第六届字节跳动青训营第一课｜豆包MarsCode AI 刷题计算从位置x到y的最少步数问题，要求步长为连续整数，首末

计算从位置 x 到 y 的最少步数

问题描述

小F正在进行一个 AB 实验，需要从整数位置 x 移动到整数位置 y。每一步可以将当前位置增加或减少，且每步的增加或减少的值必须是连续的整数（即每步的移动范围是上一步的 -1，+0 或 +1）。首末两步的步长必须是 1。求从 x 到 y 的最少步数。

输入描述

输入包含两个整数 x 和 y，表示起始位置和目标位置。

输出描述

输出从 x 到 y 所需的最小步数。

测试样例

样例1：

输入：x_position = 12, y_position = 6
输出：4

样例2：

输入：x_position = 34, y_position = 45
输出：6

样例3：

输入：x_position = 50, y_position = 30
输出：8

样例4：

输入：x_position = 0, y_position = 0
输出：0

问题分析： 这个问题的难点在于如何高效地计算出最少步数，同时满足步长的限制条件。由于步长必须是连续的整数，我们不能简单地使用绝对值差来计算步数，因为这样会忽略步长的限制。

解题思路：

假定 x < y：由于步数与起始和结束位置的顺序无关，我们可以假定 x < y，简化问题。
首末步长为 1：根据题意，首末两步的步长必须是 1。
寻找最大步长 k：假设我们走的步数中最大的数字为 k，整个序列必然存在如下数字：1 2 3 ... k k-1 k-2 ... 1。可以计算得这里的贡献为(1+2+..+k)+(1+2+...+k-1)。
等差数列求和：可以使用等差数列求和公式 $f(x) = \frac{x}{2} (1 + x)$ 在O(1)的时间效率下计算出这部分的贡献，得到在给定步长下能够达到的最大位置，然后考虑剩下的数字。
处理剩余步数：比如上面的贡献是v，那么我们还剩下remain=y-x-v，如果remain<=k，显然我们一步把remain走完。如果remain>k，那么我们优先走k，直到走到remain<k。。

假设当前k=4,走的步数为：1,2,3,4,3,2,1，走完之后剩余remain=9，我们尽可能走大步，先走2个4，再走1个1，变成1 2 3 4 4 4 3 2 1 1 如果走完第一轮remain=2，因为remain<=k，我们可以直接走一个2步。变成 1 2 3 4 3 2 2 1

样例3：x_position = 50, y_position = 30

为方便理解，下面我们以样例3为例过一遍流程

步骤 1：确保 xPosition 小于等于 yPosition

由于 xPosition = 50 大于 yPosition = 30，我们需要交换它们：

int temp = xPosition;
xPosition = yPosition;
yPosition = temp;

交换后，xPosition = 30，yPosition = 50。

步骤 2：计算 yPosition 和 xPosition 之间的差值

差值为 yPosition - xPosition = 50 - 30 = 20。此时每次的步长为1

步骤 3：尝试不同的步长

我们需要找到一个最大的步长 k，使得序列的贡献尽可能大，同时不超过 20。

步长 i = 2
- 计算贡献：f(2)+f(1)=4
- 剩余需要移动的位置：remain = 20 - 4 = 16
- 由于 4 < 16，计算此时步数 2 * i + remain / i - (remain % i == 0 ? 1 : 0) = 11 < ans,更新ans = 11。
步长 i = 3
- 计算贡献：f(3)+f(2)=9
- 剩余需要移动的位置：remain = 20 - 9 = 11
- 由于 9 < 11，计算此时步数 2 * i + remain / i - (remain % i == 0 ? 1 : 0) = 9 < ans,更新ans = 9。
步长 i = 4
- 计算贡献：f(4)+f(3)=16
- 剩余需要移动的位置：remain = 20 - 16 = 4
- 由于 16 >= 4，计算此时步数 2 * i + remain / i - (remain % i == 0 ? 1 : 0) = 8 < ans,更新ans = 8。
步长 i = 5
- 计算贡献：f(5)+f(4)=25
- 由于 25 > 20，这个步长过大，停止循环。

步骤 4：返回计算出的最小步数

在尝试的步长中，最小的步数是 8（步长为 4 时计算得出）。

因此，从位置 30 到 50 的最少步数是 8 步。

更新ans代码

ans = Math.min(ans, 2 * i + remain / i - (remain % i == 0 ? 1 : 0));

remain / i 计算贡献后还需要走步长为 i 的步数，2 * i - 1 是计算最大步长为 i 时的贡献后走的步数，这个 1 减法还是不减，还要看 remain % i ，如果 remain % i == 0 则在走完remain / i步后就已结束，加上2*i-1就是总步数，如最大步长为2时步长序列为：1 2 （2 2 2 2 2 2 2 2 ） 1 ，括号里的为计算完贡献后加上的步数，即remain / i；如果 remain % i ==0，则走完 remain / i步后仍未结束，还需要再走一步步长为 remain % i，如最大步长为3时，步长序列为：1 2 3 （3 3 3 2） 2 1。

代码详解：

public class Main {
    // 等差数列求和公式，计算前 x 个正整数的和
    public static int f(int x) {
        return (1 + x) * x / 2;
    }

    // 主函数，计算从 xPosition 到 yPosition 的最少步数
    public static int solution(int xPosition, int yPosition) {
        // 确保 xPosition 小于等于 yPosition
        if (xPosition > yPosition) {
            int temp = xPosition;
            xPosition = yPosition;
            yPosition = temp;
        }
        // 初始化最少步数为 yPosition 和 xPosition 之间的差值
        int ans = yPosition - xPosition;
        // 尝试不同的步长
        for (int i = 2; i < yPosition - xPosition; i++) {
            // 计算在步长 i 下能够达到的最大位置
            int v = f(i) + f(i - 1); // 1~i + (i-1)~1
            // 如果这个位置超过了目标位置，停止循环
            if (v > yPosition - xPosition) break;
            // 计算剩余需要移动的位置
            int remain = yPosition - xPosition - v;
            // 更新最少步数
            ans = Math.min(ans, 2 * i + remain / i - (remain % i == 0 ? 1 : 0));
        }
        return ans;
    }

    public static void main(String[] args) {
        // 测试用例
        System.out.println(solution(12, 6) == 4);
        System.out.println(solution(34, 45) == 6);
        System.out.println(solution(50, 30) == 8);
    }
}

实测通过

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