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一、背景及意义介绍
(一)背景
0 - 1背包问题是运筹学中的一个经典NP - hard问题。在现实生活中,许多决策问题都可以转化为0 - 1背包问题,例如投资决策(选择哪些项目进行投资,每个项目有相应的成本和预期收益,资金有限相当于背包容量有限)、货物装载(决定哪些货物装入运输工具,货物有重量和价值,运输工具的载重有限)以及资金预算等。传统的求解方法主要是确定性算法,如分支定界法、穷举法和递归算法等。这些算法虽然能保证找到最优解,但时间复杂度随问题规模呈指数增长,因此只能用于求解小规模的0 - 1背包问题。
随着智能优化算法的发展,人们开始尝试使用这类算法来求解0 - 1背包问题。智能优化算法具有求解速度快(时间复杂度为多项式)的优点,但一般只能找到最优解域,不一定能获得精确的最优解。然而,对于大规模的0 - 1背包问题,智能优化算法仍然是一种有效的求解途径。探路者算法是一种新兴的智能优化算法,其思想起源于群体动物的狩猎行为,但尚未被用于求解0 - 1背包问题。
(二)意义
本研究提出的改进探路者算法(IPFA)对于0 - 1背包问题的求解具有重要意义。首先,它为0 - 1背包问题提供了一种新的有效求解方法,丰富了该问题的解法库。其次,通过与其他智能优化算法对比,验证了IPFA在全局寻优能力、收敛速度和稳定性方面的优势,这有助于在实际应用中更高效地解决相关问题,提高决策效率和资源利用的合理性。最后,将探路者算法应用于0 - 1背包问题的求解,拓宽了探路者算法的应用领域,促进了智能优化算法的进一步发展。
二、概述
改进探路者算法(IPFA)是在基本探路者算法的基础上,针对0 - 1背包问题的特点进行了改进。它主要包括以下几个关键步骤:
-
二进制编码:将种群个体从连续型数据转换为二进制离散型数据,以适应0 - 1背包问题的二进制特性。
-
贪心修复与优化算法(GROA) :用于处理二进制编码后可能出现的不可行解,并对可行解进行优化,提高算法的收敛速度。
-
变异策略:借鉴遗传算法的变异思想,以一定的变异概率对个体进行变异,增加种群的多样性,避免早熟和陷入局部最优解。
-
探路者和跟随者位置更新:按照基本探路者算法的规则,更新探路者和跟随者的位置,模拟种群寻找食物的探索过程,实现优化。
三、算法思路及原理解释
(一)0 - 1背包问题的数学模型
0 - 1背包问题的一般描述为:有一个最大承重量为CC的背包,现有nn件物品,每件物品有重量wjw j和价值vjv j。目标是选择将物品装入背包并在不超过背包最大承重的前提下使得装入物品的总价值达到最大。其数学描述如下:
[
\begin{align*}
\max f(Y)&=\sum_{j = 1}^{n}v_jy_j\
\text{s.t. }\sum_{j = 1}^{n}w_jy_j&\leq C\
y_j&\in{0, 1}, j = 1, 2, \cdots, n
\end{align*}
]
其中,YY是一个nn维的二进制向量,yj=1y j=1表示选中该物品放入背包,yj=0y j=0表示该物品未选中放入背包。
(二)基本探路者算法原理
探路者算法的思想起源于群体动物的狩猎行为,种群中的个体分为探路者和跟随者两种角色。
- 探路者位置更新
探路者是整个种群位置的先行探索者,其位置更新公式为:
[
\begin{align*}
A&=u_1e^{-2k/k_{\max}}\
x_p^{k + 1}&=x_p^k + 2r_1(x_p^k - x_p^{k - 1}) + A
\end{align*}
]
(三)改进探路者算法(IPFA)的改进点及原理
1. 二进制编码
基本探路者算法求解的是连续型的问题,而0 - 1背包问题是二进制离散型的问题,因此需要对个体进行二进制编码。假设存在一个连续型数据的向量X=(x1,x2,⋯,xn)X=(x1,x2,⋯,x n),编码为二进制向量Y=(y1,y2,⋯,yn)Y=(y1,y2,⋯,y n),编码规则如下:
2. 贪心修复与优化算法(GROA)
在对个体进行二进制编码后得到的只是问题的潜在解,可能存在不满足背包约束条件的不可行解。GROA用于处理这些不可行解并优化可行解。
● 修复不可行解:若一个解是不可行解(即装入背包的物品总重量超过背包容量),优先将价值与重量比值较小的物品移出背包,这个过程不断重复,直到背包中物品的总重量小于背包的最大承重量为止。
● 优化可行解:在没有超过背包的最大承重量的前提下,优先将价值与重量比值较大的物品装入背包,不断重复这个过程直到尝试到最后一个物品。
3. 变异策略
为了避免种群僵化,增加种群个体的多样性,以一定的变异概率pvp v对个体进行变异。每次变异随机选中个体二进制向量的3个比特位,将这3个比特位由0变成1或者由1变成0。
(四)IPFA算法的整体流程(伪代码)
# 定义背包问题类
class Knapsack01:
初始化背包容量、物品重量、物品价值和物品数量
# 贪心修复与优化算法(GROA)
function greedy_repair_and_optimize(solution, knapsack):
计算装入背包物品总重量
while总重量 > 背包容量:
找到价值与重量比值最小的物品索引
将该物品移出背包,更新总重量
for每个物品:
if物品未装入背包:
计算装入该物品后的新总重量
if新总重量 <= 背包容量:
将物品装入背包,更新总重量
return修复和优化后的解
# 探路者位置更新
function update_pathfinder_position(x_p_k, x_p_k_1, k, k_max):
生成随机数r1和u1
计算A
返回更新后的探路者位置
# 跟随者位置更新
function update_follower_position(x_i_k, followers, x_p_k, k, k_max, alpha, beta, i, M):
生成随机数r2、r3和u2
随机选择一个跟随者索引j
获取对应跟随者x_j_k
计算距离D_ij和epsilon
返回更新后的跟随者位置
# 改进探路者算法(IPFA)求解背包问题
function ipfa_solve_knapsack(knapsack, max_iterations, population_size, mutation_probability):
初始化种群(随机生成连续值,转换为二进制)
对每个个体使用GROA修复和优化
计算初始适应度,选择探路者和跟随者
for迭代次数从1到最大迭代次数:
更新探路者位置(连续更新后转换为二进制并使用GROA)
for每个跟随者:
更新跟随者位置(连续更新后转换为二进制并使用GROA)
对每个个体以一定概率变异
重新计算适应度,选择探路者和跟随者
return最优解和其适应度值
部署方式
● python 3.8以上
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