第三讲 采样

ye999
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  1. 设有连续的原始信号xc(t)x_c(t)，其对应的离散信号x(n)x(n)，则xc(t)x_c(t)的傅立叶变换为Fxc(jΩ)=∫−∞+∞xc(t)ejΩtdt\mathcal{F}_{x_c}(j\Omega)=\int\limits_{-\infin}^{+\infin}x_c(t)e^{j{\Omega}t}dt，x(n)x(n)的傅立叶变换Fxn(jω)=∑k=−∞+∞x(k)e−jwk\mathcal{F}_{x_n}(j\omega)=\sum\limits_{k=-{\infin}}^{+\infin}x(k)e^{-jwk}

  2. 关于δ(t)\delta(t)函数的一些性质：

    ∀x(t)\forall x(t)，则x(t)δ(t)=x(0)δ(t),x(t)δ(t−t0)=x(t0)δ(t−t0)x(t)\delta(t)=x(0)\delta(t),x(t)\delta(t-t_0)=x(t_0)\delta(t-t_0)

    ∀x(t)\forall x(t)，则x(t)⋅∑k=−∞+∞δ(t−kT)=x(kT)δ(0)=x(kT)k∈Nx(t)\cdot\sum\limits_{k=-\infin}^{+\infin}\delta(t-kT)=x(kT)\delta(0)=x(kT)\quad k\in{N}

    ∀x(t)\forall x(t)，则x(t)∗∑k=−∞+∞δ(t+k)=∑m=−∞+∞x(m)∑k=−∞+∞δ(t+k−m)=∑m=−∞+∞∑k=−∞+∞x(m)δ(t+k−m)=∑k=−∞+∞∑m=−∞+∞x(m)δ(t+k−m)=∑k=−∞+∞x(t+k)x(t)\ast\sum\limits_{k=-\infin}^{+\infin}\delta(t+k)=\sum\limits_{m=-\infin}^{+\infin}x(m)\sum\limits_{k=-\infin}^{+\infin}\delta(t+k-m)=\sum\limits_{m=-\infin}^{+\infin}\sum\limits_{k=-\infin}^{+\infin}x(m)\delta(t+k-m)=\sum\limits_{k=-\infin}^{+\infin}\sum\limits_{m=-\infin}^{+\infin}x(m)\delta(t+k-m)=\sum\limits_{k=-\infin}^{+\infin}x(t+k)

    ∀x(t)\forall x(t)，则∫−∞∞x(t)δ(t)dt=x(0)\int_{-{\infin}}^{\infin}x(t)\delta(t)dt=x(0)

    ∑k=−∞+∞δ(t−kT)k∈N\sum\limits_{k=-\infin}^{+\infin}\delta(t-kT)\quad k\in{N}为周期函数，周期为TT，用周期函数的定义即可证明

    Fejωkt(jω)=2πδ(ω−ωk)\mathcal{F}_{e^{j\omega_kt}}(j\omega) = 2\pi\delta(\omega-\omega_k)

  3. 设xs(t)x_s(t)为经过采样后的连续信号，TT为采样周期，则可知道xs(t)=xc(t)⋅∑k=−∞+∞δ(t−kT)=∑k=−∞+∞xc(t)δ(t−kT)=∑k=−∞+∞xc(kT)δ(t−kT)x_s(t)=x_c(t)\cdot\sum\limits_{k=-\infin}^{+\infin}\delta(t-kT)=\sum\limits_{k=-\infin}^{+\infin}x_c(t)\delta(t-kT)=\sum\limits_{k=-\infin}^{+\infin}x_c(kT)\delta(t-kT)，原因可以参考第2点

  4. 现在要求xs(t)x_s(t)，由于xc(t)x_c(t)为已知信号，从频域分析的角度看，需要知道xs(t)x_s(t)的情况，则需要知道∑k=−∞+∞δ(t−kT)\sum\limits_{k=-\infin}^{+\infin}\delta(t-kT)的频域情况，以下是求∑k=−∞+∞δ(t−kT)\sum\limits_{k=-\infin}^{+\infin}\delta(t-kT)的傅立叶变换的推导过程：

    设g(t)=∑k=−∞+∞δ(t−kT)g(t)=\sum\limits_{k=-\infin}^{+\infin}\delta(t-kT)，则g(t)g(t)的傅立叶级数展开为：g(t)=∑m=−∞+∞αmej2πTmtg(t)=\sum\limits_{m=-\infin}^{+\infin}\alpha_me^{j\frac{2\pi}{T}mt}

    由傅立叶变换系数可知αm=1T∫−T2T2g(t)e−j2πTmtdt=1T∫−T2T2(∑m=−∞+∞δ(t−mT))⋅e−j2πTmtdt\alpha_m=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}g(t)e^{-j\frac{2\pi}{T}mt}dt=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}(\sum\limits_{m=-\infin}^{+\infin}\delta(t-mT)){\cdot}e^{-j\frac{2\pi}{T}mt}dt

    由于积分变量tt是在一个周期内完成，因此∑m=−∞+∞δ(t−mT)t∈[−T2,T2]\sum\limits_{m=-\infin}^{+\infin}\delta(t-mT)\quad t\in[-\frac{T}{2}, \frac{T}{2}]只有一个值，所以傅立叶变换系数αm=1T∫−T2T2δ(t)e−j2πTmtdt\alpha_m=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\delta(t)e^{-j\frac{2\pi}{T}mt}dt，仅当t=0t=0时候，式子有值，因此αm=1T\alpha_m=\frac{1}{T}

    所以Fg(t)(jΩ)=F∑m=−∞+∞1Tej2mπTt(jΩ)=∑m=−∞+∞1TFej2mπTt(jΩ)=∑m=−∞+∞1T⋅2π⋅δ(Ω−2mπT)=2πT∑m=−∞+∞δ(Ω−mΩ0)Ω0=2πT\mathcal{F}_{g(t)}(j\Omega)=\mathcal{F}_{\sum\limits_{m=-\infin}^{+\infin}\frac{1}{T}e^{j\frac{2m\pi}{T}t}}(j\Omega)=\sum\limits_{m=-\infin}^{+\infin}\frac{1}{T}\mathcal{F}_{e^{j\frac{2m\pi}{T}t}}(j\Omega)=\sum\limits_{m=-\infin}^{+\infin}\frac{1}{T}\cdot2\pi\cdot\delta(\Omega-\frac{2m\pi}{T})=\frac{2\pi}{T}\sum\limits_{m=-\infin}^{+\infin}\delta(\Omega-m\Omega_0) \quad \Omega_0=\frac{2\pi}{T}，而Ω0=2πT\Omega_0=\frac{2\pi}{T}称为采样频率

    因此xs(t)x_s(t)的傅立叶变换为：Fxs(t)(jΩ)=12πFxc(t)(jΩ)∗Fg(t)(jΩ)=12πFxc(t)(jΩ)∗(2πT∑m=−∞+∞δ(Ω−mΩ0))=1T∑m=−∞+∞Fxc(t)(j(Ω−mΩ0))\mathcal{F}_{x_s(t)}(j\Omega)=\frac{1}{2\pi}\mathcal{F}_{x_c(t)}(j\Omega)\ast \mathcal{F}_{g(t)}(j\Omega)=\frac{1}{2\pi}\mathcal{F}_{x_c(t)}(j\Omega)\ast (\frac{2\pi}{T}\sum\limits_{m=-\infin}^{+\infin}\delta(\Omega-m\Omega_0))=\frac{1}{T}\sum\limits_{m=-\infin}^{+\infin}\mathcal{F}_{x_c(t)}(j(\Omega-m\Omega_0))

    由上式可知，Fxs(t)(jΩ)=1T∑m=−∞+∞Fxc(t)(j(Ω−mΩ0))\mathcal{F}_{x_s(t)}(j\Omega)=\frac{1}{T}\sum\limits_{m=-\infin}^{+\infin}\mathcal{F}_{x_c(t)}(j(\Omega-m\Omega_0))为周期函数，周期为Ω0\Omega_0，并且也可以知道的是Ω\Omega为原始信号的频率

    由上式可知，原始信号经过采样后在频域均为周期信号，频率出现重复，名为频谱搬移，因此当Ω0−Ω<Ω\Omega_0-\Omega<\Omega的时候，则会出现频谱叠加，从而导致信号的频域不能一一对应，因此要使原信号的频谱不会叠加，则必须Ω0<2Ω\Omega_0<2\Omega，这就是采样定理

  5. 由上面的推导可以知道，只有当Ω0≥2Ω\Omega_0\geq2\Omega时，原信号的频谱在采样后不会被叠加（污染），因此才能把信号无失真地还原。在时域来说，可以理解为只要采样足够快才能保证不错过每一个细节，因此采样的频率必须快于原信号频率的两倍

  6. 此处的个人理解是在时域来说，仅仅是知道采样的频率必须快于原信号频率，但并不知道，也很难知道究竟要快多少，因此频域的分析让我们能够得到定量的结果

  7. 虽然上面求出了采样后的频域表达Fxs(t)(jΩ)\mathcal{F}_{x_s(t)}(j\Omega)，但是这个频谱是表达了一个经过采样后的连续信号的频谱，而由于采样的最终目的是需要把连续信号变成离散信号，因此，必须要求出离散信号的频域表达，求解过程如下：

    Fxs(t)(jΩ)=∫−∞+∞xs(t)e−jΩtdt=∫−∞+∞(∑k=−∞+∞xc(kT)δ(t−kT))⋅e−jΩtdt=∑k=−∞+∞xc(kT)∫−∞+∞δ(t−kT)e−jΩtdt=∑k=−∞+∞xc(kT)e−jΩkT\mathcal{F}_{x_s(t)}(j\Omega)=\int_{-\infin}^{+\infin}x_s(t)e^{-j\Omega{t}}dt\\=\int_{-\infin}^{+\infin}(\sum\limits_{k=-\infin}^{+\infin}x_c(kT)\delta(t-kT)){\cdot}e^{-j{\Omega}t}dt\\=\sum\limits_{k=-\infin}^{+\infin}x_c(kT)\int_{-\infin}^{+\infin}\delta(t-kT)e^{-j{\Omega}t}dt\\=\sum\limits_{k=-\infin}^{+\infin}x_c(kT)e^{-j\Omega{kT}}

    为了区分离散和连续的信号的傅立叶转换，因此把上式的符号改为：Fxs(n)(jΩ)==∑n=−∞+∞xc(nT)e−jΩTn\mathcal{F}_{x_s(n)}(j\Omega)==\sum\limits_{n=-\infin}^{+\infin}x_c(nT)e^{-j\Omega{Tn}}，与离散的傅立叶变换式子Fx(t)(jω)=∑k=−∞+∞x(k)e−jωk\mathcal{F}_{x(t)}(j\omega)=\sum\limits_{k=-\infin}^{+\infin}x(k)e^{-j\omega{k}}对比可知，由于信号xx的自变量是用来取出信号的值进行累加的，因此无论里面是kk还是nTnT均不要紧，因此唯一的差别是ω=ΩT\omega=\Omega{T}，所以由第四点得到的经过采样后的连续时间信号的傅立叶变换就可以用ω=ΩT\omega=\Omega{T}来进行替换，成为经过采样后的离散时间傅立叶变换的式子了，替换结果如下：Fxs(n)(jω)=1T∑m=−∞+∞Fxc(t)(j(ωT−mω0T))\mathcal{F}_{x_s(n)}(j\omega)=\frac{1}{T}\sum\limits_{m=-\infin}^{+\infin}\mathcal{F}_{x_c(t)}(j(\frac{\omega}{T}-m\frac{\omega_0}{T})) 其中ω\omega为原始信号的频率，ω0\omega_0为采样频率

  8. 以上的表达式个人理解为是经过离散采样后的频谱与原信号频谱之间的关系，但有两点还没完全搞懂的地方

    Q：为什么用第三点的xs(t)=xc(t)⋅∑k=−∞+∞δ(t−kT)x_s(t)=x_c(t)\cdot\sum\limits_{k=-\infin}^{+\infin}\delta(t-kT)通过第四点的推导得到的傅立叶变换式子和第三点的xs(t)=∑k=−∞+∞xc(kT)δ(t−kT)x_s(t)=\sum\limits_{k=-\infin}^{+\infin}x_c(kT)\delta(t-kT)通过第七点的推导得到的傅立叶变换的式子不同？

    A：个人理解是xc(t)x_c(t)与xc(kT)x_c(kT)的取值不同导致的，虽然xc(kT)x_c(kT)中的xcx_c仍然是连续信号，但xc(kT)x_c(kT)这样的结果已经离散化了！

    Q：第7点上的Fxs(n)(jΩ)==∑n=−∞+∞xc(nT)e−jΩTn\mathcal{F}_{x_s(n)}(j\Omega)==\sum\limits_{n=-\infin}^{+\infin}x_c(nT)e^{-j\Omega{Tn}}已经可以得到离散化采样后频谱与原信号xcx_c之间的关系，为什么还要改写成第4点上的式子，意义何在？

    A：个人理解为第7点上推出来的式子仅仅是考虑了采样后的频谱与原信号xcx_c之间的频谱的关系，并没有考虑与采样频率之间的关系，因此改成第四点的式子就能得到与采样频率之间的关系了

  9. 时域的搬移等同于频域的采样，频域的搬移等同于时域的采样，搬移相当于是把轴上的数据复制到一个空白的地方

  10. 从时域上来说，xs(t)=∑k=−∞+∞xc(kT)δ(t−kT)x_s(t)=\sum\limits_{k=-\infin}^{+\infin}x_c(kT)\delta(t-kT)已经完成了时域的数据获取，但从第9点可以看出，时域的数据获取在频域上是会导致频谱搬移的，为了截断搬移了的频谱，则需要把获取到的数据(信号)经过一个低通滤波器，从而还原成真正原始的信号，完成整个采样过程，设低通滤波器的频域函数为H(jΩ)={1∣Ω∣≤Ωr0othersH(j\Omega)=\begin{cases}1&|\Omega|\le\Omega_r\\0&{others}\end{cases}，其中 Ωc≤Ωr≤Ω0−Ωc{\Omega}_c\le\Omega_r\le\Omega_0-\Omega_c Ωc\Omega_c代表原信号的频率，Ω0\Omega_0代表采样频率，Ωr\Omega_r代表低通滤波器的最大频率，通俗说法是，低通滤波器的极限频率必须在原始信号的频率与相邻的搬移频谱的开始频率之间

  11. 按照第10点所得，设还原出来的信号为xr(n)x_r(n)，则xr(n)=∑k=−∞+∞xs(t)h(n−t)x_r(n)=\sum\limits_{k=-\infin}^{+\infin}x_s(t)h(n-t)，其中h(t)h(t)为低通滤波器H(jΩ)H(j\Omega)的时域表达，以下是求h(t)h(t)的过程

    根据傅立叶变换的合成式子可知h(t)=12π∫−∞+∞H(jΩ)ejΩtdΩ=12π∫−Ωr+ΩrH(jΩ)ejΩtdΩ=12π∫−Ωr+ΩrejΩtdΩ=12π∫−Ωr+Ωrcos(Ωt)dΩ+j12π∫−Ωr+Ωrsin(Ωt)dΩ=1t∫−Ωr+Ωrcos(Ωt)dΩt+j⋅12π⋅0=12π⋅sin(Ωrt)−sin(−Ωrt)t=sin(Ωrt)πt\\h(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infin}^{+\infin}H(j\Omega)e^{j\Omega{t}}d\Omega\\=\frac{1}{2\pi}\int_{-\Omega_r}^{+\Omega_r}H(j\Omega)e^{j\Omega{t}}d\Omega\\=\frac{1}{2\pi}\int_{-\Omega_r}^{+\Omega_r}e^{j\Omega{t}}d\Omega\\=\frac{1}{2\pi}\int_{-\Omega_r}^{+\Omega_r}cos(\Omega{t})d\Omega + j\frac{1}{2\pi}\int_{-\Omega_r}^{+\Omega_r}sin(\Omega{t})d\Omega\\=\frac{1}{t}\int_{-\Omega_r}^{+\Omega_r}cos(\Omega{t})d\Omega{t} + j\cdot\frac{1}{2\pi}\cdot0\\=\frac{1}{2\pi} \cdot\frac{sin(\Omega_r{t})-sin(-\Omega_r{t})}{t}\\=\frac{sin(\Omega_rt)}{\pi{t}}

    现在把h(t)h(t)代入到xr(n)=∑k=−∞+∞xs(t)h(n−t)x_r(n)=\sum\limits_{k=-\infin}^{+\infin}x_s(t)h(n-t)则可以得到真正采样的结果，而这个结果是能很好地还原原来的连续信号的

  12. 从另一个角度去看，由于xs(t)x_s(t)在时域上的处理会丢失掉一部分的数据(信号)，因此，上式所说的还原信号，其实就是一个插值的过程，而h(t)h(t)则正好是插值时候的基函数

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