第一讲 数字信号初识

数字信号的一般表达，$X(n) = \sum\limits_{k=-∞}^{+∞} x(k)\delta(n-k)$ 其中 $x(k)$为原始信号描述，$X(n)$是数字信号的描述， $\delta(n)$为狄拉克函数，也叫单位冲激函数，定义为 $\delta(n)=\begin{cases}1& n=0\\0&n≠0\end{cases}$

为了方便书写，从现在起，数字信号的表达式全用小写 $x$

数字信号里提及的系统，与计算机里提及的系统不是一回事，数字信号里提及的系统，只是一个函数，某个信号通过了某个系统，用数学方法表示为 $y(n) = H(x(n))$，其中$H(x)$被称作系统

线性系统记作为：$L(x)$，其性质为：$L(\alpha_1x_1(n) + \alpha_2x_2(n)) = \alpha_1L(x_1(n)) + \alpha_2L(x_2(n))$，通俗表达为：线性系统处理叠加信号时候，相当于线性系统独自处理单一信号后之和

结合定义与线性系统，可以得到：$y(n)=L(x(n))=L(\sum\limits_{k=-∞}^{+∞}x(k)𝛿(n-k)) =\sum\limits_{k=-∞}^{+∞}x(k)L(\delta(n-k))$，设 $H(n)=L(𝛿(n-k))$，则 $y(n)=\sum\limits_{k=-∞}^{+∞}x(k)H(n-k)$，其中$H(n)=L(𝛿(n-k))$ 也叫单位冲激响应函数，与狄拉克函数相呼应，通俗表达为：信号经过线性系统，相当于与线性系统对单位冲激函数处理后的结果的卷积。注：该连等式中第二步是把数字信号的定义代入进去，第三步是应用线性系统的性质，由于$\sum\limits_{k=-∞}^{+∞}x(k)$ 求和后没有变量，所以能提取到线性系统之外

时不变系统的性质：设$y(n) = H(x(n))$的$H(x)$是时不变系统，则推导出 $y(n - n_0) = H(x(n - n_0))$，通俗表达为，输入信号经过延迟时间后得到的值与输出信号延迟时间后得到的值相等

因果系统的性质：设$y(n) = H(x(n))$的$H(x)$是因果系统，则推导出$y(n_0) \sim \{x(n)|n \le n_0 \}$，其中$\sim$表示有关的意思。因果性里的结论是个充要条件，通俗表达为：因果性系统的输出只与系统在该时刻之前输入的数据有关，与之后的数据无关

稳定系统的性质：设$y(n) = H(x(n))$的$H(x)$是稳定系统，则推导出$\frac{y(n)}{x(n)} = \frac{M_y}{M_x}$，并且这也是个充要条件，通俗表达为：稳定性系统会因为有界的输入而得到有界的输出。

当出现求和符号的时候，把不是求和变量外的所有变量符号看成是常量，与偏导数的做法是一样的

阶跃函数的定义与性质：阶跃函数$U(x)=\begin{cases}1& x\ge0 \\0 &x<0 \end{cases}$

在计算或者分析有求和符号的函数时候，其他的非求和变量可以看成是常量，与偏微分是一样的道理