最优硬币组合问题是一个经典的组合数学问题，它涉及到如何有效地使用不同面值的硬币来组合出特定的金额。
问题描述
假设我们有一组不同面值的硬币，每种硬币的数量可能有限。我们的目标是找出所有可能的硬币组合，这些组合能够加和到某个特定的金额。进一步地，如果我们想要找到最优的组合（例如，使用的硬币数量最少），问题就变得更为复杂。
解法思路
- 动态规划：
• 定义一个数组dp，其中dp[i]表示金额为i时所需的最少硬币数量（如果无法组成金额i，则dp[i]可以设置为一个很大的数，如无穷大）。
• 初始化dp[0]=0，因为金额为0时不需要任何硬币。
• 对于每种硬币的面值coin和数量count，遍历所有可能的金额j（从coin到目标金额），并更新dp[j]为dp[j-coin]+1和dp[j]中的较小值（前提是j-coin是一个有效的金额，即dp[j-coin]不是无穷大）。
- 回溯法（用于找出具体的最优组合）：
• 在动态规划的基础上，我们可以从目标金额开始，逐步减去最大的硬币面值（在不超过当前金额的前提下），并记录使用的硬币。
• 重复这个过程，直到金额减为0。
• 回溯过程中记录的硬币组合就是最优组合之一。
示例
假设我们有硬币面值[1,5,10]，数量不限，目标金额是11。
- 使用动态规划计算最少硬币数量：
• 初始化dp数组为[0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11]（这里暂时都设置为金额本身，表示尚未找到更优的组合）。
• 对于面值1的硬币，遍历所有金额并更新dp数组。
• dp[1]=min(dp[1],dp[0]+1)=1
• dp[2]=min(dp[2],dp[1]+1)=2
• ...
• dp[11]=min(dp[11],dp[10]+1)=11（这里其实没有变化，因为面值1的硬币对大于其面值的金额没有优化作用）。
• 对于面值5的硬币，再次遍历并更新。
• dp[5]=min(dp[5],dp[0]+1)=1
• dp[6]=min(dp[6],dp[1]+1)=2
• dp[7]=min(dp[7],dp[2]+1)=3
• ...
• dp[11]=min(dp[11],dp[6]+1)=2（这里优化了，因为可以用两个面值5的硬币和一个面值1的硬币组成11，但最优解是用一个面值10和一个面值1的硬币，所以后面还会进一步优化）。
• 对于面值10的硬币，继续遍历并更新。
• dp[10]=min(dp[10],dp[0]+1)=1
• dp[11]=min(dp[11],dp[1]+1)=1（最终优化为最优解）。
2. 使用回溯法找出最优组合：
• 从11开始，选择不大于11的最大硬币面值10，记录并使用一个面值10的硬币。
• 剩余金额1，选择不大于1的最大硬币面值1，记录并使用一个面值1的硬币。
• 金额减为0，回溯结束。
*最优组合为[10,1]。
通过上述方法，我们可以有效地解决最优硬币组合问题。这个问题不仅在数学上有趣，而且在现实生活中也有广泛的应用，如货币兑换、自动售货机找零等场景。
