最近工作要用到线形代数了，然后把自己四五年前的线形代数笔记重新整理了下，发了出来。
若矩阵是A，行列式就是|A|，对于一个2x2矩阵A，其行列式定义为|A| = ad - bc。对于更大的方阵，行列式可以通过余子式展开（拉普拉斯展开）递归定义。这个过程可以扩展到任意大小的方阵。至于什么是余子式展开，下面再说，现在还不重要。
对于2x2矩阵，它表示由两个向量形成的平行四边形的面积（确实是这样，你可以自己画图算一下）；对于3x3矩阵，它表示由三个向量形成的平行六面体的体积。
单位矩阵，就是对角线都是1，其余都是0的矩阵。很好理解，就类比自然数的1嘛。
可逆矩阵，就是AB=I=BA，I是单位矩阵，A和B互为可逆矩阵，B也可以写作，类比自然数，其实就是互为倒数的感觉。实际上，它们的行列式互为倒数。
但其实还是有更深层的意义的，对于一个矩阵（先按照n行n列算，比较简单），我们可以将其看成n元一次方程的系数（该n元一次方程的等号右边都是1），我们的目的是要算出所有的n个自变量（这个我们在小学就学过吧），经过变换变成了单位矩阵时，实际上就算出了所有的n个自变量。举个例子：
|3 1 4|
|2 7 3|
|2 9 9|
这么一个矩阵，将其看成n元一次方程的系数，那么这个n元一次方程组为：
解n元一次方程组谁都会吧？这个在小学就学过了，现在就是用n元一次方程组类比矩阵，方便理解。
但是，如果这个矩阵变换不成单位矩阵呢？这时候只有一种情况，某一行或某几行全部都变成0了，比如说一行是 3x+5y=1，另一行是6x+10y=2，前一行能完全消除后一行，这就是某一行能全部变零的原因。这就导致一个问题，我们无法算出所有的n个自变量都是啥。所以说一个矩阵可逆，其用处比不可逆要大。
而且从行列式的角度来说，如果一个矩阵转化不成单位矩阵，也就是转换到最后某一行或某几行都是0，那么这个行列式的值也是0，这是能算出来的，另外这个矩阵的行列式也是0，再怎么变换都是行列式0，这是这个矩阵的固定特性：行列式为0
因此，只有行数等于列数的矩阵才能算出所有的自变量，或者说能转成单位矩阵，或者说可逆，行数不等于列数的矩阵不可逆，很浅显易懂对吧。
那么什么是变换？或者说什么是线性变换？其实还是能通过解n元一次方程来看，比如将第一行所有的值乘以二再用第二行减之，目的是消除一个自变量（或者说，将这个自变量的系数变为0），这就是线性变换。我们这么变换并不会使自变量的值发生变化，毕竟我们小学的时候一直都是这么算的。
我们目前研究的都是线性变换，还有其他别的变换吗？也就是非线形变换，比如说把n元一次方程的某一行都乘以0，矩阵就变成了不可逆矩阵，这就是非线形变换，而且也不是很有意义了。我们往往研究可逆矩阵的线形变换，这是最有意义的。
什么是线性有关/无关？例如n元一次方程组的两个方程：和，明眼人一看就能看出来这两个方程是一个方程，前者乘以2就能消除后者，那么我们就说这两个方程是线性有关的，意味着这个方程组没办法求出全部解了，所以线性有关不好，线形无关好。
对于不可逆矩阵，或者说，经过线形变换成的单位矩阵，某几行全部都是0，这种不可逆矩阵，我们也应该评价一下它到底有多么不可逆，按照解n元一次方程来看，有多少行全部都是0，就意味着有多少个自变量解不出来，我们把有多少行不会被消除为0的行数称为秩，可逆矩阵的秩就是可逆矩阵的行数，秩可以看作是n元一次方程中“真正有用”的行的数量，系数矩阵的秩可以帮助我们确定方程组的解的个数。
现在我们都是按照N x N的正方形矩阵算的，如果是M x N的长方形矩阵呢？它们肯定都是不可逆的，但我们规定如果一个矩阵的秩等于它的行数或列数（取较小的那个），那么这个矩阵就是行/列满秩的。如果是方阵，行满秩矩阵与列满秩矩阵是等价的。满秩矩阵必为方阵。
满秩矩阵的行列式不为0，这其实是一个概念的一体两面，这个概念就是：这个矩阵作为n元一次方程的系数矩阵的话，能解出所有解。
矩阵的乘法是例如A和B两个向量，先挑取A的第m行向量，再挑取B的第n列向量，做一个相乘再全部加起来，作为结果向量C的第(m, n)个向量。因此需要A向量的列数等于B向量的行数，最后的结果矩阵就是A向量的行数，B向量的列数。这很好理解。
什么是转置矩阵？把矩阵A的行换成同序数的列，形成的矩阵称为转置矩阵，例如： |1 2| |3 4| |5 6| 变成了 |1 3 5| |2 4 6| 很好理解吧，该矩阵称为A的，记作。
什么是伴随矩阵？由的代数余子式所构成的矩阵，称为的代数余子式矩阵，什么是代数余子式？后面再说。其转置称为的伴随矩阵，记作，伴随矩阵有一个特点，就是用这个伴随矩阵除以行列式，就是逆矩阵，我们往往用这个特性求逆矩阵，这就是伴随矩阵的意义。
先写到这里，大家觉得怎么样？如果对你有帮助的话，我继续写。
