刷题笔记-小S的货船租赁冒险 | 豆包MarsCode AI刷题小S的货船租赁冒险问题分析这道题要求在给定的预算 V

小S的货船租赁冒险

问题分析

这道题要求在给定的预算 V 元内，从 Q 种不同类型的货船中选择一些船只进行租赁，使得所租用的船只的总载货量最大。每种货船有一定的数量限制 m[i]，租赁价格 v[i]，以及每艘船的最大载货量 w[i]。

核心问题：在有限的预算和每种货船数量限制下，如何选择租赁的船只组合，使得总载货量最大化。

抽象模型

该问题可以抽象为多重背包问题（Bounded Knapsack Problem）：

物品：每种货船视为一种物品，每个物品有数量限制。
价值：每艘货船的载货量 w[i]。
成本：租赁每艘货船的价格 v[i]。
目标：在总成本不超过预算 V 的前提下，选择物品使得总价值（载货量）最大。

解题思路

1. 朴素多重背包

最直观的方法是使用多重背包的动态规划算法，时间复杂度为 $O(Q \times V \times M_{\text{max}})$ ，其中 $M_{\text{max}}$ 是货船数量的最大值。但是由于每种货船的数量可能较大，直接套用多重背包的做法会导致时间复杂度过高，无法通过所有测试用例。

2. 二进制优化多重背包

为了解决上述问题，我们采用二进制优化的方法，将多重背包问题转化为多个0-1背包问题，从而降低时间复杂度。

二进制优化的原理

对于每种货船的数量 m[i]，我们可以将其拆分成若干个物品，其数量为二进制形式。例如：

如果 m[i] = 5，我们可以将其拆分为数量为 1, 2, 2 的三个物品（ $1 + 2 + 2 = 5$ ）。
这样，每个新的物品的数量都是1，我们可以将其视为0-1背包问题的物品。

具体步骤

拆分物品：对于每种货船，将其数量按照二进制拆分。例如，对于数量 m[i]，拆分成若干个数量为 k 的物品，k 依次为 $1, 2, 4, \dots$ ，直到总和达到 m[i]。
更新动态规划：使用0-1背包的动态规划方法，对于拆分后的每个物品，按照其成本和价值更新DP数组。

3. 动态规划实现

状态定义：设定一维DP数组，dp[c]表示在总成本不超过 c 的情况下，可以获得的最大总载货量。
状态转移：对于每个拆分后的物品（成本为 cost = v[i] * count，价值为 value = w[i] * count），对于所有的 c 从 V 到 cost，更新 dp[c] = max(dp[c], dp[c - cost] + value)。

算法实现

def solution(Q, V, ships):
    dp = [0] * (V + 1)
    for m_i, v_i, w_i in ships:
        k = 1
        counts = []
        while m_i > 0:
            count = min(k, m_i)
            counts.append(count)
            m_i -= count
            k <<= 1  # k *= 2
        for count in counts:
            cost = v_i * count
            value = w_i * count
            for c in range(V, cost - 1, -1):
                if dp[c - cost] + value > dp[c]:
                    dp[c] = dp[c - cost] + value
    return dp[V]

算法分析

时间复杂度

拆分物品：对于每种货船，最多需要拆分 $\log_2 m[i]$ 次，总共最多需要处理 $O(\sum \log_2 m[i])$ 个物品。
动态规划：对于每个物品，内层循环为从 V 到 cost，总的时间复杂度为 $O(\text{物品总数} \times V)$ 。
总体时间复杂度： $O(N \times V)$ ，其中 N 为拆分后的物品总数，远小于原始的物品总数 Q \times M_{\text{max}}。

空间复杂度

使用了一维DP数组，空间复杂度为 $O(V)$ 。

总结

通过将多重背包问题转换为0-1背包问题，我们有效地降低了时间复杂度，使得算法可以在合理的时间内处理较大的输入规模。这种二进制优化的方法是解决多重背包问题的经典技巧，值得在类似的问题中借鉴和应用。

拓展思考

完全背包问题：如果每种货船的数量无限，可以使用完全背包的解法。
优化空间：如果需要进一步优化空间，可以考虑滚动数组等技巧。
应用场景：该问题的解法在资源分配、预算管理等实际问题中有广泛的应用价值。