题目解析最大相等分割红包金额 | 豆包MarsCode AI刷题题目解析小包收到了 $N$ 个甜点，每个甜点都有一个喜

题目解析

小包收到了 $N$ 个甜点，每个甜点都有一个喜爱值。这些甜点被连续送来了 $M$ 次，并且这些甜点被首尾相接排成一排。现在小包希望从这 $N×M$ 个甜点中选择一段连续的甜点，使得这段甜点的总喜爱值最大化。

关键点：

甜点的排列：甜点被排列成 $N×M$ 个，即 $N$ 个甜点重复 $M$ 次。
连续子数组的最大和：我们需要找到一个连续子数组，使得其喜爱值之和最大。
至少选择一个甜点：即使所有甜点的喜爱值都是负数，小包也必须至少选择一个甜点。

解决方案推导

1. 单次送来的甜点

首先，我们需要计算单次送来的甜点中连续子数组的最大和。这可以通过经典的 Kadane 算法来实现。Kadane算法的核心思想是动态规划，通过遍历数组，维护两个变量：

def max_subarray_sum(arr):
    max_ending_here = max_so_far = arr[0]
    for x in arr[1:]:
        max_ending_here = max(x, max_ending_here + x)
        max_so_far = max(max_so_far, max_ending_here)
    return max_so_far

max_ending_here 表示以当前元素结尾的子数组的最大和。
max_so_far 表示全局的最大和。
遍历数组，更新 max_ending_here 和 max_so_far。

2. 多次送来的甜点

当 $M>1$ 时，甜点被重复排列。我们需要考虑以下几种情况：

单次送来的甜点中的最大和：这是最简单的情况，直接使用 max_subarray_sum。
循环数组的最大和：由于甜点是重复排列的，我们需要考虑循环数组的情况。循环数组的最大和可以通过以下方法计算：
- 计算数组的总和 total_sum。
- 计算数组中每个元素取反后的最大子数组和，这实际上是在寻找最小子数组和。
- 循环数组的最大和为 total_sum + max_subarray_sum([-x for x in arr])。

def max_circular_subarray_sum(arr):
    total_sum = sum(arr)
    max_subarray_sum_wrap = total_sum + max_subarray_sum([-x for x in arr])
    return max_subarray_sum_wrap

total_sum 是数组的总和。
max_subarray_sum([-x for x in arr]) 计算数组中每个元素取反后的最大子数组和。这个操作实际上是在寻找最小子数组和，因为取反后最小子数组和对应的是原数组中的最大子数组和。
max_subarray_sum_wrap 是总和加上取反后的最大子数组和，表示循环数组的最大子数组和。

3. 综合考虑

我们需要综合考虑单次送来的甜点中的最大和、循环数组的最大和，以及多次送来的甜点的总和。

如果 total_sum > 0，说明甜点的总和是正的，可以考虑多次送来的甜点。此时，最大和可能是 max_single_segment、max_circular_segment，或者是 total_sum * (M - 2) + max_circular_segment，即在中间部分重复甜点的总和加上两端的循环最大和。
如果 total_sum <= 0，说明甜点的总和是负的或零，此时最大和只可能是 max_single_segment 或 max_circular_segment。

def solution(N, M, data):
    max_single_segment = max_subarray_sum(data)
    
    if M == 1:
        return max_single_segment
    
    total_sum = sum(data)
    max_circular_segment = max_circular_subarray_sum(data)
    
    if total_sum > 0:
        return max(max_single_segment, max_circular_segment, total_sum * (M - 2) + max_circular_segment)
    else:
        return max(max_single_segment, max_circular_segment)

max_single_segment 是单次送来的甜点中连续子数组的最大和。
如果 $M==1$ ，直接返回 max_single_segment。
total_sum 是单次送来的甜点的总和。
max_circular_segment 是循环数组的最大子数组和。
如果 total_sum > 0，说明甜点的总和是正的，可以考虑多次送来的甜点。此时，最大和可能是 max_single_segment、max_circular_segment，或者是 total_sum * (M - 2) + max_circular_segment，即在中间部分重复甜点的总和加上两端的循环最大和。
如果 total_sum <= 0，说明甜点的总和是负的或零，此时最大和只可能是 max_single_segment 或 max_circular_segment。

总结

代码通过动态规划和循环子数组的最大和来解决这个问题。它考虑了甜点排列的特殊性，并且根据甜点的总和是否为正来决定是否需要考虑多次送来的甜点。最终返回的是在 $N×M$ 个甜点中可以选择的连续甜点段的最大总喜爱值。