兔群繁殖之谜

摘要

这个问题是一个经典的斐波那契数列问题。研究的是一种特殊兔子的繁殖模式，每对成年兔子每个月会生育一对新的小兔子。新生的小兔子需要一个月成长，到第二个月才能开始繁殖。我们从一对新生的小兔子开始，目标是计算在第 $A$ 个月末，总共有多少对兔子。

问题描述

生物学家小 R 正在研究一种兔子品种的繁殖模式，其规律如下：

每对成年兔子每个月会生育一对新的小兔子（一雌一雄）。
新生的小兔子需要一个月成长，到第二个月才能开始繁殖。
兔子不会死亡。

给定一个整数 $A$ （1 ≤ $A$ ≤ 50），表示月份数，要求计算第 $A$ 个月末兔子的总对数。

测试样例

输入: $A = 1$ → 返回: 1
输入: $A = 5$ → 返回: 8
输入: $A = 15$ → 返回: 987

解题思路

这是一个经典的斐波那契数列问题。每个月的兔子总对数满足以下递推关系：

F(n) = F(n-1) + F(n-2)

其中 $F(n)$ 表示第 $n$ 个月的兔子总对数。

初始条件:
- 第 $1$ 个月： $F(1) = 1$
- 第 $2$ 个月： $F(2) = 1$

从第 $3$ 个月开始，兔子群体按照上述递推公式增长。

代码实现

我们可以采用递归的记忆化搜索方式和迭代方式两种解法。

Go 语言实现

递归 + 记忆化搜索

package main

import "fmt"

// 初始化dp数组
var dp = [51]int{}

// 计算第A个月末兔子的总对数
func solution(A int) int {
	// 初始化基本情况
	dp[0], dp[1] = 1, 1
	return fib(A)
}

// 使用递归和记忆化搜索来计算斐波那契数
func fib(a int) int {
	// 如果已经计算过，直接返回结果
	if dp[a] != 0 {
		return dp[a]
	}
	// 递归计算并保存结果
	dp[a] = fib(a-1) + fib(a-2)
	return dp[a]
}

func main() {
	// 测试用例
	fmt.Println(solution(1))  // 输出：1
	fmt.Println(solution(5))  // 输出：8
	fmt.Println(solution(15)) // 输出：987
}

迭代版

package main

import "fmt"

// 计算第A个月末兔子的总对数（迭代版）
func solution(A int) int {
	if A == 0 || A == 1 {
		return 1
	}

	// 初始化前两个斐波那契数
	prev1, prev2 := 1, 1
	var current int

	// 迭代计算斐波那契数列
	for i := 2; i <= A; i++ {
		current = prev1 + prev2
		prev1 = prev2
		prev2 = current
	}

	return current
}

func main() {
	// 测试用例
	fmt.Println(solution(1))  // 输出：1
	fmt.Println(solution(5))  // 输出：8
	fmt.Println(solution(15)) // 输出：987
}

Python 版本实现

迭代版

def solution(A: int) -> int:
    """
    计算第 A 个月末兔子的总对数（使用迭代版本）。
    
    :param A: 第 A 个月
    :return: 该月末兔子的总对数
    """
    # 如果是第一个或第二个月，兔子的数量是 1
    if A == 0 or A == 1:
        return 1

    # 初始化前两个斐波那契数
    prev1, prev2 = 1, 1
    current = 0

    # 迭代计算斐波那契数列
    for i in range(2, A + 1):
        current = prev1 + prev2
        prev1 = prev2
        prev2 = current

    return current

if __name__ == "__main__":
    # 测试用例
    print(solution(1) == 1)  # True
    print(solution(5) == 8)  # True
    print(solution(15) == 987)  # True

复杂度分析

时间复杂度: $O(A)$ ，因为每一个月份的兔子数量只会计算一次。
空间复杂度: $O(A)$ 递归方式需要 $O(A)$ 的空间来存储已计算的斐波那契数。迭代版本的空间复杂度为 $O(1)$ ，因为仅用常量空间记录前两个状态。

总结

这个问题是经典的斐波那契问题的一个变体。通过动态规划（记忆化递归和迭代）的方式，可以有效地计算兔子繁殖的总对数。迭代方式在空间利用上更为高效，是推荐的解法。