最大矩形面积问题

一、问题重现

问题描述

小S最近在分析一个数组 h1,h2,...,hN，数组的每个元素代表某种高度。小S对这些高度感兴趣的是，当我们选取任意 k 个相邻元素时，如何计算它们所能形成的最大矩形面积。

对于 k 个相邻的元素，我们定义其矩形的最大面积为：

R(k)=k×min(h[i],h[i+1],...,h[i+k−1])R(k)=k×min(h[i],h[i+1],...,h[i+k−1])

即，R(k)的值为这 kk 个相邻元素中的最小值乘以 k。现在，小S希望你能帮他找出对于任意 k，R(k)的最大值。

测试样例

样例1：

输入：n = 5, array = [1, 2, 3, 4, 5]
输出：9

样例2：

输入：n = 6, array = [5, 4, 3, 2, 1, 6]
输出：9

样例3：

输入：n = 4, array = [4, 4, 4, 4]
输出：16

二、解题思路

问题理解

我们需要在一个数组中找到任意 k 个相邻元素所能形成的最大矩形面积。这个矩形面积的计算方式是：k 个相邻元素中的最小值乘以 k。

数据结构选择

由于我们需要频繁地查找最小值，并且需要遍历所有可能的 k 值（从 1 到 n），我们可以考虑使用单调栈，用于理清元素大小关系，并快速找到最小值。

算法步骤

初始化：
- 使用一个单调栈来存储数组元素的索引。
- 使用一个变量 max_area 来记录最大矩形面积。
遍历数组：
- 对于每个元素，将其索引压入单调栈中。
- 当栈顶元素大于当前元素时，弹出栈顶元素，并计算以栈顶元素为最小值的矩形面积。
计算面积：
- 对于每个弹出的栈顶元素，计算以该元素为最小值的矩形面积，并更新 max_area。
处理剩余元素：
- 遍历结束后，栈中可能还有元素，依次弹出并计算面积。

三、代码实现

def solution(n, array):
    stack = []  # 单调栈，存储索引
    max_area = 0
    
    for i in range(n):
        while stack and array[stack[-1]] > array[i]:
            # 弹出栈顶元素并计算面积
            height = array[stack.pop()]
            width = i if not stack else i - stack[-1] - 1
            max_area = max(max_area, height * width)
        
        stack.append(i)
    
    # 处理剩余元素
    while stack:
        height = array[stack.pop()]
        width = n if not stack else n - stack[-1] - 1
        max_area = max(max_area, height * width)
    
    return max_area

四、算法复杂度分析

时间复杂度

遍历数组：代码中使用了一个 for 循环来遍历数组中的每个元素，时间复杂度为 O(n)，其中 n 是数组的长度。
单调栈操作：在 for 循环中，每个元素最多会被压入和弹出栈一次。因此，单调栈的操作总时间复杂度为 O(n)。
处理剩余元素：在遍历结束后，栈中可能还剩下一些元素，需要依次弹出并计算面积。这部分操作的时间复杂度也是 O(n)。

整个算法的时间复杂度为 O(n)。

空间复杂度

单调栈：单调栈最多存储 n 个元素的索引，空间复杂度为 O(n)。
其他变量：其他变量（如 max_area）的空间复杂度为 O(1)。

整个算法的空间复杂度为 O(n)。