多变量线性回归的求解方法多变量线性回归是一种统计方法，用于预测因变量与多个自变量之间关系。目标是找到一组参数使得模型

多变量线性回归是一种统计方法，用于预测因变量 $y$ 与多个自变量 $x_1, x_2, \ldots, x_k$ 之间关系。目标是找到一组参数 $w_1, w_2, \ldots, w_k$ 和 $b$ ，使得模型 $z = x_1 w_1 + x_2 w_2 + \cdots + x_k w_k + b$ 能够最好地拟合数据。例如，在房价预测中，影响因素可能包括居住面积、地理位置、朝向、学区房、周边设施、建筑年份等。

在建立多元线性回归模型时，为了确保模型具有良好的解释能力和预测效果，自变量的选择应遵循以下准则：

自变量必须对因变量有显著影响，并呈现紧密的线性相关性；
自变量与因变量之间的相关性应为真实的，而非形式上的；
自变量之间应具有适度的互斥性，其相关性不应超过自变量与因变量之间的相关性；
自变量应具备完整的统计数据，以便预测值容易确定；

接下来，将讨论两种求解多变量线性回归参数的方法：正规方程解法和梯度下降解法。

正规方程解法

正规方程解法通过解线性方程组来精确找到参数，基于最小二乘法，旨在最小化预测值与实际值之间的平方误差之和。

给定数据集 $x_1, x_2, \ldots, x_k, y$ ，假设我们有 $n$ 个样本，可以将数据表示为矩阵形式：

$X = \begin{bmatrix} x_{11} & x_{12} & \cdots & x_{1k} \\ x_{21} & x_{22} & \cdots & x_{2k} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_{n1} & x_{n2} & \cdots & x_{nk} \end{bmatrix}, \quad \mathbf{y} = \begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \end{bmatrix}$

其中 $X$ 是设计矩阵， $\mathbf{y}$ 是目标向量。

正规方程为：

$(X^T X) \mathbf{w} = X^T \mathbf{y}$

其中 $\mathbf{w}$ 是参数向量 $[w_1, w_2, \ldots, w_k]^T$ ， $b$ 通常通过在模型中添加截距项来处理。

解正规方程得到：

$\mathbf{w} = (X^T X)^{-1} X^T \mathbf{y}$

Python代码实现：

import numpy as np

class LinearRegression:
    def __init__(self):
        self.w = None
        self.b = None

    def fit(self, X, y):
        X = np.concatenate([np.ones((X.shape[0], 1)), X], axis=1)  # 添加截距项
        self.w = np.linalg.inv(X.T.dot(X)).dot(X.T).dot(y)  # 计算参数
        self.b = self.w[0]  # 偏置项

    def predict(self, X):
        X = np.concatenate([np.ones((X.shape[0], 1)), X], axis=1)  # 添加截距项
        return X.dot(self.w)  # 返回预测值

# 示例数据
X = np.array([[1, 2], [2, 3], [3, 4], [4, 5]])
y = np.array([1, 2.5, 3.5, 5])
model = LinearRegression()
model.fit(X, y)
print("Weights:", model.w)
print("Bias:", model.b)

梯度下降解法

梯度下降解法是一种迭代优化算法，旨在找到使成本函数最小化的参数。在多变量线性回归中，成本函数通常为平方误差之和：

$J(\mathbf{w}, b) = \frac{1}{2n} \sum_{i=1}^n (y_i - (x_{i1} w_1 + x_{i2} w_2 + \cdots + x_{ik} w_k + b))^2$

梯度下降通过迭代更新参数来最小化成本函数：

$\mathbf{w} := \mathbf{w} - \alpha \frac{\partial J}{\partial \mathbf{w}}, \quad b := b - \alpha \frac{\partial J}{\partial b}$

其中 $\alpha$ 是学习率， $\frac{\partial J}{\partial \mathbf{w}}$ 和 $\frac{\partial J}{\partial b}$ 分别是成本函数相对于 $\mathbf{w}$ 和 $b$ 的偏导数。

Python代码实现：

class LinearRegressionSGD:
    def __init__(self, learning_rate=0.01, max_iter=1000):
        self.learning_rate = learning_rate
        self.max_iter = max_iter
        self.w = None
        self.b = None

    def fit(self, X, y):
        X = np.concatenate([np.ones((X.shape[0], 1)), X], axis=1)  # 添加截距项
        self.w = np.zeros(X.shape[1])  # 初始化参数
        
        for iteration in range(self.max_iter):
            gradients = 2 / X.shape[0] * X.T.dot(X.dot(self.w) - y)  # 计算梯度
            self.w -= self.learning_rate * gradients  # 更新参数
            if iteration % 100 == 0:
                loss = np.mean((y - X.dot(self.w)) ** 2)  # 计算损失
                print(f"Iteration {iteration}, Loss: {loss}")

    def predict(self, X):
        X = np.concatenate([np.ones((X.shape[0], 1)), X], axis=1)  # 添加截距项
        return X.dot(self.w)  # 返回预测值

# 示例数据
X = np.array([[1, 2], [2, 3], [3, 4], [4, 5]])
y = np.array([1, 2.5, 3.5, 5])
model = LinearRegressionSGD(learning_rate=0.01, max_iter=1000)
model.fit(X, y)
print("Weights:", model.w)
print("Bias:", model.w[0])

总结

正规方程解法：提供精确解，计算复杂度为 $O(k^3)$ ，适用于较小的数据集。
梯度下降解法：迭代方法，适合处理更大数据集，但需选择合适的学习率和迭代次数。

在实际应用中，选择哪种方法取决于数据集的大小、特征的数量以及计算资源。对于大规模数据集，通常更倾向于使用梯度下降或其变体（如随机梯度下降）。

方法	正规方程	梯度下降
原理	几次矩阵运算	多次迭代
特殊要求	$X^⊤X$ 的逆矩阵存在	需要确定学习率
复杂度	$O(n^3)$	$O(n^2)$
适用样本数	$m<10000$	$m≥10000$