现如下：
def solution(dna1, dna2):
m, n = len(dna1), len(dna2)
dp = [[0] * (n + 1) for _ in range(m + 1)]
# 初始化
for i in range(m + 1):
dp[i][0] = i
for j in range(n + 1):
dp[0][j] = j
# 动态规划填表
for i in range(1, m + 1):
for j in range(1, n + 1):
if dna1[i - 1] == dna2[j - 1]:
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] # 字符相同，无需操作
else:
dp[i][j] = min(dp[i - 1][j] + 1, # 删除
dp[i][j - 1] + 1, # 插入
dp[i - 1][j - 1] + 1) # 替换
return dp[m][n]
-
时间复杂度：
O(m * n)，其中m和n分别是dna1和dna2的长度。我们需要填充一个m * n大小的DP表。 -
空间复杂度：
O(m * n)，用于存储DP表。如果仅需要最终答案，可以优化空间复杂度至O(min(m, n))。
