DAY33第九章动态规划part02 今天开始逐渐有 dp的感觉了，前两题不同路径，可以好好研究一下，适合进阶详

第九章动态规划part02

今天开始逐渐有 dp的感觉了，前两题不同路径，可以好好研究一下，适合进阶

详细布置

62.不同路径

本题大家掌握动态规划的方法就可以。数论方法有点非主流，很难想到。

programmercarl.com/0062.%E4%B8…

视频讲解：www.bilibili.com/video/BV1ve…

63. 不同路径 II

programmercarl.com/0063.%E4%B8…

视频讲解：www.bilibili.com/video/BV1Ld…

343. 整数拆分（可跳过）

本题思路并不容易想，一刷建议可以跳过。如果学有余力，可以看视频理解一波。

programmercarl.com/0343.%E6%95…

视频讲解：www.bilibili.com/video/BV1Mg… 你提供的分析步骤很详细，涵盖了如何通过动态规划解决整数拆分问题的每个环节。动规五部曲是分析动态规划问题的经典方式，以下是你的分析摘要：

动规五部曲：

确定 dp 数组含义：
- dp[i] 表示将整数 i 拆分成两个或多个正整数后，这些数乘积的最大值。
递推公式：
- 递推公式的推导基于两种情况：一种是直接拆分为两个数相乘，另一种是将 i-j 再次拆分。递推公式为： [ dp[i] = \max(dp[i], \max((i - j) \times j, dp[i - j] \times j)) ]
- 这公式意味着，dp[i] 是从拆分 i 的所有可能性中找到乘积的最大值。
dp 数组的初始化：
- dp[2] = 1，因为整数 2 只能拆分为 1 和 1，乘积为 1。
- dp[0] 和 dp[1] 没有意义，所以不需要初始化。

遍历顺序：

因为 dp[i] 是依赖于 dp[i-j] 的值，所以需要从小到大遍历 i。即：

for (int i = 3; i <= n; i++) {
    for (int j = 1; j <= i / 2; j++) {
        dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));
    }
}

优化：
- 由于拆分的最优策略总是将 i 尽量拆分为接近相等的数，因此只需枚举到 i / 2，这样可以减少计算量。

具体的代码实现：

以下是完整的动态规划代码实现整数拆分问题：

/**
 * @param {number} n
 * @return {number}
 */
var integerBreak = function(n) {
    if (n === 2) return 1;  // 特殊情况直接返回
    let dp = new Array(n + 1).fill(0);
    dp[2] = 1;

    for (let i = 3; i <= n; i++) {
        for (let j = 1; j <= Math.floor(i / 2); j++) {
            dp[i] = Math.max(dp[i], Math.max((i - j) * j, dp[i - j] * j));
        }
    }

    return dp[n];
};

关键点解释：

递推公式：dp[i] 的值通过两种方式求最大值：
1. j * (i - j)：表示直接拆分为两个数相乘。
2. j * dp[i - j]：表示将 i - j 再次拆分后的最大值。
遍历到 i / 2：因为对称性，遍历到 i / 2 就足够，不需要遍历到 i。

优化的思路：

在考虑拆分的时候，尽量将数字拆分为接近相等的部分，这样可以保证乘积最大，这也是为什么在遍历时只需要考虑到 i / 2。

通过这五步，动态规划的整体解法思路就清晰了，优化后的解法也可以保证高效性。

96. .不同的二叉搜索树（可跳过）

本题思路并不容易想，一刷建议可以跳过。如果学有余力，可以看视频理解一波。

programmercarl.com/0096.%E4%B8…

视频讲解：www.bilibili.com/video/BV1eK…

DAY33

第九章 动态规划part02