# 第六章 微分方程

§1§ 基础定义

1. 什么是微分方程？
2. 什么是微分方程的阶？
3. 什么是微分方程的特解和通解？

1.1 概念

思考:

当函数$y(x)$满足什么条件时,$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=y$.

1.2 阶

【例 6.1 改】

1. $y^2+xy=x$是$\underline{\qquad}$方程.

2. $y^2+xy'=x$是$\underline{\qquad}$阶微分方程.

3. $y'^2+xy=e^x$是$\underline{\qquad}$阶微分方程.

4. $y^{2}+xy''=x$是$\underline{\qquad}$阶微分方程.

5. $y'''y''y'=xy$是$\underline{\qquad}$阶微分方程.

1.3 特解、通解

【例 6.2】
下列选项中$\underline{\qquad}$是微分方程$y''=6x+2$的特解,$\underline{\qquad}$是该方程的通解.

A. $y=x^{3}+x^{2}+x+C$.

B. $y=x^{3}+x^{2}+x+1$.

C. $y=x^3+x^2+C_1x+C_2$.

D. $y=x^3+C_1x^2+x+C_2$.

1.4 线性微分方程

$\Box y^{(n)}+\Box y^{(n-1)}+\cdots+\Box y'+\Box y=\Box$

§2§ 一阶方程求解方法

1. 分离变量法
2. 换元法
3. 一阶线性方程公式法

2.1 分离变量

【例 6.4 】【$1+y^2=C(x^2-1)$】

求微分方程 $(xy^2+x)\mathrm{d}x+(y-x^2y)\mathrm{d}y=0$ 的通解.

【例 6.5】【$y=xe^x$】

求微分方程 $y'=\frac{1+x}xy$ 满足 $y(1)=e$ 的特解.

2.2 换元

设 $\frac{y}{x}=u(x)$ ,则 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=u+x\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}$ .

注：$y=ux$,则$y'=u+xu'$

【例 6.6】【答案：$-e^{-\frac{y}{x}}=\ln x+C$】

解方程$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=e^{\frac yx}+\frac yx$.

【例 6.7】【答案：$y=\frac{2x}{1+x^2}$】

求$x^2y'+xy=y^2$,$y(1)=1$的特解.

【补充】【答案：$\arctan\frac{y}{x}-\frac{1}{2}\ln(1+\frac{y^2}{x^2})=\ln x+C$】

求$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{x+y}{x-y}$的通解.

2.3 其它换元

【补充】【答案：$y-\arctan(x+y)=-\frac{\pi}{4}$】

求$y'=\frac{1}{(x+y)^2}$满足$y(1)=0$的解.

2.4 线性方程

1. 一阶线性微分方程：
   $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+P(x)y=Q(x)$

2. 通解公式：
   $y=e^{-\int P(x)\mathrm{d}x}\left(\int Q(x)e^{\int P(x)\mathrm{d}x}\mathrm{d}x+C\right)$

【例6.8】【答案：$y=(1+x)^2\left[\frac23(1+x)^{\frac32}+C\right]$】

求方程$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}-\frac{2y}{x+1}=(x+1)^{\frac52}$的通解.

【例 6.9】【答案：$y=\frac13x\ln x-\frac19x$】

求微分方程的特解$xy'+2y=x\ln x$,其中$y(1)=-\frac19$.

3. $y$和$x$可以互换

【补充】【答案：$2x=y^2$】

求方程$(y^2-6x)y'+2y=0$的特解,其中$y(2)=2$.

【补充】【答案：$xy^2=\ln y+C$】

求方程$y^3\mathrm{d}x+(2xy^2-1)\mathrm{d}y=0$的通解.

2.5 伯努利方程-伯努利换元『数一』

一阶线性微分方程：
$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+P(x)y=Q(x)y^n,(n\ne 0,1)$

【补充】下列微分方程中属于伯努利方程的是
A. $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}-3xy=e^{-2x}$.

B. $y'+\frac{3y}{x}=y\sin x$.

C. $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}-y\cos x=y^4(\sin x+2\cos x)$.

D. $2x\mathrm{d}y-\left[y-xy\left(1+\sin x\right)\right]\mathrm{d}x=0$.

【补充】【答案：$z=y^{-2}$,$z=x-1+Ce^{-2x}$,$xy^2-y^2+Cy^2e^{-2x}=1$】
$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}-y=\frac12\left(1-2x\right)y^3$.

【补充】【答案：$z=y^{-4}$,$z=-\frac{3}{2}x+\frac{3}{16}+Ce^{-8x}$,$-\frac{3}{2}xy^4+\frac{3}{16}y^4+Cy^4e^{-8x}=1$】
$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}-2y=3xy^5$.

§3§ 可降解的二阶方程『仅数一、数二』

3.1 二阶少$y$型:

设$y'=p(x)$,则$y''=p'$,$y'=p$.

【例 6.11】【答案：$y=x^3+3x+1$】

求微分方程$(1+x^{2})y''=2xy'$满足初始条件$y|_{x=0}=1,y'|_{x=0}=3$的特解.

【补充】【答案：$y=\sqrt{1+2x}-1$】

求微分方程$y''+y'^3=0$满足$y(0)=0$,$y'(0)=1$的特解.

3.2 二阶少$x$型:

设$y'=p(y)$,则$y''=pp'$,$y'=p$.

注：$y''=\frac{\mathrm{d}y'}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y}\cdot\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=p'y'=p'p$

【例 6.12】【答案：$y=C_2e^{C_1x}$】

求微分方程$yy''-y'^2=0$的通解.

【补充】【答案：$y=\tan x$】

求微分方程$y''=2yy'$满足$y(0)=0$,$y'(0)=1$的特解.

【补充：此题可以用两种方法】【答案：$y=-\ln(\cos (x+C))+C$】

求微分方程$y''=1+y'^2$的通解.

3.3 降维之后是一阶方程

【补充：仅数一、二】【答案：$y=\frac{1}{3} x^3+C_1x^2+C_2$】

求微分方程$xy''-y'=x^2$的通解.

【补充：仅数一、二】【答案：$y=C_1e^x-\frac{1}{2}x^2-x+C_2$】

求微分方程$y''=y'+x$的通解.

3.4 可降阶的高维方程

【例 6.10】【答案：$y=\frac{1}{8}e^{2x}+\sin x+C_1x^2+C_2x+C_3$】

求微分方程$y'''=e^{2x}-\cos x$的通解.

§4§ 线性方程基础知识

1. 什么是线性组合?
2. 什么是常系数线性组合?
3. 什么是线性相关、线性无关?
4. 什么是线性微分方程?
5. 齐次和非齐次是什么意思?

4.1 线性组合

『$\Box f_1+\Box f_2+\cdots+\Box f_n$』被称为『$f_1$,$f_2$,$\cdots$,$f_n$』的线性组合,『$\Box$,$\Box$,$\cdots$,$\Box$』被称为组合系数.若『$\Box$,$\Box$,$\cdots$,$\Box$』均为常数,则被称为常系数线性组合.

例如：
1.『$xy'''+e^xy''+2y-(\sin x)y+\ln x$』是『 $y'''$ , $y''$ , $y'$ , $y$ , $1$ 』的非常系数线性组合,组合系数为『 $x$ , $e^x$ , $2$ , $-\sin x$ , $\ln x$ 』.

2.『$y'''-2y''+3y+4y-1$』是『 $y'''$ , $y''$ , $y'$ , $y$ , $1$ 』的常系数线性组合,组合系数为『 $1$ , $-2$ , $3$ , $4$ , $-1$ 』.

3.『$4e^x+3e^{2x}+2e^{3x}+e^{4x}$』是『 $e^{x}$ , $e^{2x}$ , $e^{3x}$ , $e^{4x}$ 』的常系数线性组合,组合系数为『 $1$ , $2$ , $3$ , $4$ 』.

4.2 线性无关、线性相关

若『$f_1$,$f_2$,$\cdots$,$f_n$』中任何一个函数都不能表示为其它函数的常系数线性组合，则称『$f_1$,$f_2$,$\cdots$,$f_n$』线性无关，否则称线性相关.

例如：

1. 『 $\sin x$ , $e^x$ , $\ln x$ , $x^2$ 』线性无关.
2. 『 $1$ , $x$ , $x^2$ , $(x+1)^2$ 』线性相关.

4.3 线性微分方程

	齐次	非齐次
一阶	$\Box y'+\Box y=0$	$\Box y'+\Box y=\Box$
二阶	$\Box y''+\Box y'+\Box y=0$	$\Box y''+\Box y'+\Box y=\Box$
$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$
n阶	$\Box y^{(n)}+\Box y^{(n-1)}+\cdots+\Box y=0$	$\Box y^{(n)}+\Box y^{(n-1)}+\cdots+\Box y=\Box$

请判断下列方程的类型：

1. $y'+xy=0$
2. $(\sin x)y'-(\cos x) y=0$
3. $y'=y$
4. $x^2y''+xy'+y=0$
5. $y''+(\sin x)y'-(\cos x)y=0$
6. $y''=xy$
7. $y'''=y''-xy$
8. $y'+xy=x$
9. $(\sin x)y'-(\cos x) y=\tan x$
10. $y'=y-x$
11. $x^2y''+xy'+y=2x$
12. $y''+(\sin x)y'-(\cos x)y=1$
13. $y''=y+e^x$
14. $y'''+y''+y'+y=\sin x$
15. $yy''=y'$

【例6.3】下列选项中$\underline{\qquad}$是线性微分方程.
A. $y^2+xy=x$
B. $y+x(y')^3=x$
C. $y'+xy=e^{x}$
D. $y^{2}+xy''=x$

4.4 解的结构

	齐次	非齐次
一阶	$y=Cy(x)$	$y=Cy(x)+y^*$
二阶	$y=C_1y_1(x)+C_2y_2(x)$	$y=C_1y_1(x)+C_2y_2(x)+y^*$
三阶	$y=C_1y_1(x)+C_2y_2(x)+C_3y_3(x)$	$y=C_1y_1(x)+C_2y_2(x)+C_3y_3(x)+y^*$
$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$
n阶	$y=C_1y_1(x)+C_2y_2(x)+\cdots+C_ny_n(x)$	$y=C_1y_1(x)+C_2y_2(x)+\cdots+C_ny_n(x)+y^*$

通解

1. $\text{齐通}=C_1\cdot\text{齐特}+C_2\cdot\text{齐特}+C_3\cdot\text{齐特}+\cdots$.

2. $\text{非齐通}=\text{齐通}+\text{非齐特}=C_1\cdot\text{齐特}+C_2\cdot\text{齐特}+C_3\cdot\text{齐特}+\cdots+\text{非齐特}$.

这两个公式里的这些齐特必须线性无关.

齐特

1. $k\text{齐特}=\text{齐特}$.

2. $\text{齐特}\pm\text{齐特}=\text{齐特}$.

3. $k_1\cdot\text{齐特}+k_2\cdot\text{齐特}+k_2\cdot\text{齐特}+\cdots=\text{齐特}$.

齐特的线性组合仍然是齐特.

非齐特

1. $\text{齐特}+\text{非齐特}=\text{非齐特}$.

2. $\text{非齐特}-\text{非齐特}=\text{齐特}$.

3. $k\cdot\text{非齐特}\ne\text{非齐特},\text{除非}k=1$.

特定系数组合

1. 若

则

2. 若

则

非齐通的进阶表达

$\qquad$若$n$阶线性方程能找到$n+1$个线性无关的非齐特,则非齐通可以表达为

其中

$\qquad$但注意,并不是所有的

都是非齐通.它必须要满足

且这$n-1$个非奇特都线性无关.

例题

【例 6.13】
设非齐次线性微分方程$y'+P(x)y=Q(x)$有两个不同的解$y_1(x)$与$y_2(x)$,$C$ 为任意常数,则该方程的通解是$\underline{\qquad}$.

A. $C[ y_{1}(x)-y_{2}(x)]$

B. $y_{1}(x)+C[ y_{1}(x)-y_{2}(x)]$

C. $C[ y_{1}(x)+y_{2}(x)]$

D. $y_{1}(x)+C[ y_{1}(x)+y_{2}(x)]$

【例 6.14】【答案：$y=C_1+C_2x+C_3x^2$】
已知$y_1=1,y_2=x,y_3=x^2$是某二阶非齐次线性微分方程的三个解,则该方程的通解为$\underline{\qquad\qquad}$.

【补充】 设$y_1$,$y_2$为一阶非齐次线性微分方程$y^{\prime}+P(x)y=Q(x)$的两个特解,若有常数$\lambda$,$\mu$,使$\lambda y_1+\mu y_2$为该方程的解,$\lambda y_1-\mu y_2$为对应的齐次方程的解,则$\underline{\qquad}$.
A. $\lambda=\frac{1}{2}$,$\mu=\frac{1}{2}$.
B. $\lambda=-\frac{1}{2}$,$\mu=-\frac{1}{2}$.
C. $\lambda=\frac{2}{3}$,$\mu=\frac{1}{3}$.
D. $\lambda=\frac{2}{3}$,$\mu=\frac{2}{3}$.

【补充】 设$y_1(x)$,$y_2(x)$,$y_3(x)$是非齐次微分方程$y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)$的三个线性无关的解,则该方程的通解为$\underline{\qquad}$.
A. $C_1y_1(x)+C_2y_2(x)+y_3(x)$.
B. $C_1y_1(x)+(1-2C_1)y_2(x)+C_1y_3(x)$.
C. $(C_1-C_2)y_1(x)+C_2y_2(x)+y_3(x)$.
D. $C_1y_1(x)+C_2y_2(x)+C_3y_3(x)(C_1+C_2+C_3=1)$.

§5§ 线性方程的计算

5.1 常系数齐次

实根、无重复

若：$r_1=0$,$r_2=1$,
则：$y=C_1e^{0\cdot x}+C_2e^{1\cdot x}$

若：$r_1=-1$,$r_2=1$,$r_3=0$
则：$y=C_1e^{-1\cdot x}+C_2e^{1\cdot x}+C_3e^{0\cdot x}$

若：$r_1=1$,$r_2=2$,$r_3=3$,$r_4=4$
则：$y=C_1e^{1\cdot x}+C_2e^{2\cdot x}+C_3e^{3\cdot x}+C_4e^{4\cdot x}$

实根、有重复

若：$r_{1,2}=1$,
则：$y=(C_1+C_2x)e^{1\cdot x}$

若：$r_{1,2,3}=0,r_{4,5}=1,r_6=-1$
则：$y=(C_1+C_2x+C_3x^2)e^{0\cdot x}+(C_4+C_5x)e^{1\cdot x}+C_6e^{-1\cdot x}$

复根、无重复

若：$r_{1,2}=3\pm2i$
则：$y=(C_1\cos 2x+C_2\sin 2x)e^{3\cdot x}$

若：$r_{1,2}=-2\pm 4i,r_{3,4}=i$
则：$y=(C_1\cos 4x+C_2\sin 4x)e^{-2\cdot x}+(C_3\cos (1\cdot x)+C_4\sin (1\cdot x))e^{0\cdot x}$

复数、有重复(了解)

若：$r_{1,2;3,4}=2\pm 3i$,
则：$y=((C_1+C_2x)\cos 3x+(C_3+C_4x)\sin 3x)e^{2\cdot x}$

若：$r_{1,2;3,4}=2\pm 3i,r_{5,6;7,8;9,10}=-i$,
则：$y=((C_1+C_2x)\cos 3x+(C_3+C_4x)\sin 3x)e^{2\cdot x}+((C_5+C_6x+C_7x^2)\cos (-x)+(C_8+C_9x+C_{10})\sin (-x))e^{0\cdot x}$

综合

若：$r_1=1,r_{2,3,4}=0,r_{5,6}=3i$,
则：$y=C_1e^{1\cdot x}+(C_2+C_3x+C_4x^2)e^{0\cdot x}+(C_5\cos 3x+C_6\sin 3x)e^{0\cdot x}$

【例 6.15】【答案：$y=C_1e^x+C_2e^{6x}$】
求微分方程$y''-7y'+6y=0$的通解.

【例 6.16】【答案：$y=(C_1+C_2x)e^x$】
求微分方程$y''-2y'+y=0$的通解.

【例 6.17】【答案：$(C_1\cos 2x+C_2\sin 2x)e^{3x}$】
求微分方程$y''-6y'+13y=0$的通解.

【例 6.18】【答案：$C_1+C_2x+(C_3\cos 2x+C_4\sin 2x)e^x$】
求方程$y^{(4)}-2y'''+5y''=0$的通解.

5.2 常系数非齐次

多项式$\times$指数

若$\cdots=(x^2+2x+1)e^{2x}$.
则$y^*=(Ax^2+Bx+C)\cdot e^{2x}\cdot x^{\Box}$
其中,$\Box$方框里填$2$作为特征方程根的重数.

若$\cdots=xe^{-x}$.
则$y^*=(Ax+B)\cdot e^{-x}\cdot x^{\Box}$
其中,$\Box$方框里填$-1$作为特征方程根的重数.

若$\cdots=x^2+2x+1$.
则$y^*=(Ax^2+Bx+C)\cdot e^{0\cdot x}\cdot x^{\Box}$
其中,$\Box$方框里填$0$作为特征方程根的重数.

若$\cdots=1$.
则$y^*=A\cdot e^{0\cdot x}\cdot x^{\Box}$
其中,$\Box$方框里填$0$作为特征方程根的重数.

多项式$\times$指数$\times$三角函数

若$\cdots=(x^2+2x+1)e^{-2x}\sin(3x)$.
则$y^*=(Ax^2+Bx+C)\cdot e^{-2 x}\cdot\sin(3x)\cdot x^{\Box}+(\widetilde{A}x^2+\widetilde{B}x+\widetilde{C})\cdot e^{-2 x}\cdot\cos(3x)\cdot x^{\Box}$
其中,$\Box$方框里填$-2\pm3i$作为特征方程根的重数.

若$\cdots=x\cos(x)$.
则$y^*=(Ax+B)\cdot e^{0 x}\cdot\cos(x)\cdot x^{\Box}+(\widetilde{A}x+\widetilde{B})\cdot e^{0 x}\cdot\sin(x)\cdot x^{\Box}$
其中,$\Box$方框里填$0\pm i$作为特征方程根的重数.

多个类型的线性组合

若$\cdots=x^2+e^x+\sin x$.
则$y^*=(Ax^2+Bx+C)\cdot e^{0 x}\cdot x^{\Box}+D\cdot e^x\cdot x^{\Box}+E\cdot e^{0\cdot x}\cdot \sin x\cdot x^{\Box}+F\cdot e^{0\cdot x}\cdot \cos x\cdot x^{\Box}$.
其中,第一个$\Box$方框里填$0$作为特征方程根的重数. 第二个$\Box$方框里填$1$作为特征方程根的重数.第三、四个$\Box$方框里填$0\pm i$作为特征方程根的重数.

若$\cdots=\sin^2 x$.
则$\sin^2 x$看作$\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos 2x$即可.
即$y^*=A\cdot e^{0 x}\cdot x^{\Box}+B\cdot e^{0\cdot x}\cdot \cos 2x\cdot x^{\Box}+C\cdot e^{0\cdot x}\cdot \sin 2x\cdot x^{\Box}$.
其中,第一个$\Box$方框里填$0$作为特征方程根的重数. 第二、三个$\Box$方框里填$0\pm 2i$作为特征方程根的重数.

习题练习

【补充】

1. $y''+2y'+2y=e^{-x}\sin x$的特解形式$y^*=\underline{\hspace{5cm}}$.

2. $y''-6y'+8y=e^x+e^{2x}$的特解形式$y^*=\underline{\hspace{5cm}}$.

3. $y''-4y'+4y=x^2+8e^{2x}$的特解形式$y^*=\underline{\hspace{5cm}}$.

4. $y''+2y'+2y=2e^{-x}\cos^2{\frac{x}{2}}$的特解形式$y^*=\underline{\hspace{5cm}}$.

系数求解

【例题】求$y''+2y'+2y=2e^{-x}\cos^2{\frac{x}{2}}$的通解$y^*=\underline{\hspace{5cm}}$.

• 第一步 求特征方程，并求根
  此方程的特征方程为

解的此方程

• 第二步 写出此方程对应的齐次通解
  此方程的通解形式为

其中,$y^*$为此方程的一个非齐次特解.

• 第三步 根据方程的右端项设$y^*$
  方程的右端项为

则设

其中,第一个$\Box$方框里填$-1$作为特征方程根的重数.由于$-1$不是特征方程的根,即填$0$. 第二、三个$\Box$方框里填$-1\pm i$作为特征方程根的重数.$-1\pm i$是特征方程的一重根,即填$1$.即

• 第四步 将$y^*$带入原方程中求解未知参数

$2y^*=2Ae^{-x}+2Bxe^{-x}\cos x+2Cxe^{-x}\sin x.$

$2(y^*)'=(-2)Ae^{-x}\\ \hspace{1.5cm}+2Be^{-x}\cos x+(-2B)xe^{-x}\cos x+(-2B)xe^{-x}\sin x\\ \hspace{1.5cm}+2Ce^{-x}\sin x+(-2C)xe^{-x}\sin x+2Cxe^{-x}\cos x.$

$(y^*)''=Ae^{-x}\\ \hspace{1.5cm}+(-B)e^{-x}+(-B)e^{-x}\sin x\\ \hspace{1.5cm}+(-B)e^{-x}\cos x+Bxe^{-x}\cos x+Bxe^{-x}\sin x\\ \hspace{1.5cm}+(-B)e^{-x}\sin x+Bxe^{-x}\sin x+(-B)xe^{-x}\cos x\\ \hspace{1.5cm}+(-C)e^{-x}\sin x+Ce^{-x}\cos x\\ \hspace{1.5cm}+(-C)e^{-x}\sin x+Cx^{-x}\sin x+(-C)xe^{-x}\cos x\\ \hspace{1.5cm}+Ce^{-x}\cos x+(-C)xe^{-x}\cos x+(-C)xe^{-x}\sin x.$ 得

$(y^*)''+2(y^*)'+2y^*\\ \hspace{1.5cm}=(A-B)e^{-x}+(B+2C)e^{-x}\cos x+(-2B)\\ \hspace{1.5cm}=e^{-x}+e^{-x}\cos x$

即

则

• 第五步 组合出非齐次通解
  此方程的解为

习题练习

【例 6.19】【答案：$y=C_1e^{-x}+C_2e^{3x}+\frac{1}{3}-x$】
求微分方程$y''-2y'-3y=3x+1$的通解.

【例 6.20】【答案：$y=C_1e^{2x}+C_2e^{3x}-x(\frac{1}{2}x+1)e^{2x}$】
求微分方程$y''-5y'+6y=xe^{2x}$的通解.

【例 6.21】【答案：$y=C_1e^{-2x}+C_2e^x-\frac{3}{10}\cos 2x+\frac{1}{10}\sin 2x$】
求微分方程$y''+y'-2y=2\cos2x$的通解.

【例6.22】微分方程$y''+y=x^2+1+\sin x$的特解形式可设为
A. $y^*=ax^2+bx+c+x(A\sin x+B\cos x)$.
B. $y^*=ax^2+bx+c+A\sin x$.
C. $y^*=x(ax^2+bx+c+A\sin x+B\cos x)$.
D. $y^*=ax^2+bx+c+A\cos x$.

5.3 非常系数一阶

1. 一阶线性微分方程：
   $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+P(x)y=Q(x)$

2. 通解公式：
   $y=e^{-\int P(x)\mathrm{d}x}\left(\int Q(x)e^{\int P(x)\mathrm{d}x}\mathrm{d}x+C\right)$

5.4 非常系数高阶-欧拉方程『仅数一』

【补充】下列微分方程中属于欧拉方程的是
A. $\frac{\mathrm{d}^3y}{\mathrm{d}x^3}-\frac1{x^3}\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}+\frac1{x^2}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=1$.
B. $2y''+y'-\frac{3y}x=\cos x$.
C. $y''+\frac{2y'}x-\frac{3y}{x^2}=5x\sin x$.
D. $x^2y''-4y'+2xy=\ln x-\frac12x$.

【补充】 【$y'''-3y'+2y=0$,$y=(C_1+C_2\ln x)x+C_3x^{-2}$】
$x^3\frac{\mathrm{d}^3y}{\mathrm{d}x^3}+3x^2\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}-2x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+2y=0$.

【补充】 【$y''-2y'+4y=e^t\sin t$,$y=x[C_1\sin(\sqrt{3}\ln x)+C_2\cos(\sqrt{3}\ln x)+\frac{1}{2}x\sin (\ln x)]$】
$y''-\frac{y'}x+\frac{4y}{x^2}=\frac{\sin\left(\ln x\right)}x.$

§6§ 差分方程『仅数三』

【补充】 【答案: $y_t=C\cdot 2^t+t\cdot 2^{t-1}$】
差分方程$y_{t+1}-2y_t=2^t$的通解 $y_t=\underline{\hspace{2cm}}$.

【补充】 【答案: $y_t=C+\frac{1}{2}t(t-1)$】
差分方程$\Delta y_t=t$的通解 $y_t=\underline{\hspace{2cm}}$.

【补充】 【答案: $y_x=C\cdot 2^x-5$】
差分方程$\Delta^2y_x-y_x=5$的通解 $y_x=\underline{\hspace{2cm}}$.

§7§ 微分方程应用

几何应用

【例题】设$y(x)$是区间$(0,\frac32)$内的可导函数,且$y(1)=0$,点$P$是曲线 $L:y=y(x)$上的任意一点,$L$在点$P$处的切线与$y$轴相交于点$(0,Y_p)$,法线与 $x$轴相交于点$(X_p,0)$,若$X_p=Y_p$,求$L$上点的坐标$(x,y)$满足的方程.
【解:】
设$L$在$P(x_0,y_0)$处的切线方程为

所以

对应的法线方程为

所以

因此

由于点$P$的任意性知

即

这是一个齐次方程,可令

最终求得方程的通解为

再由$y(1)=0$得

【补充】【答案：y=Cx^3】

已知$f(x)$可导,且$f^{\prime}(x)>0(x\geqslant0)$,曲线 $y=f(x)$过原点,点$M$为曲线$y=f(x)$上任意一点,过点$M$的切线与$x$轴相交于点$T$,过点$M$做 $MP$垂直于$x$轴于点$P$,且曲线$y=f(x)$与直线$MP$以及$x$轴所围成图形的面积与三角形$MTP$的面积比恒为$3:2$,求曲线满足的方程.