题目
小悦爬楼梯，一次只能上1级或者2级台阶。楼梯一共有n级台阶，请问总共有多少种方法可以爬上楼？
递归法
这道题虽然是一道编程题，但实际上更是一道数学题，着重考察应聘者的逻辑思维能力和分析解决问题的能力。
当楼梯只有1级时，只有1种方法可以上楼。
当楼梯有2级时，有两种方法可以上楼：一次跨1级，或者一次跨2级。
对于大于2级的楼梯，我们可以选择从第n-1级跨1级，或者从第n-2级跨2级。所以，对于n级楼梯的方法数为：f(n) = f(n-1) + f(n-2)。
这种思考问题的方法就是递归的思想。下面，我们给出了用递归函数求解这道题的示例代码。
def climb_stairs_recursive(n):
if n == 1:
return 1
elif n == 2:
return 2
else:
return climb_stairs_recursive(n-1) + climb_stairs_recursive(n-2)
# 输出：5
print(climb_stairs_recursive(4))
可以看到，采用递归实现的代码非常简洁。但递归算法也有其缺点：一是递归的层级较多时，可能会导致堆栈溢出；二是递归算法的时间复杂度一般较高，效率较低。具体到本题，因为每次递归都可能产生两种选择，故时间复杂度为O(2^n)。计算n级台阶和n-1级台阶的方法数时，都会去计算n-2级台阶的方法数，从而导致大量的重复计算。
有没有更好的解决问题的方法呢？答案是肯定的，可以通过动态规划法来尝试一下。
动态规划法
动态规划法通过构建一个表来存储子问题的解，从而避免了重复计算。我们可以使用一个数组dp来存储每级楼梯的方法数，初始条件为：dp[1] = 1, dp[2] = 2。
对于大于2级的楼梯，我们可以从第n-1级跨1级到达第n级，或者从第n-2级跨2级到达第n级。所以，dp[n] = dp[n-1] + dp[n-2]。
这样，我们可以通过一次遍历，计算出所有楼梯级数的方法数。这种方法的时间复杂度为O(n)，空间复杂度也为O(n)。下面，我们给出了用动态规划法求解这道题的示例代码。
def climb_stairs_dp(n):
if n <= 2:
return n
dp = [0] * (n + 1)
dp[1] = 1
dp[2] = 2
for i in range(3, n + 1):
dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]
return dp[n]
# 输出：5
print(climb_stairs_dp(4))
优化空间的动态规划法
在上面的动态规划法中，我们使用了一个数组来存储中间状态。但实际上，我们只需要保留前两个状态即可计算出下一个状态。因此，可以进一步优化空间复杂度至O(1)，示例代码如下。
def climb_stairs_dp_optimized(n):
if n <= 2:
return n
prev, curr = 1, 2
for _ in range(3, n + 1):
prev, curr = curr, prev + curr
return curr
# 输出：5
print(climb_stairs_dp_optimized(4))
总结
以上三种方法各有优劣：递归法直观但效率低；动态规划法通过迭代避免了递归调用，空间和时间效率更高；优化后的动态规划法则进一步减少了空间占用。在实际应用中，可以根据具体需求选择最适合的解法。
学习了上面的知识后，你真的理解递归算法和动态规划算法了吗？我们为你留了一些课后的拓展作业，快来试一试吧！
1、小悦爬楼梯，一次只能上1级台阶，或者2级台阶，或者3级台阶。楼梯一共有n级台阶，请问总共有多少种方法可以爬上楼？
2、有长宽分别为1 x 1和1 x 2的小格子，现在要用这两种小格子拼接成1 x N的大格子。请编写一个方法来计算一共有多少种拼接方案，N作为方法的唯一参数，返回值为拼接方案数。
