第二讲 LTI系统初识与FFT推导

由第一讲可知，$y(n)=\sum\limits_{k=-\infin}^{+\infin}x(k)H(n-k)$，而这样的一个式子需要做一个卷积运算，运算量巨大，并且还不能很直观地看出其性质，因此希望能用一个简单的方法去计算这个式子，于是就希望仿照线性代数里的 $Ax={\lambda}x$的做法，去寻找特征向量和特征值，分解 $x(k)$与$H(n-k)$

因此，假设 $x(n)=a^n$ 的时候，$y(n)=\sum\limits_{k=-\infin}^{+\infin}a^kH(n-k)=\sum\limits_{k=-\infin}^{+\infin}a^{n-k}H(k)=\sum\limits_{k=-\infin}^{+\infin}a^{k}H(k)a^n$，从形式上看，这就变成了输入信号与一个可以预先计算出来的系数的积然后求和就行了，并且由于 $a^k$ 与 $H(k)$ 均能在信号处理之前就能计算出具体数值，因此是不需要计算卷积了。

虽然上面已经找到了一个 $x(n)=a^n$ 的信号，它能让卷积的计算变成乘法的计算，但是，并不是所有的信号均为 $x(n)=a^n$ 的信号，因此，必须要找到一种方法把 $\forall x(n)=\sum\limits_{k=-∞}^{+∞}\alpha_ke^{j𝜔_kn}$，只要我们能让上式成立，才能把第2点的式子推广。其中 $x(n)=a^n$ 改为 $x(n)=e^{j{\omega}n}$ 是因为这样可以利用复指数能与三角函数关联起来的性质

以下是求解$\forall x(n)=\sum\limits_{k=-\infin}^{+\infin}\alpha_ke^{j\omega_kn}$的过程:

$\int\limits_{-\pi}^{+\pi} e^{-jmt}dt=\int\limits_{-\pi}^{+\pi}(cos(-mt) + jsin(-mt))dt=\int\limits_{-\pi}^{+\pi}cos(-mt)dt + j\int\limits_{-\pi}^{+\pi}sin(-mt)dt=\begin{cases}2\pi&m=0\\0&m\ne0\end{cases} ---(1)$

$\int\limits_{-\pi}^{\pi}x(t)e^{-jmt}dt=\int\limits_{-\pi}^{\pi}(\sum\limits_{k=-\infin}^{+\infin}\alpha_ke^{j\omega_kt})e^{jmt}dt=\sum\limits_{k=-\infin}^{+\infin}\alpha_k\int\limits_{-\pi}^{\pi}e^{j(\omega_k-m)t}dt ---(2)$

联立(1)(2)可得$\sum\limits_{k=-\infin}^{+\infin}\alpha_k\int\limits_{-\pi}^{\pi}e^{j(\omega_k-m)t}dt=\begin{cases}2\pi{\alpha_k}&\omega_k=m\\0&\omega_k\ne{m}\end{cases}$

因此$\alpha_k=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}x(t)e^{-j\omega_kt}dt$ 其中$2\pi$为周期

这个求解结果称之为傅立叶系数，而需要求解的式子叫傅立叶变换，周期信号中称之为傅立叶级数，非周期信号中，称之为傅立叶变换

由于傅立叶系数与$\omega_k$有关系，也就是说与$k$有关系，设$\omega_k=k\omega_0$，因此上面的傅立叶系数的式子可以写成$\alpha(\omega)=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}x(t)e^{-j\omega{t}}dt$，因此周期信号$x(t)=\int\limits_{-\pi}^{\pi}\alpha(\omega)e^{j{\omega}t}d\omega$，此处其实可以理解为把一个时域信号$x(t)$通过$e^{-j\omega{t}}$进行展开到频域，然后得到每个频域的振幅$|\alpha(\omega)|$和幅角$tan^{-1}(\frac{Re(\alpha(\omega))}{Im(\alpha(\omega))})$，也可以理解为把一个频域信号$\alpha(\omega)$通过$e^{j\omega{t}}$展开，然后在频域方向进行合成得到一个时域的信号，而$2\pi$只是一个缩放系数而已。注：频域的$\alpha(\omega)$是一个复数，因此$Re(\alpha(\omega)),Im(\alpha(\omega))$分别代表复数的实数部分与虚数部分

傅立叶变换的振幅$|\alpha(\omega)|$是偶函数，而复角$tan^{-1}(\frac{Re(\alpha(\omega))}{Im(\alpha(\omega))})$是奇函数

对于非周期信号，可以把其看成是一个周期为${\infin}$的周期信号，因此傅立叶变换的系数变成$\alpha(\omega)=\int\limits_{-\infin}^{+\infin}x(t)e^{-j\omega{t}}dt$，而$x(t)=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\infin}^{+\infin}\alpha(\omega)e^{j\omega{t}}d\omega$

同样的，对于离散信号而言，仅仅是把积分变成求和，举例来说，离散的傅立叶转换的式子为：$\alpha(\Omega)=\sum\limits_{n=0}^Nx(n)e^{-j\Omega{n}}, x(n)=\frac{1}{N}\sum\limits_{k=0}^{N}\alpha(k\Omega_0)e^{jk\Omega_0n}$当然这只是简单的说法，其实还有一些性质不同，但不影响理解，具体可以去看教材

根据欧拉公式，$e^{j\omega_kt}=cos(\omega_kt)+jsin(\omega_kt)$是一个单位圆，因此正负号可以理解为单位圆的旋转方向，正号代表着顺时针，而负号代表着逆时针

在线性系统中，$y(n)=L(x(n))=L(\sum\limits_{k=-\infin}^{+\infin}\alpha_ke^{j\omega_kn})=\sum\limits_{k=-\infin}^{+\infin}\alpha_kL(e^{j\omega_kn})=\sum\limits_{k=-\infin}^{+\infin}\alpha_k\beta_ke^{j\omega_kn}$，其中$\alpha_k$为输入信号$x(n)$的傅立叶系数，$\beta_k$为线性系统响应的傅立叶系数，两者的计算方法一样，由此可知，无论任何信号，只要把信号分解成频域，然后针对各个频段的复角和振幅进行更改，再回归时域，就完成整个信号处理了，这种思维贯穿了整个数字信号处理

信号的平均功率的帕塞瓦关系式$\frac{1}{T}\int\limits_T|x(t)|^2dt=\sum\limits_{k=-\infin}^{+\infin}|\alpha(k)|^2$，此处可以理解为时域各个点的平方和的平均值与各个频段的平方一样

$y(n)=\sum\limits_{k=-\infin}^{+\infin}x(k)h(n-k) \implies \mathcal{F}_y(\omega)=\frac{1}{2\pi}\mathcal{F}_x(\omega)\mathcal{F}_h(\omega)$，通俗说法是，信号在时域的卷积结果相当于信号在频域乘积结果，其中$\mathcal{F}(\omega)$为信号经过傅立叶转换，要说明一点的是，傅立叶转换是一个运算规则，傅立叶系数是指运算规则下的参数

设信号$x(n)$的傅立叶变换为$\mathcal{F}(\omega)$，则$x(n-d)$的傅立叶转换为$\mathcal{F}_d(\omega)=e^{-jwd}\mathcal{F}(\omega)$

设信号$y(n)=\sum\limits_{k}x_k(n)$，则$\mathcal{F}_y(\omega)=\sum\limits_k\mathcal{F}_{x_k}(\omega)$，由于傅立叶变换是积分(求和)，因此具有线性特性

时域对信号的求和是低通滤波器，时域对信号的查分是高通滤波器

把复指数通过欧拉公式和三角函数化简，就能计算出复角和振幅，如：$\frac{1-e^{-j\omega{N}}}{1-e^{-jw}}=\frac{e^{\frac{j\omega{N}}{2}}-e^{-\frac{j\omega{N}}{2}}}{e^\frac{j\omega}{2}-e^{-\frac{j\omega}{2}}}\cdot\frac{e^{-\frac{j\omega{N}}{2}}}{e^{-\frac{j\omega}{2}}}=\frac{sin(\frac{j\omega{N}}{2})}{sin(\frac{j\omega}{2})}\cdot{e^{\frac{j\omega{(1-N)}}{2}}}$，当将其化简成$Ae^{j\theta} A\in{R}$的模式后，就能很好地看出振幅和复角了。

设$x(n)=a^nU(n)$，则其傅立叶变换的表达式为$\mathcal{F}(x(n))=\frac{1}{1-ae^{-jw}}$