简单题:和的逆运算问题| 豆包MarsCode AI刷题

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和的逆运算问题解析

问题描述

给定n个整数两两相加可以得到n(n - 1) / 2个和,我们需要根据这些和找出原来的n个整数。如果无解,输出"Impossible"。

思路解析

  1. 理解问题:我们需要从给定的和中恢复出原始的整数序列。这个问题可以通过枚举和验证的方法来解决。

  2. 数学推导:对于任意三个数x1, x2, x3,我们有以下三个和:

    • x1 + x2
    • x1 + x3
    • x2 + x3 通过这三个和,我们可以推导出x1, x2, x3的值。具体来说,x1 = (x1 + x2 + x1 + x3 - x2 - x3) / 2 = (sums[0] + sums[1] - sums[n-1]) / 2。
  3. 算法设计:我们可以枚举所有可能的和的排列,然后尝试找出符合条件的整数序列。对于每个排列,我们首先计算出x1的值,然后依次计算出x2, x3, ..., xn的值。接着,我们需要验证这个序列是否满足所有的和的条件。

  4. 验证:对于每个排列,我们需要检查计算出的整数序列是否满足所有的和的条件。如果满足,我们就找到了一个解。如果不满足,我们就需要继续尝试下一个排列。

  5. 输出结果:如果找到了符合条件的整数序列,我们需要按非降序排序后输出。如果没有找到符合条件的序列,我们需要输出"Impossible"。

代码解析

import itertools

def solution(n, sums):
    # 枚举 sums 的所有排列
    for perm in itertools.permutations(sums):
        # 利用 sums 中前面3个值推导出 x1
        # perm[0] 是 x1 + x2, perm[1] 是 x1 + x3, perm[n-1] 是 x2 + x3
        x1 = (perm[0] + perm[1] - perm[n-1]) // 2
        
        # 利用 x1 来推导其他的 xi
        x = [x1]
        for i in range(n-1):
            xi = perm[i] - x1
            x.append(xi)
        
        # 验证 xi 和 xj 是否满足所有 sums 条件
        index = 0
        valid = True
        for i in range(n):
            for j in range(i+1, n):
                if x[i] + x[j] != perm[index]:
                    valid = False
                    break
                index += 1
            if not valid:
                break
        
        # 如果验证通过,返回结果
        if valid:
            return " ".join(map(str, sorted(x)))
    
    # 如果所有排列都不满足,返回 "Impossible"
    return "Impossible"

# 测试用例
if __name__ == "__main__":
    print(solution(3, [1269, 1160, 1663]) == "383 777 886")
    print(solution(3, [1, 1, 1]) == "Impossible")
    print(solution(5, [226, 223, 225, 224, 227, 229, 228, 226, 225, 227]) == "111 112 113 114 115")
    print(solution(5, [-1, 0, -1, -2, 1, 0, -1, 1, 0, -1]) == "-1 -1 0 0 1")
    print(solution(5, [79950, 79936, 79942, 79962, 79954, 79972, 79960, 79968, 79924, 79932]) == "39953 39971 39979 39983 39989")

代码详解

  1. 导入库:导入itertools库,用于生成所有可能的排列。

  2. 定义函数:定义solution函数,接受两个参数nsums

  3. 枚举排列:使用itertools.permutations生成sums的所有排列。

  4. 计算x1:利用排列中的前三个值计算出x1的值。

  5. 推导其他xi:利用x1的值,推导出其他xi的值。

  6. 验证:验证计算出的整数序列是否满足所有的和的条件。如果满足,返回排序后的结果;如果不满足,继续尝试下一个排列。

  7. 输出结果:如果所有排列都不满足条件,返回"Impossible"。

测试用例

代码最后部分提供了几个测试用例,用于验证函数的正确性。

这个代码通过枚举和验证的方法解决了问题,虽然时间复杂度较高,但对于小规模的数据是可行的。对于大规模的数据,可能需要考虑更高效的算法。

个人思考

这个问题考察了我们对数学问题的抽象能力和算法实现的能力。通过对问题的深入分析,我们可以发现,这个问题实际上是一个组合数学和排序算法的结合体。在解决问题的过程中,我们需要不断调整和验证我们的假设,以确保算法的正确性和效率。

此外,这个问题也提醒我们,在处理实际问题时,要充分利用数据的特性和问题的约束条件,以优化算法的性能。例如,在这个问题中,我们利用了最小值出现次数的特性来快速定位最小值,从而大大简化了问题的求解过程。