【数学之旅】谁说这三角函数老啊？这三角函数太棒了！

关键词：三角函数, 数学, 初等数学, 程序员数学, 编程数学

摘要：数学是一门重要的语言，是一门世界的语言。但大部分程序员的数学功底太差，当然包括我的。所以，站在数学谷底的我，就想着重新攀登一遍数学高峰。这当然不容易，于是，整理一些必要的数学概念就成为出发的前提。面对这些概念，力求将每个步骤都解释得清清楚楚、明明白白。

初中阶段

我们在当前的教育体系中，从初中就开始接触三角函数了。当然，初中数学仅限于很显浅的一些知识点，如 计算 30°、45°、60°、90° 的正弦值、余弦值、正切值。并且在讨论三角函数与几何的关系时，切入的角度也一直以直角三角形为主。

现在假设 γ 为直角，则有

sine

• 正弦，简写 sin

• $\sin\alpha = \displaystyle\frac{a}{c}$

• $\sin 30$

cosine

• 余弦，简写 cos

• $\cos\alpha = \displaystyle\frac{b}{c}$

• $\sin\beta = \displaystyle\frac{b}{c}$

• $\cos\alpha = \sin\beta$

tangent

• 正切，简写 tan

• $\tan\alpha = \displaystyle\frac{a}{b} = \displaystyle\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$

勾股定理恒等式

• $\sin^{2}\alpha + \cos^{2}\alpha = 1$

  • 由勾股定理可知 ${a^{2} + b^{2} = c^{2}}$

  • 两边同时除以 $c^{2}$ 得到 $\displaystyle\frac{a^{2}}{c^{2}} + \displaystyle\frac{b^{2}}{c^{2}} = 1$

  • 上式代入 $\sin \alpha = \displaystyle\frac{a}{c}$ 和 $\cos \alpha = \displaystyle\frac{b}{c}$

  • 最终得到 $\sin^{2}\alpha + \cos^{2}\alpha = 1$

特殊角度值速记

如果你记忆 $\sin 0^{\circ}$、$\sin 30^{\circ}$、$\sin 45^{\circ}$、$\sin 60^{\circ}$、$\sin 90^{\circ}$ 的值有困难，那么你可以记住以下的规律以实现速记。具体步骤为：

1. 从 $0^{\circ}$ 到 $90^{\circ}$ 依次填写 $0$、$1$、$2$、$3$、$4$；
2. 为上一步每个数字除以 $4$;
3. 为上一步每个数字开方；
4. 得到结果。

0°	30°	45°	60°	90°
$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$\displaystyle\frac{0}{4}$	$\displaystyle\frac{1}{4}$	$\displaystyle\frac{2}{4}$	$\displaystyle\frac{3}{4}$	$\displaystyle\frac{4}{4}$
$\sqrt{\displaystyle\frac{0}{4}}$	$\sqrt{\displaystyle\frac{1}{4}}$	$\sqrt{\displaystyle\frac{2}{4}}$	$\sqrt{\displaystyle\frac{3}{4}}$	$\sqrt{\displaystyle\frac{4}{4}}$
$0$	$\displaystyle\frac{1}{2}$	$\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}$	$1$

而 $\cos$ 相关的角度值，则可以使用 勾股定理恒等式 计算得到。

高中阶段

从高中开始，数学体系开始告诉我们三角函数并不局限于三角形中，而是适用于整个坐标系。经典的 奇变偶不变，符号看象限 就来自于这个教育阶段。而我们讨论三角函数与几何的关系时，最适合的切入角度不再是三角形，而是单位圆！

在图中的的点 $A(x, y)$ 与夹角 $θ$ 的关系就是 $A = (x, y) = (\cos θ, \sin θ)$。请注意，这里的 $θ$ 采用弧度制而非角度制。而点 $A$ 在单位圆上的运动，则很形象地描述三角函数的周期性特征！

sine

• $\sin(2k\pi + \theta) = \sin\theta, k \in \mathbb{Z}$

• $\sin(\pi + \theta) = -\sin\theta$

• $\sin(-\alpha) = -\sin\alpha$

  • 关于原点对称

• $\sin\theta = \cos(\displaystyle\frac{\pi}{2} - \theta)$

  • 这里 $\displaystyle\frac{\pi}{2} - \theta$ 是除 $\theta$ 外的另一个夹角。根据初中所学知识 直角三角形的一个夹角的正弦值等于另一个夹角的余弦值，所以等式成立。

cosine

• $\cos(2k\pi + \theta) = \cos\theta, k \in \mathbb{Z}$

• $\cos(\pi + \theta) = -\cos\theta$

• $\cos(-\alpha) = \cos\alpha$

  • 关于 $y$ 轴对称

• $\cos\theta = \sin(\displaystyle\frac{\pi}{2} - \theta)$

  • 这里同样适用于 直角三角形的一个夹角的正弦值等于另一个夹角的余弦值，所以等式成立。

tangent

• $\tan(2k\pi + \theta) = \tan\theta, k \in \mathbb{Z}$

• $\tan(\pi + \theta) = \tan\theta$

• $\tan(-\alpha) = -\tan\alpha$

cotangent

• 余切，简写 cot

• $\cot\theta = \displaystyle\frac{1}{\tan \theta}$

• $\cot(2k\pi + \theta) = \cot\theta, k \in \mathbb{Z}$

• $\cot(\pi + \theta) = \cot\theta$

• $\cot(-\alpha) = -\cot\alpha$

secant

• 正割，简写 sec

• $\sec \theta = \displaystyle\frac{1}{\cos\theta}$

cosecant

• 余割，简写 csc

• $\csc\theta = \displaystyle\frac{1}{\sin\theta}$

奇变偶不变，符号看象限

• 通用公式为 $f(k \displaystyle\frac{\pi}{2} + \theta) \Rightarrow g(\theta)$，其中 $f$ 与 $g$ 不同时，代指 $\sin \Leftrightarrow \cos$ 或 $\tan \Leftrightarrow \cot$

  • 当 $k$ 为 奇数 时，则 $g \neq f$；当 $k$ 为 偶数 时，则 $g = f$ 。

  • 当 $f(k \displaystyle\frac{\pi}{2} + \theta)$ 的结果为负数时，则 $g(\theta)$ 前面须加上负号 $-$；当 $f(k \displaystyle\frac{\pi}{2} + \theta)$ 的结果为正数时， $g(\theta)$ 不需要做任何处理。

ASTC 原则判断结果正负

• A(all) - 第一象限，全部为正。

• S(sin) - 第二象限，只有正弦为正。

• T(tan) - 第三象限，只有正切为正。

• C(cos) - 第四象限，只有余弦为正。

勾股定理恒等式

在初中的基础上，我们又学习了 cotangent、secant、cosecant 这 3 个三角函数，因此勾股定理恒等式可变形为：

• $\tan^{2}\theta + 1 = \sec^{2}\theta$

  • 由 $\sin^{2}\theta + \cos^{2}\theta = 1$ 两边同时除以 $\cos^{2}\theta$ 得出

• $1 + \cot^{2}\theta = \csc^{2}\theta$

  • 由 $\tan^{2}\theta + 1 = \sec^{2}\theta$ 两边同时除以 $\tan^{2}\theta$ 得出

两角和公式

• $\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$

  • 在单位圆上取两个角 $\angle\alpha$ 与 $\angle\beta$，如下图所示

  • 根据向量点乘公式可得 $\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OQ} = |\overrightarrow{OP}| \cdot |\overrightarrow{OQ}| \cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$

  • 易知 $|\overrightarrow{OP}| = |\overrightarrow{OQ}| = 1$，代入上式可得

  • $\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$

  • 综上，等式成立

• $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$

  • $\cos(\alpha + \beta) = \cos(\alpha - (-\beta))$

  • $\cos(\alpha - (-\beta)) = \cos\alpha\cos(-\beta) + \sin\alpha\sin(-\beta)$

  • $\because \cos(-\theta) = \cos\theta,\ \ \sin(-\theta) = -\sin\theta$

  • $\therefore \cos\alpha\cos(-\beta) + \sin\alpha\sin(-\beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$

  • 等式成立

• $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$

  • 由 $\sin\theta = \cos(\displaystyle\frac{\pi}{2} - \theta)$ 和 $\cos\theta = \sin(\displaystyle\frac{\pi}{2} - \theta)$ 可知

  • $\sin(\alpha + \beta) = \cos(\displaystyle\frac{\pi}{2} - (\alpha + \beta))$

  • $\qquad\qquad\ \ \ =\cos((\displaystyle\frac{\pi}{2} - \alpha) - \beta)$

  • $\qquad\qquad\ \ \ =\cos(\displaystyle\frac{\pi}{2} - \alpha)\cos\beta + \sin(\displaystyle\frac{\pi}{2} - \alpha)\sin\beta$

  • $\qquad\qquad\ \ \ =\sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$

  • 等式成立

• $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$

  • 由 $\cos(-\theta) = \cos\theta,\ \ \sin(-\theta) = -\sin\theta$ 可知

  • $\sin(\alpha - \beta) = \sin(\alpha + (-\beta))$

  • $\qquad\qquad\ \ \ =\sin\alpha\cos(-\beta) + \cos\alpha\sin(-\beta)$

  • $\qquad\qquad\ \ \ =\sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$

  • 等式成立

• $\tan(\alpha + \beta) = \displaystyle\frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha\tan\beta}$

  • $\tan(\alpha + \beta) = \displaystyle\frac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos(\alpha + \beta)}$

  • $\qquad\qquad\ \ \ \ = \displaystyle\frac{\sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta}$

  • 然后右边的分子与分母同时除以 $\cos\alpha\cos\beta$，整理后可得

  • $\tan(\alpha + \beta) = \displaystyle\frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha\tan\beta}$

  • 等式成立

• $\tan(\alpha - \beta) = \displaystyle\frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1 + \tan\alpha\tan\beta}$

  • 证明思路请参考 $\tan(\alpha + \beta)$

二倍角公式

• $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$

  • 由两角和公式可得

  • $\sin(2\alpha) = \sin(\alpha + \alpha)$

  • $\qquad\ \ \ \ \ \ = \sin\alpha\cos\alpha + \cos\alpha\sin\alpha$

  • $\qquad\ \ \ \ \ \ = 2\sin\alpha\cos\alpha$

  • 等式成立

• $\cos(2\alpha) = \cos^{2}\alpha - \sin^{2}\alpha = 2\cos^{2}\alpha - 1 = 1 - 2\sin^{2}\alpha$

  • 由两角和公式可得

  • $\cos(2\alpha) = \cos(\alpha + \alpha)$

  • $\qquad\ \ \ \ \ \ = \cos\alpha\cos\alpha - \sin\alpha\sin\alpha$

  • $\qquad\ \ \ \ \ \ = \cos^{2}\alpha - \sin^{2}\alpha$ ------------------------------- ①

  • ① 式减去 $(\cos^{2}\alpha - \cos^{2}\alpha)$

    • $\cos^{2}\alpha - \sin^{2}\alpha - (\cos^{2}\alpha - \cos^{2}\alpha)$

    • $= \cos^{2}\alpha + \cos^{2}\alpha - (\sin^{2}\alpha + \cos^{2}\alpha)$

    • $= 2\cos^{2}\alpha - 1$ ------------------------------------------ ②

  • ① 式减去 $(\sin^{2}\alpha - \sin^{2}\alpha)$

    • $\cos^{2}\alpha - \sin^{2}\alpha - (\sin^{2}\alpha - \sin^{2}\alpha)$

    • $= \cos^{2}\alpha + \sin^{2}\alpha - \sin^{2}\alpha - \sin^{2}\alpha$

    • $= 1 - 2\sin^{2}\alpha$ ------------------------------------------ ③

• $\tan(2\alpha) = \displaystyle\frac{2\tan\alpha}{1 - \tan^{2}\alpha}$

  • 由两角和公式可得

  • $\tan(2\alpha) = \tan(\alpha + \alpha)$

  • $\qquad\ \ \ \ \ \ \ = \displaystyle\frac{\tan\alpha + \tan\alpha}{1 - \tan\alpha\tan\alpha}$

  • $\qquad\ \ \ \ \ \ \ = \displaystyle\frac{2\tan\alpha}{1 - \tan^{2}\alpha}$

  • 等式成立

降幂公式

• $\sin^{2}\alpha = \displaystyle\frac{1 - \cos2\alpha}{2}$

  • 由二倍角公式 $\cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^{2}\alpha$ 两边同时除以 $-2$ 后再加上 $\displaystyle\frac{1}{2}$ 可得

• $\cos^{2}\alpha = \displaystyle\frac{1 + \cos2\alpha}{2}$

  • 由二倍角公式 $\cos(2\alpha) = 2\cos^{2}\alpha - 1$ 两边同时加 $1$ 后再除以 $2$ 可得

• $\tan^{2}\alpha = \displaystyle\frac{1 - \cos2\alpha}{1 + \cos2\alpha}$

  • 由 $\sin^{2}\alpha = \displaystyle\frac{1 - \cos2\alpha}{2}$ 和 $\cos^{2}\alpha = \displaystyle\frac{1 + \cos2\alpha}{2}$ 可推导

  • $\tan^{2}\alpha = \displaystyle\frac{\sin^{2}\alpha}{\cos^{2}\alpha} = \displaystyle\frac{1 - \cos2\alpha}{2} \cdot \displaystyle\frac{2}{1 + \cos2\alpha} = \displaystyle\frac{1 - \cos2\alpha}{1 + \cos2\alpha}$

半角公式

• $\sin\displaystyle\frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\displaystyle\frac{1 - \cos\alpha}{2}}$

  • 把 $\theta = \displaystyle\frac{\beta}{2}$ 代入降幂公式 $\sin^{2}\theta = \displaystyle\frac{1 - \cos2\theta}{2}$ 可得

  • $\sin^{2}\displaystyle\frac{\beta}{2} = \displaystyle\frac{1 - \cos(2 \cdot \displaystyle\frac{\beta}{2})}{2} = \displaystyle\frac{1 - \cos\beta}{2}$

  • 等式两边同时开方后得到

  • $\sin\displaystyle\frac{\beta}{2} = \pm\sqrt{\displaystyle\frac{1 - \cos\beta}{2}}$

  • 等式成立

• $\cos\displaystyle\frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\displaystyle\frac{1 + \cos\alpha}{2}}$

  • 把 $\theta = \displaystyle\frac{\beta}{2}$ 代入降幂公式 $\cos^{2}\theta = \displaystyle\frac{1 + \cos2\theta}{2}$

  • 化简后两边同时开方，可得

  • $\cos\displaystyle\frac{\beta}{2} = \pm\sqrt{\displaystyle\frac{1 + \cos\beta}{2}}$

  • 等式成立

• $\tan\displaystyle\frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\displaystyle\frac{1 - \cos\alpha}{1 + \cos\alpha}} = \displaystyle\frac{\sin\alpha}{1 + \cos\alpha} = \displaystyle\frac{1 - \cos\alpha}{\sin\alpha}$

  • 已知 $\sin$ 和 $\cos$ 的半角公式，那么

  • $\tan\displaystyle\frac{\alpha}{2} = \displaystyle\frac{\sin\displaystyle\frac{\alpha}{2}}{\cos\displaystyle\frac{\alpha}{2}} = \pm\sqrt{\displaystyle\frac{1 - \cos\alpha}{1 + \cos\alpha}}$ ------------------------------- ①

  • 对 ① 式中被开方数的分子和分母同时乘以 $1 + \cos\alpha$，可得

  • $\tan\displaystyle\frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\displaystyle\frac{\sin^{2}\alpha}{(1 + \cos\alpha)^{2}}} = \displaystyle\frac{\sin\alpha}{1 + \cos\alpha}$ ------------------------- ②

  • 对 ① 式中被开方数的分子和分母同时乘以 $1 - \cos\alpha$，可得

  • $\tan\displaystyle\frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\displaystyle\frac{(1 - \cos\alpha)^{2}}{\sin^{2}\alpha}} = \displaystyle\frac{1 - \cos\alpha}{\sin\alpha}$ ------------------------- ③

万能公式

• $\sin\alpha = \displaystyle\frac{2\tan\displaystyle\frac{\alpha}{2}}{1 + \tan^{2}\displaystyle\frac{\alpha}{2}}$

  • 由二倍角公式 $\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta$ ，右边式子的分子与分母同时除以 $\cos^{2}\theta$，得到

  • $\sin(2\theta) = \displaystyle\frac{2\tan\theta}{\displaystyle\frac{1}{\cos^{2}\theta}} = \displaystyle\frac{2\tan\theta}{\displaystyle\frac{\cos^{2}\theta + \sin^{2}\theta}{\cos^{2}\theta}} = \displaystyle\frac{2\tan\theta}{1 + \tan^{2}\theta}$

  • 把 $\theta = \displaystyle\frac{\alpha}{2}$ 代入上式，可得

  • $\sin\alpha = \displaystyle\frac{2\tan\displaystyle\frac{\alpha}{2}}{1 + \tan^{2}\displaystyle\frac{\alpha}{2}}$

  • 等式成立

• $\cos\alpha = \displaystyle\frac{1 - \tan^{2}\displaystyle\frac{\alpha}{2}}{1 + \tan^{2}\displaystyle\frac{\alpha}{2}}$

  • 由二倍角公式 $\cos(2\theta) = \cos^{2}\theta - \sin^{2}\theta$ ，可得

  • $\cos(2\theta) = \displaystyle\frac{\cos^{2}\theta - \sin^{2}\theta}{\cos^{2}\theta + \sin^{2}\theta} = \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{\cos^{2}\theta - \sin^{2}\theta}{\cos^{2}\theta}}{\displaystyle\frac{\cos^{2}\theta + \sin^{2}\theta}{\cos^{2}\theta}} = \displaystyle\frac{1 - \tan^{2}\displaystyle\frac{\theta}{2}}{1 + \tan^{2}\displaystyle\frac{\theta}{2}}$

  • 等式成立

• $\tan\alpha = \displaystyle\frac{2\tan\displaystyle\frac{\alpha}{2}}{1 - \tan^{2}\displaystyle\frac{\alpha}{2}}$

  • 由二倍角公式 $\tan(2\theta) = \displaystyle\frac{2\tan\theta}{1 - \tan^{2}\theta}$

  • 令 $\theta = \displaystyle\frac{\alpha}{2}$ 代入上式，即可得

  • $\tan\alpha = \displaystyle\frac{2\tan\displaystyle\frac{\alpha}{2}}{1 - \tan^{2}\displaystyle\frac{\alpha}{2}}$

积化和差

• $\sin\alpha\cos\beta = \displaystyle\frac{\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)}{2}$

  • 两角和公式 $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$ ------------------- ①

  • 两角差公式 $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$ ------------------- ②

  • ① + ② 后得到

  • $\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta) = 2 \cdot \sin\alpha\cos\beta$

  • 等式成立

• $\cos\alpha\sin\beta = \displaystyle\frac{\sin(\alpha + \beta) - \sin(\alpha - \beta)}{2}$

  • 两角和公式 $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$ ------------------- ①

  • 两角差公式 $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$ ------------------- ②

  • ① - ② 后得到

  • $\sin(\alpha + \beta) - \sin(\alpha - \beta) = 2 \cdot \cos\alpha\sin\beta$

  • 等式成立

• $\cos\alpha\cos\beta = \displaystyle\frac{\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)}{2}$

  • 两角和公式 $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$ ------------------- ①

  • 两角差公式 $\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$ ------------------- ②

  • ① + ② 后得到

  • $\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta) = 2 \cdot \cos\alpha\cos\beta$

  • 等式成立

• $\sin\alpha\sin\beta = \displaystyle\frac{\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)}{2}$

  • 两角和公式 $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$ ------------------- ①

  • 两角差公式 $\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$ ------------------- ②

  • ① - ② 后得到

  • $\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta) = 2 \cdot \sin\alpha\sin\beta$

  • 等式成立

和差化积

• $\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\displaystyle\frac{\alpha + \beta}{2}\cos\displaystyle\frac{\alpha - \beta}{2}$

  • 令 $\alpha = \displaystyle\frac{\alpha + \beta}{2} + \displaystyle\frac{\alpha - \beta}{2}$

  • 令 $\beta = \displaystyle\frac{\alpha + \beta}{2} - \displaystyle\frac{\alpha - \beta}{2}$

  • 分别代入题目左边的式子后，使用两角和公式来展开

  • $\sin\alpha = \sin(\displaystyle\frac{\alpha + \beta}{2} + \displaystyle\frac{\alpha - \beta}{2}) = \sin\displaystyle\frac{\alpha + \beta}{2} \cdot \cos\displaystyle\frac{\alpha - \beta}{2} + \cos\displaystyle\frac{\alpha + \beta}{2} \cdot \sin\displaystyle\frac{\alpha - \beta}{2}$

  • $\sin\beta = \sin(\displaystyle\frac{\alpha + \beta}{2} - \displaystyle\frac{\alpha - \beta}{2}) = \sin\displaystyle\frac{\alpha + \beta}{2} \cdot \cos\displaystyle\frac{\alpha - \beta}{2} - \cos\displaystyle\frac{\alpha + \beta}{2} \cdot \sin\displaystyle\frac{\alpha - \beta}{2}$

  • 两式相加后，发现题目等式成立

• $\sin\alpha - \sin\beta = 2\cos\displaystyle\frac{\alpha + \beta}{2}\sin\displaystyle\frac{\alpha - \beta}{2}$

  • $\sin\alpha - \sin\beta = \sin\alpha + (-\sin\beta)$

  • 然后重复 $\sin\alpha + \sin\beta$ 的证明过程即可

• $\cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\displaystyle\frac{\alpha + \beta}{2}\cos\displaystyle\frac{\alpha - \beta}{2}$

  • 令 $\alpha = \displaystyle\frac{\alpha + \beta}{2} + \displaystyle\frac{\alpha - \beta}{2}$

  • 令 $\beta = \displaystyle\frac{\alpha + \beta}{2} - \displaystyle\frac{\alpha - \beta}{2}$

  • 分别代入题目左边的式子后，使用两角和公式来展开

  • $\cos\alpha = \cos(\displaystyle\frac{\alpha + \beta}{2} + \displaystyle\frac{\alpha - \beta}{2}) = \cos\displaystyle\frac{\alpha + \beta}{2} \cdot \cos\displaystyle\frac{\alpha - \beta}{2} - \sin\displaystyle\frac{\alpha + \beta}{2} \cdot \sin\displaystyle\frac{\alpha - \beta}{2}$

  • $\cos\beta = \cos(\displaystyle\frac{\alpha + \beta}{2} - \displaystyle\frac{\alpha - \beta}{2}) = \cos\displaystyle\frac{\alpha + \beta}{2} \cdot \cos\displaystyle\frac{\alpha - \beta}{2} + \sin\displaystyle\frac{\alpha + \beta}{2} \cdot \sin\displaystyle\frac{\alpha - \beta}{2}$

  • 两式相加后，发现题目等式成立

• $\cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\displaystyle\frac{\alpha + \beta}{2}\sin\displaystyle\frac{\alpha - \beta}{2}$

  • $\cos\alpha - \cos\beta = \cos\alpha + (-\cos\beta)$

  • 然后重复 $\cos\alpha + \cos\beta$ 的证明过程即可

辅助角公式

• $a\sin\alpha + b\cos\alpha = \sqrt{a^{2} + b^{2}} \cdot \sin(\alpha + \beta)$，其中 $\tan\beta = \displaystyle\frac{b}{a}$

  • 令 $a = \sqrt{a^{2} + b^{2}} \cdot \displaystyle\frac{a}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

  • 令 $b = \sqrt{a^{2} + b^{2}} \cdot \displaystyle\frac{b}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

  • 那么

  • $y = a\sin\alpha + b\cos\alpha$

  • $\ \ \ = \sqrt{a^{2} + b^{2}} \Big( \sin\alpha \cdot \displaystyle\frac{a}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} + \cos\alpha \cdot \displaystyle\frac{b}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} \Big)$

  • 由于 $\Big(\displaystyle\frac{a}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}\Big)^{2} + \Big(\displaystyle\frac{b}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}\Big)^{2} = 1$

  • 根据勾股定理恒等式，必然存在某个 $\beta$ 使得 $\cos\beta = \displaystyle\frac{a}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$ 和 $\sin\beta = \displaystyle\frac{b}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$ 成立

  • 于是，$y = \sqrt{a^{2} + b^{2}}(\sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta) = \sqrt{a^{2} + b^{2}} \cdot \sin(\alpha + \beta)$

  • 别忘了 $\tan\beta = \displaystyle\frac{b}{a}$

总结

可以看到，从 两角和公式 推导 二倍角公式 再推导 降幂公式 最后推导 半角公式，从 二倍角公式 推导 万能公式，从 两角和公式 推导 积化和差 推导 和差化积，从 两角和公式 推导 辅助公式，它们形成了以 两角和公式 为根节点的一棵推导树。所以，所有人都应当对 两角和公式 达到条件反射般的熟练。三角函数的各种变换公式如果不完全掌握好，往后的数学之路是无法走下去的

后话

你真的看到了这里？谁说这三角函数老啊？这三角函数真是太棒了！那真心希望你能订阅这个合集！让我们一点点地发现对数、虚数、导数、微分、积分、向量、线性代数等等等等的优美吧。