题目解析绿洲之旅:最少补给次数探索 | 豆包MarsCode AI刷题

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问题描述

小U正在准备穿越一片广阔的沙漠。沙漠里有多个绿洲，每个绿洲设有补给站。所有补给站的收费相同，但提供的水量不同。从起点到终点共有 (D) 公里，小U需要规划在哪些补给站停留，以保证整个旅途中水的供应。

起点到终点的距离为 (D) 公里，小U初始携带 (W) 升水，每行走 1 公里消耗 1 升水。小U希望通过最少的补给次数安全到达终点。每个补给站的位置由 position[i] 表示，距离起点的公里数，supply[i] 表示该站可以提供的水量，单位为升。

请你帮助小U计算，要安全到达终点至少需要补给几次，或者判断是否根本无法到达终点，此时输出-1。

为了解决小U的沙漠穿越问题，我们需要一个有效的策略来决定在何处进行补给，以保证以最少的补给次数安全到达终点。每个补给站的供应量和位置不同，因此需要动态选择最佳补给策略。

这道题涉及到一个经典的贪心算法问题：如何通过在沙漠中的绿洲进行最少的补给，确保从起点到达终点。在详细分析之前，我们需要明确几个核心概念和问题解决的思路。

题目分析

  1. 初始条件：

    • 起点到终点的总距离为 D 公里。
    • 小U一开始携带的水量为 W 升，每行走 1 公里消耗 1 升水。

  2. 补给站：

    • 有一系列补给站，每个补给站的位置由 position[i] 表示，距离起点的公里数。
    • 每个补给站可以提供的水量由 supply[i] 表示。

  3. 输出：

    • 小U要以最少的补给次数从起点到达终点，如果无法到达终点，则输出 -1。

问题的复杂性

小U在沙漠中的每一步需要考虑当前水量是否足够行走到下一个补给站或终点，并在必要时进行补给。因为补给站的水量不同，我们需要选择合适的补给站，以确保尽量减少补给次数。

解决问题的思路

这道问题可以归类为贪心算法，其核心思想是每次补给时选择最大化当前收益的策略，即每次优先补充最多水量的补给站，以便最有效地利用资源。

算法设计

基本思路：

  1. 小U每次行走时都要确保当前的水量足够到达下一个位置（补给站或终点）。
  2. 使用一个最大堆来存储经过的补给站的水量，并在需要补给时从中选取最多水量的补给站进行补充。

算法步骤：

  1. 初始化：

    • 使用 current_water 表示小U当前携带的水量。
    • 使用 current_position 表示小U当前所在的位置。
    • 使用 stops 计数器来记录补给次数。
    • 使用 max_heap（优先队列）来存储可供补给的站点水量，以负值形式存储，以实现最大堆。

  2. 遍历每个补给站：

    • 模拟小U从当前地点移动到下一个补给站或终点。
    • 检查当前的水量是否足够到达下一个位置，如果不足，需要从 max_heap 中补充水量。
    • 将当前经过的补给站的水量加入 max_heap。

  3. 补给逻辑：

    • 当 current_water 不足以到达下一个位置时，从 max_heap 中取出最大的水量进行补给，并增加 stops 计数器。
    • 如果 max_heap 为空且无法继续前进，则输出 -1。

  4. 终止条件：

    • 如果成功到达终点，返回 stops。
    • 如果在补给耗尽的情况下仍无法到达下一个位置，返回 -1。

Python实现

下面是实现这个算法的代码：

import heapq

def solution(d, w, position, supply):
    # 最大堆用于保存经过的补给站供应量（存为负值以实现最大堆）
    max_heap = []
    current_water = w
    current_position = 0
    stops = 0
    i = 0  # 补给站索引

    while current_position < d:
        # 行走至下一个补给站或终点
        next_position = position[i] if i < len(position) else d
        distance_to_next = next_position - current_position

        # 检查当前水量是否足够到达下一个位置
        while current_water < distance_to_next:
            # 如果无法到达且没有更多的补给站可用
            if not max_heap:
                return -1
            # 补充水量
            current_water += -heapq.heappop(max_heap)
            stops += 1
        
        # 行走并更新当前位置和水量
        current_water -= distance_to_next
        current_position = next_position

        # 如果当前补给站被访问，将其供应量加入堆中
        if i < len(position) and current_position == position[i]:
            heapq.heappush(max_heap, -supply[i])
            i += 1

    return stops

# 测试样例
print(solution(10, 4, [1, 4, 7], [6, 3, 5]))  # 输出: 1
print(solution(15, 3, [3, 6, 12], [4, 5, 2]))  # 输出: -1
print(solution(20, 10, [5, 15], [8, 6]))  # 输出: 2

算法的复杂性

  • 时间复杂度：由于每次补给操作和堆操作都在 O(log⁡N) 时间内进行，其中 N 是补给站的数量，因此整体复杂度为 O(Nlog⁡N)。
  • 空间复杂度：使用了最大堆来存储补给站信息，最坏情况下存储所有站点，空间复杂度为 O(N)

总结

使用贪心策略和最大堆，我们可以有效地选择最佳补给策略，以保证在最少的补给次数下到达目的地或判断无法到达的情况。

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