数字翻译成字符串的可能性 | 豆包MarsCode AI刷题

题目内容

小M获得了一个任务，需要将数字翻译成字符串。翻译规则是：0对应"a"，1对应"b"，依此类推直到25对应"z"。一个数字可能有多种翻译方法。小M需要一个程序来计算一个数字有多少种不同的翻译方法。

例如：数字 12258 可以翻译成 "bccfi", "bwfi", "bczi", "mcfi" 和 "mzi"，共5种方式。

题目分析

这道题的主要思想是用动态规划求解方案数，用 AI 是基本可以直接得到答案的。但是我在使用 AI 时，它很奇怪地认为 0 不能翻译成字符？

定义状态

我们定义一个数组 dp，其中 dp[i] 表示前 i 个数字的翻译方法数量。注意，dp[0] 初始化为 1，因为空字符串有 1 种翻译方法。

状态转移

dp[i] 的值可以通过以下两种情况来计算：

1. 当前数字一定可以单独翻译成一个字母：

   • dp[i] 可以加上 dp[i-1]。

2. 当前数字和前一个数字可以组合翻译成一个字母：

   • 如果当前数字和前一个数字的组合（即 num_str[i-2:i]）在 10 到 25 之间，那么它们可以组合翻译成一个字母，dp[i] 可以加上 dp[i-2]。

通过动态规划的方法，我们可以以 $O(n)$ 的时间复杂度有效地计算出数字的不同翻译方法数量。

状态转移过程示例

让我们通过一个具体的例子来理解状态转移过程：

假设输入数字为 12258。

数字	空	1	12	122	1225	12258
dp[i]	1	1	2	3	5	5

• 初始状态：dp[0] = 1（空字符串有 1 种翻译方法）

• 第一个数字 1：

  • 可以单独翻译成 "b"，所以 dp[1] = dp[0] = 1。

• 第二个数字 2：

  • 可以单独翻译成 "c"，所以 dp[2] = dp[1] = 1。
  • 可以和前一个数字 1 组合翻译成 "l"（12），所以 dp[2] += dp[0] = 1 + 1 = 2。

• 第三个数字 2：

  • 可以单独翻译成 "c"，所以 dp[3] = dp[2] = 2。
  • 可以和前一个数字 2 组合翻译成 "w"（22），所以 dp[3] += dp[1] = 2 + 1 = 3。

• 第四个数字 5：

  • 可以单独翻译成 "f"，所以 dp[4] = dp[3] = 3。
  • 可以和前一个数字 2 组合翻译成 "z"（25），所以 dp[4] += dp[2] = 3 + 2 = 5。

• 第五个数字 8：

  • 可以单独翻译成 "i"，所以 dp[5] = dp[4] = 5。
  • 不能和前一个数字 5 组合翻译成一个字母（因为组合 58 不在 10 到 25 之间），所以 dp[5] 不变。

最终，dp[5] 的值为 5，表示数字 12258 有 5 种不同的翻译方法。

参考代码

def solution(num):
    # 将数字转换为字符串以便于处理
    num_str = str(num)
    n = len(num_str)
    
    # 初始化动态规划数组
    dp = [0] * (n + 1)
    
    # 初始条件：空字符串有1种翻译方法
    dp[0] = 1
    
    # 遍历字符串
    for i in range(1, n + 1):
        # 当前数字可以单独翻译成一个字母
        dp[i] = dp[i-1]
        
        # 如果当前数字和前一个数字可以组合翻译成一个字母
        if i > 1 and '10' <= num_str[i-2:i] <= '25':
            dp[i] += dp[i-2]

    return dp[n]