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空间连接
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空间连接（Spatial Join）运算是一类最常用的空间数据分析算子，具有广泛的应用场景。例如统计地铁站周围500米的POI，帮助店主合理选择商铺选址；从同一个数据集中分析空间相邻的同伴关系，辅助警方侦察；查询河流周围的居民区和农田，在汛期排除洪水隐患；查找去过疫区的人群，方便疫情防控等。
下面给出空间连接的定义：给定空间对相集合R和S以及空间谓词θ，计算并输出所有空间对象二元组（r, s），满足r∈R，s∈S，且r和s满足空间谓词θ，形式化定义如下。
空间谓词θ可以分为三类。
1）空间拓扑：如intersects(相交)、contains（包含）等；
2）空间距离：即distance，表示空间对象s与r的空间距离小于等于设定阈值δ，由定义（1）派生出distance连接的定义如下。
另外，空间对象可分为三种类型：点（Point）、线（LineString）、面（Polygon）。点是最简单的空间对象，线和面是复杂空间对象，其空间运算相对耗时。为了简化计算，一般用空间对象的最小边界矩形MBR（Minimum Bounding Rectangle）进行空间运算，得到近似结果，然后对近似结果进一步提纯过滤，得到最终的精确解。
空间连接运算是基于空间索引实现的，空间索引能够通过快速过滤来提高查询效率，基于空间索引的空间连接的运算过程如下：
1）构建空间索引。对集合S中所有空间对象s，利用s.mbr构建空间索引I。
2）循环查询。对集合R中的每个空间对象r， 用r查询索引I中与其满足空间谓词θ的所有空间对象s，并将二元组（r, s）加入结果集。
空间索引不止一种，选取合理的空间索引对提高空间连接运算的性能至关重要。为了验证空间索引对空间连接运算性能的影响，本文首先在第2节中介绍几种最常用的空间索引。然后在第3节进行实验对比，分别以空间索引、空间对象类型、空间连接谓词为变量，分析影响空间连接运算性能的因素。
空间索引
空间索引一般是基于数据结构中的树来实现的。在索引树上，一个节点对应一个矩形的空间范围，父节点的空间范围包含所有子节点的空间范围。空间对象依据其MBR，存储在树的对应节点上。在查询时，首先依据查询对象的MBR遍历树上与该MBR相交的所有节点，并收集节点上存储的空间对象作为一个候选结果集，最后再根据空间谓词θ做进一步过滤，保留满足空间谓词的候选对象，组成最终的结果集。下面分别介绍三种最常用的空间索引：Quadtree索引、KDtree索引和Rtree索引，且设定用数据集S构建索引，然后用数据集R中的空间对象r查询空间索引。
Quadtree索引
Quadtree[1]索引是一棵四叉树，支持所有空间对象类型。Quadtree将集合S的全局空间范围G递归地划分成4子空间，直到子空间内的空间对象数量小于等于设定的阈值α，并对四个子空间分别编号0、1、2、3，如图1（a）所示（α = 1）。然后用四叉树结构组织所有子空间，如图1（b）所示，树的根节点对应空间范围G，一个节点对应一个子空间。对数据集S中的空间对象s，将其存储在包含s.mbr的最小子空间对应的节点中，当s是空间点时，s与s.mbr空间上等价，所有空间点均存储在叶子节点中，如图1所示。
图1 Quadtree索引
在查询时，使用r.mbr近似表示空间对象r，查找Quadtree中与r.mbr相交的节点，然后判断节点中的所有空间对象s是否与r存在空间相交关系。图1中，红色的矩形表示r.mbr，该矩形在Quadtree上遍历的节点标记为红色，然后找到叶子节点233上与其相交的一个空间点s，最后再判断r和s的相交关系。通过空间索引，可以快速过滤掉与查询框r.mbr不相交的节点，加快遍历查询效率。
KDtree索引
KDtree索引是一棵二叉树，仅支持空间点对象。在构建索引时，首先使用集合S中第一个空间点s1的构建根节点root，根节点包含空间点s1和标签odd，odd是个布尔值，true表示该节点用s1.x进行空间划分，false表示用s1.y，KDtree中父节点和子节点的odd相反，即交替地使用x和y值进行空间划分。对于后续的空间点si（i>1），以root节点为当前节点，递归地执行以下步骤：
1）判断当前节点是否为叶子节点，若是执行步骤2），若不是执行步骤3）；
2）设当前节点中存储的空间点是s，odd = true时根据s.x的值将当前节点对应的空间范围一分为二生成两个子节点，反之根据s.y的值进行划分。然后根据si.x（或si.y）与s.x（或s.y）的大小关系，将si保存到对应子节点上，子节点的odd值与当前节点相反；
3）利用步骤2）中描述的判断方法，得到子节点，并将其设为当前节点，然后执行步骤1）。
图2 KDtree索引
在构建好的KDtree索引中，每个空间点对应一个节点（叶子或非叶子节点），如图2所示。
查询时，用r.mbr遍历树上所有与之相交的节点，然后摘取节点上的空间点s并判断r与s是否空间相交。在图2中，红色矩形表示r.mbr，它在KDtree上遍历的节点用红色标记。
2.3 Rtree索引
Rtree索引是一棵多叉树空间聚类，对集合S中的所有空间对象聚类，生成n个聚类，然后自底向上递归地对n份聚类进一步执行聚类，直到n = 1。Rtree中一个节点对应一个聚类，与Quadtree和KDtree不同的是，Rtree同一级别的节点之前可以存在重叠，这保证了一个空间对象仅属于一个Rtree的叶子节点，即Rtree中所有空间对象之存储在叶子节点中，如图3所示。
图3 Rtree索引
下面介绍一种JTS[5](Java Topology Suite)实现的一种Rtree索引——STRtree[4]。该索引的构建步骤如下：
- 初始化集合C = {c1,c2,c3,..,cn}, ci是仅包含一个空间对象si的空间聚类，ci.mbr = si.mbr，n是集合S中的空间对象数量。
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STRtree有一个阈值m，表示一个非叶子节点所包含的最大子节点数量。γ = ⌈n/m⌉ 表示集合C需要被划分成γ个聚类。如果γ = 1，说明n ≤ m，则将集合C聚类成一个根节点Root，ci是Root的子节点，构建索引完成。如果γ > 1，则执行步骤3）。
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ε = ⌈sqrt(γ)⌉表示每个聚类在x和y方向上划分的份数。对集合C按照ci.mbr.minx在x方向递增排序，然后将其在x方向上平均地划分为ε份聚类，然后对每份结果在y方向上按照ci.mbr.miny排序并平均地划分成ε份聚类，两次划分生成大于等于γ份的聚类 ，γ ≤ k < n，集合C中的聚类是集合C’中聚类的子节点。用C’替换C，然后执行步骤2）。
在查询时，同样用r.mbr遍历STRtree中与之相交的节点，并收集叶子节点上存储的所有空间对象s，然后判断r和s是否空间相交。遍历过程如图3中红色节点所示。
