母公司和子公司虽然在股权上可能存在控制关系，但在法律上它们是两个独立的法人实体，各自拥有独立的法人财产权，对外独立承担民事责任。因此，母公司和子公司不能直接共用同一个商标，除非母公司通过签订商标使用许可合同，授权子公司使用其注册商标，并且按照法律规定进行备案。
根据《中华人民共和国商标法》的规定，商标注册人可以通过签订商标使用许可合同，许可他人使用其注册商标。许可人应当监督被许可人使用其注册商标的商品质量，被许可人应当保证使用该注册商标的商品质量。经许可使用他人注册商标的，必须在使用该注册商标的商品上标明被许可人的名称和商品产地。许可他人使用其注册商标的，许可人应当将其商标使用许可报商标局备案，由商标局公告。商标使用许可未经备案不得对抗善意第三人。
此外，如果子公司未经母公司授权擅自使用母公司的商标，可能会承担相应的法律责任，包括但不限于赔偿母公司因商标被侵权而遭受的实际损失，甚至可能面临商标权被撤销、罚款等法律后果。
因此，母公司和子公司之间关于商标的使用，需要遵循法律法规的规定，通过合法的授权和备案程序来实现。这样做不仅有助于维护商标权益，还可以为子公司提供法律保障，避免因商标使用不当而引发的法律纠纷
