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第496题 负二进制表示问题

题目分析

题目要求将一个整数 nnn 转换为负二进制（基数为 -2）的形式，并返回其对应的二进制字符串。

在普通的二进制表示中，基数是 2，即每一位上的权值是 2i2^i2i。但是在负二进制表示中，基数是 -2，这意味着每一位上的权值是 (−2)i(-2)^i(−2)i（即交替的正负数）。因此，负二进制的表示方式与普通二进制不同，其在转换过程中有特殊的规则，尤其是在计算余数时，需要进行额外的调整。

解题思路

• 基本理解：

  • 负二进制表示是基数为 -2 的表示法。每一位的权值是 (−2)i(-2)^i(−2)i。
  • 例如，对于 n=2n = 2n=2，其负二进制表示应为 "110"，因为 2=(−2)2+(−2)1+(−2)02 = (-2)^2 + (-2)^1 + (-2)^02=(−2)2+(−2)1+(−2)0，即 2=4−2+02 = 4 - 2 + 02=4−2+0。

• 计算方法：

  • 我们使用 除法取余 的方法来转换数字：

    • 每次将数字 nnn 除以 -2，得到商和余数。
    • 余数应始终保持非负（0 或 1），如果余数为负，则需要调整。调整的方法是将余数加 2，同时商增加 1。

  • 重复这个过程，直到商为 0。

  • 最后，将所有余数反向排列，即可得到负二进制表示。

• 特殊情况：

  • 如果 n=0n = 0n=0，直接返回 "0"。

解题代码

def solution(n: int) -> str:
    if n == 0:
        return "0"
    
    result = []
    
    while n != 0:
        n, remainder = divmod(n, -2)
        
        # 处理负余数
        if remainder < 0:
            remainder += 2
            n += 1
        
        result.append(str(remainder))
    
    return ''.join(result[::-1])  # 反转结果并返回

if __name__ == '__main__':
    print(solution(n=2) == '110')
    print(solution(n=3) == '111')
    print(solution(n=0) == '0')

模块解释

• divmod(n, -2) ：

  • divmod 是 Python 内置的函数，它返回两个数相除后的商和余数。用它来计算负二进制时，商是 nnn 除以 -2 的商，余数是 nnn 除以 -2 的余数。
  • 在负二进制的情况下，余数的范围应为 0 或 1。如果余数为负，我们通过调整来保证余数非负。

• 余数调整：

  • 如果余数小于 0（即为 -1），我们需要做调整：

    • 将余数加 2 使其变为正数。
    • 同时商增加 1（因为我们修改了余数，商应向上取整）。

• result.append(str(remainder)) ：

  • 每次计算出余数后，我们将其加入结果列表 result 中，最终得到反向的负二进制表示。

• ''.join(result[::-1]) ：

  • 由于我们从最低位开始计算余数，结果列表中的余数是从低位到高位排列的，所以需要反转列表来得到正确的负二进制表示。

结论

• 时间复杂度：O(log|n|)，每次操作都会将 nnn 减少一半，因此转换过程的时间复杂度是对数级别的，即与数字的大小的对数成正比。

• 空间复杂度：O(log|n|)，我们需要一个结果列表来存储转换过程中每个余数。由于最多需要进行对数次计算，因此空间复杂度是对数级别的。