二分数字组合题解 | 豆包MarsCode AI刷题二分数字组合题解 | 豆包MarsCode AI刷题官方定级：

二分数字组合题解 | 豆包MarsCode AI刷题

题目链接：二分数字组合
官方定级：易
相关技巧：动态规划

问题描述

小F面临一个有趣的挑战：给定一个数组，她需要将数组中的数字分为两组。分组的目标是使得一组数字的和的个位数等于给定的 A，另一组数字的和的个位数等于给定的 B。除此之外，还有一种特殊情况允许其中一组为空，但剩余数字和的个位数必须等于 A 或 B。小F需要计算所有可能的划分方式。

例如，对于数组 [1, 1, 1] 和目标 A = 1，B = 2，可行的划分包括三种：每个 1 单独作为一组，其余两个 1 形成另一组。如果 A = 3，B = 5，当所有数字加和的个位数为 3 或 5 时，可以有一组为非空，另一组为空。

思路

首先，题目要求将数组中的数字分为两组，其中一组数字和的个位数为A，另一组数字和的个位数为B。看起来需要满足两个条件，但实际上，对于同样的输入数组，只要确定了其中一组数字和的个位数，那么另外一组数字和的个位数就是固定的。即：假定第一组数字和的个位数为M，第二组数字和的个位数为N，而所有数字和的个位数为S，则一定有(M+N)%10 == S，在M和S固定的情况下N是唯一的。

假设所有数字之和的个位数为 S，此题可分为以下两种情况：

(1) (A + B) % 10 == S，则只需求解：从所有数中取出一部分，使得其和的个位数为A的方法数量（此时剩余数字和的个位数一定为B）。此分类中，一组为空的情况会一并被计算，无需单独考虑；
(2) (A + B) % 10 != S，则不存在任何分法可使得一组和的个位数为A，另一组和的个位数为B。此时只需关注题目所述的特殊情况（即一组为空的情况）。

另外，注意到本题只需关注和的个位数，因此求和时只存储结果的个位数即可。

dp过程

此题可选择采用动态规划求解。动态规划子问题为：从数组的前x个数中取任意数量的数，使得它们的和的个位数为i(0<=i<=9)的方案数量。

递推：设前x个数中取任意数组合使得和的个位数为i的方案数量为dp[x][i] (0 <= i <= 9) 则 dp[x+1][i] = dp[x][i] + dp[x][(i-arr[x+1])%10]

解释：前x+1个数中取任意数组合使得和的个位数为i的方案可分为两种。第一种为不取第x+1个数，此类方案数量等同于在前x个数中取任意数组合，使得和的个位数为i的方案数量；第二种为取第x+1个数，此类方案数量等同于在前x个数中取出某些数，使得其个位数P满足 (P+arr[x+1])%10 == i 的方案数量。

例如：已知在前100个数中取任意数量的数，使得其和的个位数为3的方案数量为 dp[100][3] = 114，使得其和的个位数为7的方案数量为 dp[100][7] = 810。第101个数为514，现求在前101个数中取任意数量的数，使得其个位数为7的方案数量（即求dp[101][7]）。第一种，不取第101个数，则等同于在前100个数中取数，一共有dp[100][7] = 810种，第二种，取第101个数（514），那么如果想使得取出数的和个位数为7，则前100个数中取的数和的个位数必须为3，这样3 + 514 = 517的个位数才能是7。这样的方案有dp[100][3] = 114种。故 dp[101][7] = dp[100][7] + dp[100][3] = 810 + 114 = 924

注：以上开二维数组仅为解释方便，实际上本题无需存储之前的所有数据，只需存储最近一轮的结果即可。

代码实现

def solution(n, A, B, arr):
    d = { k: 0 for k in range(10) }
    d[0] = 1    # 不取任何数时和为0
        
    for i in arr:    # 遍历数组中每个数
        d = { k: d[k] + d[(k-i)%10] for k in range(10)}

    s = sum(arr)
    if (s - A - B) % 10 == 0:   # 情况(1)
        return d[A]
    else:   # 情况(2)
        return (s % 10 == A % 10) + (s % 10 == B % 10)

复杂度分析

时间复杂度

dp过程遍历数组中每个元素一次，每个元素进行10次循环，消常后复杂度为 $O(n)$
求和亦遍历每个元素一次，复杂度为 $O(n)$

总时间复杂度即为 $O(n)$

空间复杂度

除初始数组外，无论输入大小，都只需存储固定数量的变量，故空间复杂度为 $O(1)$

二分数字组合 题解 | 豆包MarsCode AI刷题