子区间平均值问题

问题描述

小U有一个长度为n的整数数组，并且选择了一个有理数 u/v。他现在想知道这个数组中有多少个连续的子区间，其平均值恰好等于 u/v。数组的子区间是指数组中一段连续的元素。

例如，给定数组 [2, 4, 1, 3, 2, 3] 和有理数 5/2，我们需要找出所有平均值等于 5/2 的子区间。 为了解决这个问题，我们需要找到数组中的所有连续子区间，使得这些子区间的平均值等于给定的有理数 uv\frac{u}{v}vu。让我们从分析问题开始，然后逐步构建解决方案。

问题分析

给定一个数组arr 和一个有理数 $\frac{u}{v}$，我们要找到数组的子区间（即连续子数组），使得这些子区间的平均值恰好等于$\frac{u}{v}$。

假设一个子区间从索引 i 到 j（其中 $i \leq j$），它的平均值公式为： $\text{平均值} = \frac{\text{子区间和}}{\text{子区间长度}}$

其中子区间长度为 j - i + 1 ，而子区间和可以表示为$\text{sum}_{i,j} = arr[i] + arr[i+1] + \ldots + arr[j]$。

我们要满足条件：

即：

思路

为了提高效率，我们不想直接求解所有子区间的和并逐个检查。可以通过前缀和与哈希表记录和频率的方式来加速计算。

假设：

1. prefixSum[k] 表示数组前 ( k ) 个元素的和。
2. 为了计算任意子区间的和，我们可以使用前缀和的差值：$\text{sum}_{i,j} = \text{prefixSum}[j+1] - \text{prefixSum}[i]$。

因此，我们的公式可以转化为：

整理得到：

这表明我们可以通过记录 $\text{prefixSum}[k] \times v - k \times u$ 的值来快速匹配可能的子区间。

算法步骤

• 初始化哈希表 prefixCount，用于存储每个前缀和的出现次数。初始值 prefixCount[0] = 1。

• 遍历数组 arr：

  • 计算每个元素调整后的值 num * v - u 并更新前缀和 prefixSum。

  • 检查当前前缀和是否在 prefixCount 中：

    • 如果存在，则将对应的出现次数加入计数 count。

  • 更新哈希表中当前前缀和的出现次数。

• 返回 count，即满足条件的子区间数量。

代码实现 (Java)

以下是上述逻辑的 Java 实现：

import java.util.*;

public class Main {
    public static int solution(int n, int u, int v, int[] arr) {
       // 用于存储前缀和与其出现次数
       HashMap<Integer, Integer> prefixCount = new HashMap<>();
       prefixCount.put(0, 1); // 初始化前缀和为0的次数为1

       int prefixSum = 0;
       int count = 0;

       for (int num : arr) {
           // 更新前缀和
           prefixSum += (num * v - u);

           // 检查前缀和是否已存在
           if (prefixCount.containsKey(prefixSum)) {
               count += prefixCount.get(prefixSum); // 增加符合条件的子区间数量
           }

           // 更新前缀和的出现次数
           prefixCount.put(prefixSum, prefixCount.getOrDefault(prefixSum, 0) + 1);
       }

       return count;
    }

    public static void main(String[] args) {
        System.out.println(solution(6, 5, 2, new int[]{2, 4, 1, 3, 2, 3}) == 6);
        System.out.println(solution(5, 1, 1, new int[]{1, 1, 1, 1, 1}) == 15);
        System.out.println(solution(4, 2, 1, new int[]{2, 2, 2, 2}) == 10);
    }
}

时间复杂度

该算法的时间复杂度为 O(n)，其中 n 是数组的长度，因为只需遍历数组一次，并且哈希表的插入与查找操作平均为 O(1)。

总结

通过前缀和和哈希表来求解连续子区间的和问题，巧妙地将条件从平均值转化为差值，这种思路可以高效地解决问题。