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原来真正的 VAE 长这样！好了，我们基本搞清楚了，VAE 通过神经网络将原始数据进行均值和方差的潜在空间表征，然后将其描述为正态分布，再根据正态分布进行采样。下面我们把目光聚焦到正态分布和采样上来。
先来看正态分布。首先，我们希望重构 X，也就是最小化原始分布和目标分布之间的误差，但是这个重构过程受到噪声的影响，因为 Zk 是通过重新采样过的，不是直接由 encoder 算出来的。噪声的存在会增加数据重构的难度，但是我们知道均值和方差都在编码过程中由神经网络计算得到的，所以模型为了重构的更好，在这个过程中肯定会尽量让方差为向 0 靠近，但不能等于 0，等于 0 的话就失去了随机性，这样跟普通的自编码器就没什么区别了。
VAE 给出的一个办法在于让所有的专属正态分布都向 p(Z|Xk) 都向标准正态分布 N(0,1) 看齐，于是有下式：
这样我们就能达到我们的先验假设：p(Z) 是标准正态分布。然后我们就可以放心地从 N(0,I) 中采样来生成图像了。所以说，VAE 为了使模型具有生成能力，模型要求每个 p(Z|Xk) 都努力向标准正态分布看齐。如下图所示：
再来看采样。潜在空间表示为正态分布之后就是采样过程了。这里，VAE 的原始论文中提出一种参数复现(Reparameterization)的采样技巧。假设我们要从 p(Z|Xk) 中采样一个 Zk 出来，尽管我们知道了 p(Z|Xk) 是正态分布，但是均值方差都是靠模型算出来的，我们要靠这个过程反过来优化均值方差的模型，但是“采样”这个操作是不可导的，而采样的结果是可导的，于是我们利用了一个事实：从N(μ,σ^2) 中采样一个 Z，就相当于从 N(0,1) 中采样了一个 ε ，然后做一个 Z = μ+ ε*σ 的变换即可。如下图所示：
采样完了之后我们就可以用一个解码网络(生成器)来对采样结果进行解码重构了。
最后一个细节就是 VAE 训练的损失函数。VAE的参数训练由两个损失函数来训练，一个是重构损失函数，该函数要求解码出来的样本与输入的样本相似（与之前的自编码器相同），第二项损失函数是学习到的隐分布与先验分布的KL距离，可以作为一个正则化损失。具体损失函数公式这里不展开细说。
以上就是变分自编码器的基本和细节，当然还有很多内容笔者每有展开细谈，感兴趣的朋友可以找来 VAE 的原始论文进行研读。
变分的含义与VAE的本质
虽然已基本搞清楚了变分自编码器的基本细节和原理，但还有一些问题指值得我们继续探讨。大家注意到我们这个模型的名字叫做变分自编码器，但是我们讲到现在，好像也没有碰到变分的概念。所以，这里我们得捋一捋变分的含义。
什么是变分？应该学过泛函分析的朋友们都知道。所以，我们从泛函开始说起。大家都知道函数的概念在于变量之间的映射，输入一个数值返回的也是一个数值。而泛函则是函数的函数，所谓函数的函数，就是输入函数，返回的是数值，我们一般用积分的形式来表示泛函。这是函数与泛函的对比。
另外我们都知道函数有微分这一概念。函数的微分就是关于自变量 x 发生变化时对应函数值的变化量。将微分的概念推广到泛函就是变分的含义。所谓变分，就是自变量函数 x(t) 发生变化时，对应泛函值的变化量。所以，简单而言，变分就是泛函的微分。我们都知道微分可以用来求函数的极值，那么相应的变分就可以用来求泛函的极值，研究泛函机制的方法就是所谓的变分法(Variational Method)。
泛函和变分解释清楚了，那么 VAE 中好像确实没有用到变分啊？实际上，VAE 中的变分，在于损失函数推导过程利用了 KL 散度及其性质，而 KL 散度本身则是一个泛函：
也许这就是变分自编码器中变分的含义。
作为自编码器的一种，VAE 有着自己的特殊性，但是其本质并不复杂。正如我们在文章开头所说的一样，VAE 的思想和框架其实很简单。VAE本质上就是在我们常规的自编码器的基础上，对 encoder 的结果（在VAE中对应着计算均值的网络）加上了“高斯噪声”，使得结果 decoder 能够对噪声有鲁棒性；而那个额外的 KL loss（目的是让均值为 0，方差为 1），事实上就是相当于对 encoder 的一个正则项，希望 encoder 出来的东西均有零均值。 而编码计算方差的网络的作用在于动态调节噪声的强度。到这里，变分自编码器的基本原理基本上就讲完了。最后一点内容，我们来看一下 keras 给出的 VAE 实现。
VAE 的 keras 实现
导入相关模块：
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import norm
from keras.layers import Input, Dense, Lambda
from keras.models import Model
from keras import backend as K
from keras import metrics
from keras.datasets import mnist
from keras.utils import to_categorical
设置模型相关参数：
batch_size = 100
original_dim = 784
latent_dim = 2
intermediate_dim = 256
epochs = 50
epsilon_std = 1.0
num_classes = 10
加载mnist数据集：
(x_train, y_train_), (x_test, y_test_) = mnist.load_data()
x_train = x_train.astype('float32') / 255.
x_test = x_test.astype('float32') / 255.
x_train = x_train.reshape((len(x_train), np.prod(x_train.shape[1:])))
x_test = x_test.reshape((len(x_test), np.prod(x_test.shape[1:])))
y_train = to_categorical(y_train_, num_classes)
y_test = to_categorical(y_test_, num_classes)
建立计算均值和方差的编码网络：
x = Input(shape=(original_dim,))
h = Dense(intermediate_dim, activation='relu')(x)
# 算p(Z|X)的均值和方差
z_mean = Dense(latent_dim)(h)
z_log_var = Dense(latent_dim)(h)
编码示意图：
定义参数复现技巧函数和抽样层：
# 参数复现技巧
def sampling(args):
z_mean, z_log_var = args
epsilon = K.random_normal(shape=(K.shape(z_mean)[0], latent_dim), mean=0.,
stddev=epsilon_std)
return z_mean + K.exp(z_log_var / 2) * epsilon
# 重参数层，相当于给输入加入噪声
z = Lambda(sampling, output_shape=(latent_dim,))([z_mean, z_log_var])
定义模型解码部分，即生成器：
# 解码层，也就是生成器部分
decoder_h = Dense(intermediate_dim, activation='relu')
decoder_mean = Dense(original_dim, activation='sigmoid')
h_decoded = decoder_h(z)
x_decoded_mean = decoder_mean(h_decoded)
解码示意图：
接下来实例化三个模型：
- 一个端到端的自动编码器，用于完成输入信号的重构
- 一个用于将输入空间映射为隐空间的编码器
- 一个利用隐空间的分布产生的样本点生成对应的重构样本的生成器
# 端到端的vae模型
vae = Model(x, x_decoded_mean)
# 构建encoder，然后观察各个数字在隐空间的分布
encoder = Model(x, z_mean)
# 构建生成器
decoder_input = Input(shape=(latent_dim,))
_h_decoded = decoder_h(decoder_input)
_x_decoded_mean = decoder_mean(_h_decoded)
generator = Model(decoder_input, _x_decoded_mean)
定义 VAE 损失函数并进行训练：
# xent_loss是重构loss，kl_loss是KL loss
xent_loss = original_dim * metrics.binary_crossentropy(x, x_decoded_mean)
kl_loss = - 0.5 * K.sum(1 + z_log_var - K.square(z_mean) - K.exp(z_log_var), axis=-1)
vae_loss = K.mean(xent_loss + kl_loss)
# add_loss是新增的方法，用于更灵活地添加各种lossvae.add_loss(vae_loss)
vae.compile(optimizer='rmsprop', loss=None)
vae.summary()
vae.fit(x_train,
shuffle=True,
epochs=epochs,
batch_size=batch_size,
validation_data=(x_test, None))
模型概要：
模型训练过程：
因为变分编码器是一个生成模型，我们可以用它来生成新数字。我们可以从隐平面上采样一些点，然后生成对应的显变量，即MNIST的数字：
# 观察隐变量的两个维度变化是如何影响输出结果的
n = 15
# figure with 15x15 digits
digit_size = 28
figure = np.zeros((digit_size * n, digit_size * n))
#用正态分布的分位数来构建隐变量对
grid_x = norm.ppf(np.linspace(0.05, 0.95, n))
grid_y = norm.ppf(np.linspace(0.05, 0.95, n))
for i, yi in enumerate(grid_x):
for j, xi in enumerate(grid_y):
z_sample = np.array([[xi, yi]])
x_decoded = generator.predict(z_sample)
digit = x_decoded[0].reshape(digit_size, digit_size)
figure[i * digit_size: (i + 1) * digit_size,
j * digit_size: (j + 1) * digit_size] = digit
plt.figure(figsize=(10, 10))
plt.imshow(figure, cmap='Greys_r')
plt.show()
生成手写数字图片如下：
参考资料：
Auto-Encoding Variational Bayes
paperweekly 苏剑林 变分自编码器VAE：原来是这么一回事
Tutorial on Variational Autoencoders
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