最大矩形面积问题｜豆包MarsCode AI 刷题本次笔记记录了豆包MarsCode AI 刷题中最大矩形面积问题的

问题描述

小S最近在分析一个数组 $h1,h2,...,hn，$ 数组的每个元素代表某种高度。小S对这些高度感兴趣的是，当我们选取任意 $k$ 个相邻元素时，如何计算它们所能形成的最大矩形面积。对于 $k$ 个相邻的元素，我们定义其矩形的最大面积为： $R(k)=k×min(h[i],h[i+1],...,h[i+k−1])$ 即， $R(k)$ 的值为这 $k$ 个相邻元素中的最小值乘以 $k$ 。现在，小S希望你能帮他找出对于任意 $k$ ， $R(k)$ 的最大值。

解题思路

1.暴力解法

对于每个可能的 k（从 1 到 n），遍历数组，计算每个 k 个相邻元素的矩形面积，并记录最大值。
时间复杂度为 O(n^2)，对于较大的 n 可能不够高效。

2.优化思路

使用单调栈来优化查找最小值的过程。
单调栈可以帮助我们在 O(n) 时间内找到每个元素作为最小值时，左右两边第一个比它小的元素的位置。

单调栈是什么？

单调栈（Monotonic Stack）是一种特殊类型的栈，栈中的元素保持单调递增或单调递减的顺序。单调栈通常用于解决需要查找某个元素左右两边第一个比它小（或大）的元素的问题。

单调栈的工作原理

单调递增栈：

栈中的元素保持单调递增的顺序，当遇到一个新元素时，如果它比栈顶元素小，则弹出栈顶元素，直到栈为空或者栈顶元素小于新元素。这样，栈顶元素就是当前元素左边第一个比它小的元素。

单调递减栈原理与以上类似。

算法步骤

初始化：
- 创建一个单调栈，用于存储数组元素的索引。
- 创建两个数组 left 和 right，分别用于存储每个元素左边和右边第一个比它小的元素的索引。
计算 left 数组：
- 遍历数组，对于每个元素，如果栈顶元素对应的值大于当前元素，则弹出栈顶元素，直到栈为空或者栈顶元素对应的值小于当前元素。
- 当前元素的 left 值为栈顶元素的索引（如果栈为空则为 -1）。
- 将当前元素的索引入栈。
计算 right 数组：
- 从右往左遍历数组，类似地计算每个元素右边第一个比它小的元素的索引。
计算最大矩形面积：
- 对于每个元素，计算以它为最小值时的矩形面积，并更新最大面积。

def solution(n, array):
    # 初始化单调栈和左右边界数组
    stack = []
    left = [-1] * n
    right = [n] * n
    
    # 计算 left 数组
    for i in range(n):
        while stack and array[stack[-1]] >= array[i]:
            stack.pop()
        left[i] = stack[-1] if stack else -1
        stack.append(i)
    
    # 清空栈
    stack = []
    
    # 计算 right 数组
    for i in range(n-1, -1, -1):
        while stack and array[stack[-1]] >= array[i]:
            stack.pop()
        right[i] = stack[-1] if stack else n
        stack.append(i)
    
    # 计算最大矩形面积
    max_area = 0
    for i in range(n):
        width = right[i] - left[i] - 1
        max_area = max(max_area, array[i] * width)
    
    return max_area

if __name__ == "__main__":
    # Add your test cases here
    print(solution(5, [1, 2, 3, 4, 5]) == 9)

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