Square and Multiply算法剖析（含自己的推导）网络安全RSA算法碎片知识点，Square and Mul

大家好，我是工作了三年来读水硕（真不水，太难了还是全英授课）的作家林可，最近在信息安全推导Square and Multiply（其实就是快速幂取模的一个算法，具体中文名容易混，建议还是以英文记忆）。

这门课是一个南非教授讲的，ppt逻辑性很强，不像本科时候扔一本书从第一章第二章开始念教材公式定理，当然可能是我本科没好好听课，没养成自己串联知识点的习惯。

废话不说，Square and Multiply其实是为了之后推导RSA算法的储备知识，整个ppt是循序渐进的，从幂运算到欧拉函数再到RSA，必须掌握了每个小的知识点最后才能串联起来，不然死记硬背，东记一个西记一个，没串联起来知识体系，整个人会非常的懵逼。本文仅限于解析Square and Multiply（下周要考试了没时间，之后有时间再串联起来）

废话时间结束，让我切换专业工作态度解释和推导：

(a). 首先放ppt引出问题（问题很重要！！没有问题就没有求知欲，没有求知欲背不下来公式的）

(b). 阅读以上PPT知道Square and Multiply其实就是为了解决：

形如 $a^e\mod\ n$ ，当e非常大时候怎么快速计算

method1用的方法符合人类第一直觉，一步步写出来e个11x11……x11，从左往右计算，这就引出了新的问题：这样太慢了，能不能优化？

method2（Square and Multiply）中运用了取模的分配率：

$ab\ mod\ n=[(a\ mod\ n)(b\ mod\ n)]\ mod\ n$

当 $b=a$ 时，也就是 $a^2\ mod\ n=(a\ mod\ n)^2\ mod\ n \Rightarrow a^2\equiv(a\ mod\ n)^2$

到这一步应该大家都能看懂

(c). 只不过到了第三页ppt，Square and Multiply的代码实现跟2中的解题步骤对不上了，大多数人产生疑惑都在这一步，按照method2教的，我们手写推导需要

一个个推出11的2、4、8次方对应的mod n得到m1、m2、m3
将 (m1、m2、m3)相乘再mod n

而No.3 ppt的代码实现跟上面(b)中的步骤对不上了：

#Square and Multiply Mod：
def squre_multiply_mod(a, e, n):
    z = 1
    binary = bin(e)[2:]
    #从左到右遍历二进制
    for i in binary:
        z = (z * z) % n
        if i == '1':
            z = (z * a) % n 
    return z
print("final result is ", squre_multiply(11, 15, 13))

本文主要就是为了推导(c)中的算法为什么成立，我想了半天怎么跟(b)中手写步骤产生关联，也就是怎么从2到3的，查阅了大部分资料+GPT都是胡说八道：概念太多了，千人千面，没有独立思考能力的话非常容易混淆。洗澡的时候突然悟空了，应该抛开所有上下文，单纯去证明(c)的算法成立，下面给出我是怎么撸清楚上面的代码的原理，此时让我们先忘记ppt的第一页和第二页，正如练成神功必先自宫，不破不立。

谷歌搜索得到的Square and Multiply：www.practicalnetworking.net/stand-alone… ，这里是讨论怎么讲 $a^e$ 如何减少计算步骤，并未取模。

后者ppt和代码中的中的S&M是用于取模的，为了严谨区分防止混淆，定义它为”Square and Multiply Mod“。但是前者和后者是充分关系，可以根据前者推出后者，接下来先推导前者。
根据1中前者的链接可以知道，将一个数 $a^e$ 用"Square and Multiply"拆分的话有以下步骤
1. Convert the exponent to Binary. （将幂转成二进制形式，从左到右遍历）
2. For the first 1, simply list the number （如果是从左到右第一个1，直接白纸上写出底数a）
3. For each ensuing 0, do Square operation（接下来碰到0，直接将a平方， $a=a^2$ ）
4. For each ensuing 1, do Square and Multiply operations(接下来碰到1， $a=a^2+1$ )
5. 最后得到的 $a$ 其实就是 $a^e$
阅读完这个算法，并举例子其实可以知道是对的
```
37 = 100101 in Binary                                         省略底数N，只看指数的变化
1  First One lists number                  N                         1
0  Zero calls for Square                  (N)^2                     1*2
0  Zero calls for Square                 ((N)^2)^2                 1*2*2
1  One calls for Square + Multiply      (((N)^2)^2)^2*N          （1*2+2)*2+1
0  Zero calls for Square               ((((N)^2)^2)^2*N)^2       [（1*2+2)*2+1]*2
1  One calls for Square + Multiply   (((((N)^2)^2)^2*N)^2)^2*N  {[（1*2+2)*2+1]}*2+1
```
"省略底数N，只看指数的变化"这个步骤就是我突然悟了的关键，问题归约为证明:

当二进制数 $b_0b_1b_2$ (设十进制为x)从左到右增加一位比特 $b3$ 的时候，指数变化规律为：

若 $b_3=1$ ， $b_0b_1b_2b_3=2x+1$ ,

若 $b_3=0$ ， $b_0b_1b_2b_3=2x$

乍一看也无从下手证明，我们多举具体的几个例子就能发现规律了：

记 $x_0=十进制4=二进制(100)=1\times2\times2$ ，此时在100后面增加1或者0变成1001或1000

$1001=2^3+2^0=2\times 2^2+1=2\times(1\times2\times2)+1=2x_0+1$

$1000=2^3=2\times(2^2)=2*(1\times2\times2)=2x_0$

这会有点感觉了，但怎么推广到所有情况都成立呢？让我们来返璞归真，回到二进制转十进制算法的本质：一个二进制数可以恢复成十进制，通过若干个2的次方数相加(此时下标(0-k)从右往左排列)

$binary(b_k……b_2b_1b_0)\xrightarrow{decimal}b_k2^k+b_{k-1}2^{k-1}+……+b_{1}2^1+b_{0}2^0$

如果在binary右边加上一位比特位 $b$ ,此时为 $new\_binary(b_k……b_2b_1b_0b)$ ，显而易见，从右往左数，binary的第1位就是new_binary的第2位，相当于滑动窗口 $(b_k……b_2b_1b_0)$ 整体左移了一位，此时 $b_k$ 对应的2的指数应该是 $k+1$

$new\_binary(b_k……b_2b_1b_0b)$

$=b_{k}2^{k+1}+b_{k-1}2^k+……+b_{1}2^2+b_{0}2^1+b2^0$

$=2\times (b_{k}2^k+b_{k-1}2^{k-1}+……+b_{1}2^1+b_{0}2^{0})+b$

$=2\times Decimal(binary)+b$ $\qquad (b=0\ or\ b=1)$

综上, 算法square_multiply( $a^e$ )得证，也就是可以通过此算法计算 $a^e$
已知 $square\_multiply(a^e)$ ，证明squre_multiply_mod适用于 $(a^e)\ mod\ n$
```
#Square and Multiply
def squre_multiply(a, e):
    z = 1
    binary = bin(e)[2:]
    #从左到右遍历二进制
    for i in binary:
        z = (z * z)
        if i == '1':
            z = (z * a)
    return z
print("11^15=", squre_multiply(11, 15))
```
回顾一下乘方的同余性质：

如果 $a\equiv b\ (mod\ n)$ ，那么 $a^e\equiv b^e\ (mod\ n)，e$ 是自然数。

比如计算 $13^5\ mod\ 11，由于13\equiv 2\ (mod\ n)$ ，所以 $13^5\equiv 2^5\equiv32(mod\ 11)$

也就是对一个指数a的乘方进行取模等价于：令初始值 $a_0=1$ ，每次乘完底数 $a$ 立刻进行取模，对应到上述Square and Multiply的代码，只需要在每次乘法后立刻取模，最终就能得到 $a^e(mod\ n)$ ：
```
#Square and Multiply Mod：
def squre_multiply_mod(a, e, n):
    z = 1
    binary = bin(e)[2:]
    #从左到右遍历二进制
    for i in binary:
        #乘完立刻取模
        z = (z * z) % n  
        if i == '1':
            #乘完立刻取模
            z = (z * a) % n 
    return z
print("final mod is ", squre_multiply(11, 15, 13))
```

至此，上述代码squre_multiply_mod算法就是对大指数如 $a^{1111111}$ 取模的最优雅且快速的实现

本文完结，码字不易，有人看点赞~