青训营X豆包MarsCode 技术训练营刷题技巧（动态规划专题篇一） ｜ 豆包MarsCode AI 刷题

打卡青训营开营第三天刷题记录，先放个当前记录图吧：

下面是一些AI辅助刷题小心得（陆续更新中）： 1.追求数量快速通关类型：已完成的90道题中，我主要是按照算法类型完成的，其中位运算和和哈希表是较为简单的类型，AI辅助刷题主要提供的是函数的辅助。 2.借助AI辅助理清算法思路：动态规划和贪心算法。 为了系统一点，我想先在12月更新完动态规划的，希望将拿到一道动态规划的题，快速锁定类型，分析题意绘制状态图，得到状态转移方程。听起来是通俗的话，中间需要先系统熟悉动规题型的类型，然后对各类型典型例题进行分析（力扣热题100+AI刷题题库500道），直到熟练绘制动态规划状态图，得到状态转移方程，边界条件不遗漏。

动态规划题型主要为：

1. 线性DP

线性DP问题是最常见的动态规划问题，通常涉及一个序列或数组，状态转移只依赖于前一个或几个状态。

• 经典问题：

  • 斐波那契数列：状态dp[i]表示第i个斐波那契数。
  • 最长递增子序列（LIS） ：dp[i]表示以第i个元素结尾的最长递增子序列的长度。
  • 爬楼梯问题：每次可以爬1步或2步，状态dp[i]表示到达第i级台阶的方法数。

下面先拿力扣热题100作为例题分析：

该类主要以斐波那契数列为主，当前状态数组可以由前两个状态数组之和得到，即满足斐波那契数列的定义：F(n)=F(n-1)+F(n-2)

爬楼梯

问题分析：（以下按照较为规范的形式书写，实际写题，我习惯按照自己舒服的方式来）

• 状态定义：dp[i] 表示到达第 i 阶楼梯的不同方法数。

• 状态转移方程： 如果爬到第 i 阶，可以从第 i-1 阶爬 1 阶，或者从第 i-2 阶爬 2 阶。因此：

  dp[i]=dp[i−1]+dp[i−2]

• 边界条件：

  dp[0] = 1

  dp[1] = 1

杨辉三角

问题分析：这道题也是斐波那契数列的变体，不过存储结构从一维数组，变为了二维数组，考虑使用下三角存储,而转化为数组后，我们将题目条件中的每个数是左上方和右上方数之和，转为是对角线上一个元素和正上方元素的和（丑丑的手绘了一个，不过我一般是这么梳理思路的，划重点，经常动规写状态转移方程晕晕的可拿去学！）：

• 状态定义：

  • triangle[i] 表示第 i 行的元素。
  • triangle[i][j] 表示第 i 行中第 j 个元素。

• 状态转移方程：

  • 首尾元素：triangle[i][0] = 1 和 triangle[i][i] = 1。
  • 中间元素：triangle[i][j] = triangle[i - 1][j - 1] + triangle[i - 1][j]。

• 边界条件：

  • triangle[0][0] = 1，这是杨辉三角的起始条件。

打家劫舍

问题分析： 这道题也是斐波那契的变体，不过在当前状态由前两种状态结果决定时加入了选择

• 状态定义：

  • 设 dp[i] 为偷到第 i 房屋时的最大金额。

• 状态转移方程：

  • 对于每一栋房屋，有两种选择：

    • 偷第 i 房屋：则不能偷第 i-1 房屋，因此金额为 nums[i] + dp[i-2]。
    • 不偷第 i 房屋：则金额为 dp[i-1]。

  • 综合这两种选择，我们得到状态转移方程： dp[i]max(dp[i−1],nums[i]+dp[i−2])

• 边界条件：

  • dp[0]=nums[0]（偷第一个房屋的金额）

  • dp[1]=max(nums[0],nums[1])（比较前两个房屋的偷窃金额）

单词拆分

• 初始化：

  • 创建一个布尔数组 dp，长度为 len(s)+1len(s) + 1len(s)+1，其中 dp[0] 表示空字符串，初始化为 true。

• 状态转移：

  • 对于每个位置 i 从 1 到 len(s)，检查所有可能的前缀 s[j:i]，其中 j 从 0 到 i-1。
  • 如果 dp[j] 为 true（表示前 j 个字符可以拼接），并且 s[j:i] 在字典中，设置 dp[i] 为 true。

• 结果返回：

  • 最终返回 dp[len(s)]，它表示整个字符串是否可以由字典中的单词拼接。

• 代码：

解法二：记忆化搜索

• 初始化：

  • 定义一个辅助函数 canBreak(start) 表示从 start 开始的子字符串 s[start:] 是否可以被拆分成字典中的单词。

• 状态转移方程：

• 从 start 开始，尝试所有可能的分割位置 end，检查 s[start:end] 是否在 wordDict 中：

  • 如果 s[start:end] 在 wordDict 中，并且 canBreak(end) 为 True，则 canBreak(start) 为 True。

• 如果尝试了所有 end 都不能成功拆分，则返回 False。

• 边界条件：

  • 当索引到达字符串末尾时，表示已经成功拆分。

• 代码：

最长递增子序列

动态规划解法一：（时间复杂度 O(n2)O(n^2)O(n2)

初始化：每个 dp[i] 初始化为1，因为每个元素自身可以形成一个长度为1的递增子序列。 状态转移：对于每个元素 nums[i]，遍历其前面的所有元素 nums[j]（其中 j < i），如果 nums[i] > nums[j]，说明 nums[i] 可以接在 nums[j] 之后形成一个更长的递增子序列，则更新 dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)。

代码：

动态规划解法二： + 二分查找（时间复杂度 O(nlog⁡n)）

状态转移方程：

通过二分查找，确定每个 nums[i] 在 tails 中的插入位置 pos，分情况更新 tails。

• 如果 nums[i] 比 tails 中所有元素都大，则将其添加到 tails 的末尾，表示我们找到了一条更长的递增子序列。
• 否则，将 nums[i] 替换 tails[pos]，以保持当前长度 pos+1 的子序列的最小末尾值。

边界条件：

• 空数组情况：如果 nums 为空，直接返回 0，因为没有递增子序列。

• 长度为 1 的情况：如果 nums 只有一个元素，那么最长递增子序列长度就是 1。tails 会在第一个元素遍历时直接添加此元素。

代码：

Python 的 bisect 模块的 bisect_left 函数，用于在一个已排序的列表中找到某个值的插入位置，使得插入后列表仍然有序。

解释 bisect_left

• 语法：bisect_left(list, value)。
• 功能：返回 value 应插入 list 的位置 pos，使得插入后 list 仍然是有序的。如果 value 已经存在于 list 中，那么 pos 会指向 value 第一次出现的位置的索引（即插在已有元素的左边）。
• 适用条件：bisect_left 只能在有序的列表上使用（在无序列表上使用结果不正确）。