二分数字组合问题题解

用户61363257397
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二分数字组合

问题描述

小F面临一个有趣的挑战：给定一个数组，她需要将数组中的数字分为两组。分组的目标是使得一组数字的和的个位数等于给定的 A，另一组数字的和的个位数等于给定的 B。除此之外，还有一种特殊情况允许其中一组为空，但剩余数字和的个位数必须等于 A 或 B。小F需要计算所有可能的划分方式。

例如，对于数组 [1, 1, 1] 和目标 A = 1，B = 2，可行的划分包括三种：每个 1 单独作为一组，其余两个 1 形成另一组。如果 A = 3，B = 5，当所有数字加和的个位数为 3 或 5 时，可以有一组为非空，另一组为空。

测试样例

样例1：

输入：n = 3,A = 1,B = 2,array_a = [1, 1, 1]
输出：3

样例2：

输入：n = 3,A = 3,B = 5,array_a = [1, 1, 1]
输出：1

样例3：

输入：n = 2,A = 1,B = 1,array_a = [1, 1]
输出：2

样例4：

输入：n = 5,A = 3,B = 7,array_a = [2, 3, 5, 7, 9]
输出：0

题解：

这是一个子集划分问题，目标是找到所有满足条件的划分方法，使得两个子集的和的个位数分别等于目标 A 和 B。我们可以利用递归和动态规划等方法来解决。

思路解析

  1. 问题分解：

    • 题目要求将数组分为两组，设这两组的和分别为 S1 和 S2。
    • 要求 S1 的个位数等于 A，S2 的个位数等于 B，或者反之。
    • 如果允许一组为空，则总和 S1 + S2 的个位数需要等于 A 或 B。

  2. 状态表示：

    • 用递归或者动态规划来尝试不同的划分方法。
    • 使用位运算可以表示某些数字是否属于当前子集，从而方便地遍历所有子集。

  3. 位运算枚举所有子集：

    • 通过遍历 0 到 2n−12^n - 12n−1 的所有整数，可以枚举数组的所有子集。
    • 对于每一个子集计算其和的个位数，并检查是否满足题目要求。

  4. 特殊情况：

    • 如果一个子集为空，我们只需检查剩余子集的和的个位数是否等于 A 或 B。

代码实现

以下是使用位运算的解法，用于枚举所有可能的子集划分，并计算满足条件的划分数量。

public static int solution(int n, int A, int B, int[] array_a) {
    int totalWays = 0;
    int totalSum = 0;

    // 计算数组总和
    for (int num : array_a) {
        totalSum += num;
    }

    // 枚举所有子集
    for (int i = 0; i < (1 << n); i++) {
        int sum1 = 0;

        // 计算当前子集的和
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            if ((i & (1 << j)) != 0) { // 如果第 j 位为 1，则该元素属于子集 1
                sum1 += array_a[j];
            }
        }

        int sum2 = totalSum - sum1; // 子集 2 的和

        // 检查两组的个位数是否符合要求
        if ((sum1 % 10 == A && sum2 % 10 == B)) {
            totalWays++;
        }
    }

    // 特殊情况：一组为空
    if (totalSum % 10 == A || totalSum % 10 == B) {
        totalWays++;
    }

    return totalWays;
}

public static void main(String[] args) {
    // 测试用例
    int[] array1 = {1, 1, 1};
    int[] array2 = {1, 1, 1};
    int[] array3 = {1, 1};

    System.out.println(solution(3, 1, 2, array1) == 3);
    System.out.println(solution(3, 3, 5, array2) == 1);
    System.out.println(solution(2, 1, 1, array3) == 2);
}

代码说明

  1. 变量初始化：

    • totalSum 用于计算数组的总和。
    • totalWays 记录满足条件的划分方式数量。

  2. 位运算枚举所有子集：

    • for (int i = 0; i < (1 << n); i++) 用于枚举从 0 到 2n−12^n - 12n−1 的每个整数，每个整数的二进制位表示数组的一个子集。
    • 对于每个子集，计算该子集的和 sum1，剩余子集的和 sum2 = totalSum - sum1。

  3. 条件检查：

    • 检查 sum1 和 sum2 的个位数是否等于 A 和 B 或 B 和 A。

  4. 特殊情况：

    • 如果允许一组为空，则检查总和 totalSum 的个位数是否为 A 或 B。如果满足条件，计数增加一次。

在 Java 中，1 << j 表示 将数字 1 左移 j 位。这是位移操作符的一种用法。其作用是在二进制表示中，将 1 向左移动 j 位，从而产生一个数，这个数在第 j 位是 1，其余位都是 0。例如：

  • 1 << 0 等于 0001（二进制），即 1。
  • 1 << 1 等于 0010（二进制），即 2。
  • 1 << 2 等于 0100（二进制），即 4。
  • 1 << 3 等于 1000（二进制），即 8。

用于子集枚举的意义

在这个算法中，(i & (1 << j)) != 0 用来检查整数 i 的第 j 位是否为 1。这种操作通过位运算判断数组中的第 j 个元素是否应该被包含在当前子集中。

  1. i 是一个整数，用于表示子集的某种组合（例如，i = 5 表示二进制 101，即第 0 位和第 2 位为 1，对应选择数组中的第 0 个和第 2 个元素）。
  2. 1 << j 表示将 1 左移 j 位，从而构造一个仅在第 j 位上有 1 的数字。
  3. i & (1 << j) 是一个按位与操作，用来检查 i 的第 j 位是否为 1。如果结果不为 0，则 i 的第 j 位是 1；否则是 0。

示例

假设 i = 5（二进制 101）：

  • j = 0 时，1 << 0 是 001，i & (1 << 0) 结果是 1（表示第 0 位为 1）。
  • j = 1 时，1 << 1 是 010，i & (1 << 1) 结果是 0（表示第 1 位为 0）。
  • j = 2 时，1 << 2 是 100，i & (1 << 2) 结果是 4（表示第 2 位为 1）。

这样，我们就可以通过位运算决定当前子集中是否包含数组的第 j 个元素。

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