输出： 8 解释： 数组 nums 为 [0, 2, 4, 6, 8]，其中 (0 ^ 2 ^ 4 ^ 6 ^ 8) = 8 。 "^" 为按位异或 XOR 运算符。
## 样例 2
输入： n = 4, start = 3 输出： 8 解释： 数组 nums 为 [3, 5, 7, 9]，其中 (3 ^ 5 ^ 7 ^ 9) = 8.
## 样例 3
输入： n = 1, start = 7 输出： 7
## 样例 4
输入： n = 10, start = 5 输出： 2
## 提示
* 1 <= n <= 1000
* 0 <= start <= 1000
* n == nums.length
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## 分析
我们可以直接按照题意，暴力循环，那么时间复杂度就是O(n)，是否有时间复杂度为O(1)的算法呢？
记x为变量，^是异或操作，则异或运算满足以下性质：
1. x ^ x = 0；
2. x ^ 0 = x；
3. x ^ y = y ^ x（交换律）；
4. (x ^ y) ^ z = x ^ (y ^ z)（结合律）；
5. x ^ y ^ y = x（自反性）；
6. 如果x是4的倍数，x ^ (x + 1) ^ (x + 2) ^ (x + 3) = 0；
* 本题要计算的 **结果公式** 为：**start ^ (start + 2) ^ (start + 4) ^ ⋯ ^(start + 2 \* (n − 1))**。
* 如果有一个函数 **sumXor(x)** 可以计算 **0 ^ 1 ^ 2 ^ ⋯ ^ x** 。
* 对于某变量x和n，计算sumXor(s - 1) ^ sumXor(s + n - 1)的结果，根据上面的 **性质1** 可以将 **0 ^ 1 ^ 2 ^ … ^ (s - 1)** 的值抵消为0，就变成 **0 ^ s ^ (s + 1) ^ (s + 2) ^ ⋯ ^ (s + n - 1)** ，根据 **性质2** 可知与0做异或操作还是自己，最后结果就变成 **s ^ (s + 1) ^ (s + 2) ^ ⋯ ^ (s + n - 1)** ，这个结果很接近我们要计算的内容。
* 如果我们令 **s = start / 2** ，把 **结果公式** 转换成 **(s ^ (s + 1) ^ (s + 2) ^ ⋯ ^ (s + n - 1)) \* 2**，这样并不成立，因为在做除以2的操作时，最低位丢失了，但是我们可以单独处理最低位。
* 观察 **结果公式** 可知 **(start + 2)，(start + 4) ，… ，(start + 2 \* (n − 1))** 的奇偶性质相同，而且和start一致，也就是最低位要么都是0，要么都是1，只有基数个1做异或操作时才会是1。也就是只有start是奇数并且n是奇数的时候，最终结果的最低位 **e** 才会是1。
* 这时 **结果公式** 可以转化为： **((sumXor(s - 1) ^ sumXor(s + n - 1)) \* 2) | e** 。
只要我们可以实现函数sumXor(x)，那么题目计算就可以做到O(1)的时间复杂度，根据 **性质6** 和 **性质2** 我们只需要考虑x除以4的余数，也就是最低2位，可以得到如下推导：
x % 4 = 0 的二进制位：**xx…x00**
x % 4 = 1 的二进制位：**xx…x01**
x % 4 = 2 的二进制位：**xx…x10**
x % 4 = 3 的二进制位：**xx…x11**
* x % 4 = 0，sumXor(x) = x；
* x % 4 = 1，sumXor(x) = (x - 1) ^ x，简化可得 sumXor(x) = 1；
* x % 4 = 2，sumXor(x) = (x - 2) ^ (x - 1) ^ x，简化可得 sumXor(x) = x | 1；
* x % 4 = 3，sumXor(x) = 0；
* x % 4 等同于 x & 3 的操作，而且理论上 & 操作要比 % 操作更快；
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## 题解
### java
class Solution { public int xorOperation(int n, int start) { int s = start >> 1, e = n & start & 1; int ret = sumXor(s - 1) ^ sumXor(s + n - 1); return ret << 1 | e; }
public int sumXor(int x) {
switch (x & 3) {
case 0:
return x;
case 1:
return 1;
case 2:
return x | 1;
default:
// x & 3 == 3
return 0;
}
}
}
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### c
int xorOperation(int n, int start) { int s = start >> 1, e = n & start & 1; int ret = sumXor(s - 1) ^ sumXor(s + n - 1); return ret << 1 | e; }
int sumXor(int x) { switch (x & 3) { case 0: return x; case 1: return 1; case 2: return x | 1; default: // x & 3 == 3 return 0; } }
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### c++
class Solution { public: int xorOperation(int n, int start) { int s = start >> 1, e = n & start & 1; int ret = sumXor(s - 1) ^ sumXor(s + n - 1); return ret << 1 | e; }
int sumXor(int x) {
switch (x & 3) {
case 0:
return x;
case 1:
return 1;
case 2:
return x | 1;
default:
// x & 3 == 3
return 0;
}
}
};
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### python
class Solution: def xorOperation(self, n: int, start: int) -> int: def sumXor(x): if x % 4 == 0: return x if x % 4 == 1: return 1 if x % 4 == 2: return x | 1 return 0 s = start >> 1 e = n & start & 1 ans = sumXor(s - 1) ^ sumXor(s + n - 1) return ans << 1 | e
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### go
func xorOperation(n, start int) (ans int) { s, e := start>>1, n&start&1 ret := sumXor(s-1) ^ sumXor(s+n-1) return ret<<1 | e }
func sumXor(x int) int { switch x & 3 { case 0: return x case 1: return 1 case 2: return x | 1 default: return 0 } }
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### rust
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