01问题描述
小F面临一个有趣的挑战：给定一个数组，她需要将数组中的数字分为两组。分组的目标是使得一组数字的和的个位数等于给定的 A，另一组数字的和的个位数等于给定的 B。除此之外，还有一种特殊情况允许其中一组为空，但剩余数字和的个位数必须等于 A 或 B。小F需要计算所有可能的划分方式。
例如，对于数组 [1, 1, 1] 和目标 A = 1，B = 2，可行的划分包括三种：每个 1 单独作为一组，其余两个 1 形成另一组。如果 A = 3，B = 5，当所有数字加和的个位数为 3 或 5 时，可以有一组为非空，另一组为空。
测试样例
样例1：
输入：
n = 3,A = 1,B = 2,array_a = [1, 1, 1]输出：3
样例2：
输入：
n = 3,A = 3,B = 5,array_a = [1, 1, 1]输出：1
样例3：
输入：
n = 2,A = 1,B = 1,array_a = [1, 1]输出：2
样例4：
输入：
n = 5,A = 3,B = 7,array_a = [2, 3, 5, 7, 9]输出：0
02思路
动态规划
2.1预处理
先将数组每个数都模10，只关心个位数
for i in range(n):
array_a[i] %= 10
2.2 计算 total_sum 并检查特殊情况
total_sum = sum(array_a) % 10
2.2.1一组为空
if total_sum == A or total_sum == B:
return 1
一组加起来等于A或B，另一组为空，一种划分
2.2.2无法划分
if total_sum != (A + B) % 10:
return 0
2.3动态规划
2.3.1初始化
f[i][j] 表示用前 i 个元素组成的子集和模10为 j 的组合数。初始条件 f[0][0] = 1 表示用0个元素时，和为0的组合数为1。
i从0到n,j可取0到9
f[i][j]为n+1行，10列
f = [[0] * 10 for _ in range(n + 1)]
f[0][0] = 1
2.3.2动态规划转移方程
for i in range(1, n + 1):
for j in range(10):
f[i][j] += f[i - 1][j]
f[i][j] += f[i - 1][(j - array_a[i - 1] + 10) % 10]
计算前i 个元素组成的子集和模10为 j 的组合数有两种可能情况，这两种情况都要考虑，才能包含所有的组合数
- 不选第
i个元素，保持上一个状态的值不变
f[i][j] += f[i - 1][j]
- 选择第
i个元素，将它的个位数加入到目标和中
f[i][j] += f[i - 1][(j - array_a[i - 1] + 10) % 10]
新的目标个位数为 j，而上一步的和的个位数则应当为 j - array_a[i - 1]，选了第i个，加上个位数就变成j了，为了避免负数结果，计算 (j - array_a[i - 1] + 10) % 10
2.3.3目标状态
return f[n][B]
存储了能使某一组的和的个位数等于 B 的方案数
03代码
def solution(n, A, B, array_a):
# n表示数组长度
for i in range(n):
array_a[i] %= 10
total_sum = sum(array_a) % 10
# 一组为空
if total_sum == A or total_sum == B:
return 1
# 无法划分
if total_sum != (A + B) % 10:
return 0
f = [[0] * 10 for _ in range(n + 1)]
f[0][0] = 1
for i in range(n + 1):
for j in range(10):
f[i][j] += f[i - 1][j]
f[i][j] += f[i - 1][(j - array_a[i - 1] - j + 10) % 10]
return f[n][B]
f[i][j] += f[i - 1][(j - array_a[i - 1] ``- j`` + 10) % 10]
这里多写了一个-j
最终代码：
def solution(n, A, B, array_a):
# n表示数组长度
for i in range(n):
array_a[i] %= 10
total_sum = sum(array_a) % 10
# 一组为空
if total_sum == A or total_sum == B:
return 1
# 无法划分
if total_sum != (A + B) % 10:
return 0
f = [[0] * 10 for _ in range(n + 1)]
f[0][0] = 1
for i in range(n + 1):
for j in range(10):
f[i][j] += f[i - 1][j]
f[i][j] += f[i - 1][(j - array_a[i - 1] + 10) % 10]
return f[n][B]
if __name__ == "__main__":
# You can add more test cases here
array1 = [1, 1, 1]
array2 = [1, 1, 1]
array3 = [1, 1]
print(solution(3, 1, 2, array1) == 3)
print(solution(3, 3, 5, array2) == 1)
print(solution(2, 1, 1, array3) == 2)
04总结
还是没有掌握动态规划算法，不能自己设出dp数组，对本题动态转移方程的理解也没有太深入。
