青训营刷题打卡（计算从位置 x 到 y 的最少步数，非循环解法） | 豆包MarsCode AI 刷题计算从位置 x 到

计算从位置 x 到 y 的最少步数

问题描述

小F正在进行一个 AB 实验，需要从整数位置 x 移动到整数位置 y。每一步可以将当前位置增加或减少，且每步的增加或减少的值必须是连续的整数（即每步的移动范围是上一步的 -1，+0 或 +1）。首末两步的步长必须是 1。求从 x 到 y 的最少步数。

输入描述

输入包含两个整数 x 和 y，表示起始位置和目标位置。

输出描述

输出从 x 到 y 所需的最小步数。

测试样例

样例1：

输入：x_position = 12, y_position = 6
输出：4

样例2：

输入：x_position = 34, y_position = 45
输出：6

样例3：

输入：x_position = 50, y_position = 30
输出：8

样例4：

输入：x_position = 0, y_position = 0
输出：0

问题分析

在刚看到这道题时，我遵循以往的做题经验，先想到了一个暴力的方法，那就是直接宽搜。队列中每次存储的数据为当前的下标，总共走的步数以及上一步走的长度。这样，每次搜索时只需根据上一次走的步长step与当前走到的位置，循环判断step+1+x，step+x与step+x-1是否有到达终点的地方，如果有那就直接返回当前总共走的步数+1即可。我们根据样例1进行操作。（为了方便展示，这里省略了一些数据。）

操作轮次	当前队列中的元素	到达每个地方的最小步数
0	{ (12, 0, 0) }	{ 12:0 }
1	{ (11, 1, 1) ... }	{ 12:0, 11: 1 ...}
2	{ (10, 2, 1), (9, 2, 2) ... }	{ 12:0, ..., 9:2 }
3	{ (8, 3, 1), ... }	{8:3 ... }
4	{ (6, 4, 2), ... }	{6:4, ... }

当找到目标位置时直接返回其步长即可。但是这种方法有较多弊端，比如如何存储每个位置的最小步数，去除队列中的冗余元素防止一直迭代不到目标位置。但总体来说，这种方法算是问题的一种解决方式。

进一步分析

那有没有一种可以直接求得最终结果得方法呢？我们再来看这个问题，并思考在搜索时的最优路径。显然我们在进行操作时与x和y的初始具体位置并无关系，只需知道他们之间的距离即可。当前问题可以转换为：从0开始，走到|x-y|所需的最小步数。再来思考走法，显然，我们最终走的步长一定是1,2 ... n, n-1, ... 1 这种形式，这也是达到最终目的的最优路径。这里简单计算按照这种走法可以走到的位置。

$1+2+...+n+(n-1)+...+1$ = $n^2$

那么，如果 $|x-y|$ 是一个完全平方数时，可以直接得到结果为 $2n-1$ ，其中 $n^2 = |x-y|$ 。但如果 $|x-y|$ 不是一个完全平方数应该怎么办呢？显然我们可以在这 $2n-1$ 步中再任意添加长度在 $[1,n]$ 中的步长。即如果 $|x-y|-n^2 \le n$ （其中 $n=\sqrt{|x-y|}$ ），时，我们可以用 $2n$ 步走到最终的目的地。其实在这里，整个题目已经完成了大部分，只需要注意一点，如果 $|x-y| - n^2 > n$ 时会怎样？这时候我们可以走两步来达到目的。首先， $|x-y| - n^2 < 2n + 1$ ，原因也很简单，如果 $|x-y| - n^2 \ge 2n + 1$ ，那么 $|x-y| \ge n^2 + 2n + 1 = (n+1)^2$ ，不满足我们的设定 $n=\sqrt{|x-y|}$ 。所以，如果 $|x-y| - n^2 > n$ 时，我们需要走的步数为 $2n+1$ 。

这里给出Python的参考代码。

def solution(x_position, y_position):
    dis = abs(x_position - y_position)
    n = int(math.sqrt(dis))
    if dis == 0: return 0
    if n * n == dis: return 2 * n - 1
    else: return 2 * n + (1 if dis - n * n > n else 0)

总结

遇到数学问题时，这类题目最怕推公式，我们一但推出具体公式，问题就能迎刃而解。