今天我刷了这题：
我写的代码如下：
def solution(n, m, s, like):
def factorial(n):
ji = 1
for i in range(1,n+1):
ji*= i
return ji
n = len(like)
total = 0
# def dfs(i,target,change):
# nonlocal total
# if change > m:
# return
# if i == n:
# if target == s and change <= m:
# total += 1
# return
# dfs(i+1,target+factorial(like[i]),change + 1)
# dfs(i+1,target+like[i],change)
# dfs(i+1,target,change)
# dfs(0,0,0)
#dp[i][j][k] 前i-1个数字，使用j个魔法，和为k的方案数
dp = [[[0 for _ in range(s+1)] for _ in range(m+1)] for _ in range(n + 1)]
for i in range(m+1):
dp[0][0][0] = 1
for i in range(n):
for j in range(m+1):
for k in range(s+1):
if k + factorial(like[i]) <= s and k + like[i] <= s and j+1 <= m :
dp[i+1][j+1][k+factorial(like[i])] += dp[i][j][k ]
dp[i+1][j][k + like[i]] += dp[i][j][k]
dp[i+1][j][k] += dp[i][j][k]
elif k + factorial(like[i]) <= s and j+1 <= m:
# dp[i+1][j+1][k] += dp[i][j+1][k] + dp[i][j][k + factorial(like[i])]
dp[i+1][j+1][k+factorial(like[i])] += dp[i][j][k]
dp[i+1][j][k] += dp[i][j][k]
elif k + like[i] <= s :
# dp[i+1][j+1][k] += dp[i][j+1][k] + dp[i][j+1][k + like[i]]
dp[i+1][j][k+like[i]] += dp[i][j][k]
dp[i+1][j][k] += dp[i][j][k]
else:
dp[i+1][j][k] += dp[i][j][k]
for i in dp[-1]:
total += i[s]
return total
if __name__ == "__main__":
# You can add more test cases here j = 2 k = 3 i+1 = 2 i+1 = 3 j = 2 k = 6
print(solution(3, 2, 6, [1,2,3]) == 5 )
print(solution(3, 1, 1, [1,1,1]) == 6 )```
我的代码是一个动态规划（DP）算法的实现，用来解决一个包含魔法使用的数值组合问题。具体来说，这段代码的目的是计算在使用 `m` 次魔法的限制下，如何从数组 `like` 中选择一些元素使得它们的和为 `s`，并且每个元素有两种选择：原值或其阶乘值（阶乘指的是该数值的乘积，如 3 的阶乘是 3 * 2 * 1 = 6）。任务是计算有多少种不同的选择方式。
### 主要的代码结构和步骤：
1. **`factorial` 函数**： 这是一个计算整数阶乘的简单函数。给定一个整数 `n`，它会返回 `n!`，即 `n` 的阶乘。
1. **动态规划数组 `dp`**： `dp[i][j][k]` 表示考虑前 `i` 个数（`like` 数组的前 `i` 个元素），使用 `j` 次魔法，且当前的和为 `k` 的方案数。
- `i` 是当前考虑的数字的索引。
- `j` 是已经使用的魔法次数。
- `k` 是当前和。
`dp` 是一个三维数组，大小为 `(n+1) x (m+1) x (s+1)`，`n` 是数组 `like` 的长度，`m` 是最大允许使用的魔法次数，`s` 是目标和。
1. **初始化**： 初始时，`dp[0][0][0] = 1` 表示在没有选择任何数字、没有使用任何魔法且和为 0 的情况下，方案数为 1。
1. **填充动态规划表**： 使用三重循环遍历 `dp` 数组：
- 外层循环遍历每一个数字 `i`。
- 中层循环遍历每个魔法次数 `j`。
- 内层循环遍历每个可能的和 `k`。
对于每个状态 `dp[i][j][k]`，有几种选择：
- **不使用魔法**：当前数字的原值 `like[i]` 加到当前和 `k`，如果结果不超过目标和 `s`，则把当前方案数累加到 `dp[i+1][j][k + like[i]]`。
- **使用魔法**：当前数字的阶乘值 `factorial(like[i])` 加到当前和 `k`，如果结果不超过目标和 `s`，且还未超过最大魔法次数 `m`，则把当前方案数累加到 `dp[i+1][j+1][k + factorial(like[i])]`。
1. **计算结果**： 在填充完动态规划表之后，最终的答案存在 `dp[n][j][s]` 中，其中 `j` 从 0 到 `m` 都需要考虑，因为我们不限制使用魔法的次数，只限制最大次数为 `m`。所以最后遍历 `dp[n]` 中所有的方案数，累加它们的和，得到符合条件的总方案数。
### 代码分析：
1. **`dp[i][j][k]` 的状态转移**：
- 如果 `k + factorial(like[i]) <= s` 且 `j + 1 <= m`，则使用阶乘值加入到和中。
- 如果 `k + like[i] <= s`，则使用原值加入到和中。
- 总结来说，动态规划的状态转移考虑了是否使用阶乘值或原值，并根据当前魔法次数和当前和是否满足约束来进行更新。
1. **`factorial(like[i])` 的使用**： 对于每一个数字 `like[i]`，我们有两种选择：直接使用 `like[i]` 或使用它的阶乘值 `factorial(like[i])`。因此，算法需要计算两者对和的影响。
1. **边界条件**： `dp[0][0][0] = 1` 是基准情况，表示在没有任何选择时，和为 0 的方式只有一种，即什么都不选。
1. **输出**： 最后，通过遍历 `dp[n]` 数组中所有可能的魔法次数 `j`，以及和为 `s` 的方案，累加得到所有符合条件的方案数。
### 示例：
以 `solution(3, 2, 6, [1, 2, 3])` 为例：
- `n = 3`，意味着我们有 3 个数字 `[1, 2, 3]`。
- `m = 2`，意味着最多可以使用 2 次魔法。
- `s = 6`，我们希望最终的和是 6。
### 计算过程：
在动态规划的过程中，系统会计算每一种选择的结果，最终返回的结果是总共有多少种选择方式可以使和为 `6`，并且使用的魔法次数不超过 2。
### 总结：
这段代码实现了一个典型的动态规划算法，旨在解决带有约束条件的数值组合问题。通过合理地使用三维 `dp` 数组，程序可以高效地计算出所有符合条件的选择方案数。
