判断图上两点是否可达是图论中的一个经典问题，可以通过多种算法来解决。常见的方法包括深度优先搜索（DFS）、广度优先搜索（BFS）和最短路径算法（如Dijkstra算法）。下面分别介绍这三种方法及其实现。
1. 深度优先搜索（DFS）
思想：从起点出发，递归地探索所有可能的路径，直到找到终点或所有路径都已探索完毕。
步骤：
- 初始化一个布尔数组
visited，用于记录每个节点是否被访问过。 - 从起点开始进行DFS遍历。
- 如果在遍历过程中到达终点，则说明两点可达。
- 如果遍历结束仍未到达终点，则说明两点不可达。
代码实现（Python）：
def dfs(graph, start, end, visited):
if start == end:
return True
visited[start] = True
for neighbor in graph[start]:
if not visited[neighbor]:
if dfs(graph, neighbor, end, visited):
return True
return False
def is_reachable_dfs(graph, start, end):
visited = [False] * len(graph)
return dfs(graph, start, end, visited)
2. 广度优先搜索（BFS）
思想：从起点出发，逐层扩展，直到找到终点或所有路径都已扩展完毕。
步骤：
- 初始化一个队列
queue，将起点加入队列。 - 初始化一个布尔数组
visited，用于记录每个节点是否被访问过。 - 从队列中取出一个节点，标记为已访问。
- 将该节点的所有未访问邻居加入队列。
- 重复步骤3和4，直到队列为空。
- 如果在遍历过程中到达终点，则说明两点可达。
- 如果遍历结束仍未到达终点，则说明两点不可达。
代码实现（Python）：
from collections import deque
def is_reachable_bfs(graph, start, end):
visited = [False] * len(graph)
queue = deque([start])
visited[start] = True
while queue:
current = queue.popleft()
if current == end:
return True
for neighbor in graph[current]:
if not visited[neighbor]:
visited[neighbor] = True
queue.append(neighbor)
return False
3. 最短路径算法（Dijkstra算法）
思想：计算从起点到终点的最短路径，如果存在最短路径，则说明两点可达。
步骤：
- 初始化一个距离数组
dist，记录从起点到每个节点的最短距离。 - 初始化一个优先队列
pq，将起点的距离设为0并加入队列。 - 从优先队列中取出距离最小的节点，更新其邻居节点的距离。
- 重复步骤3，直到优先队列为空。
- 如果终点的距离不是无穷大，则说明两点可达。
代码实现（Python）：
import heapq
def dijkstra(graph, start, end):
n = len(graph)
dist = [float('inf')] * n
dist[start] = 0
pq = [(0, start)]
while pq:
current_dist, current = heapq.heappop(pq)
if current == end:
return True
if current_dist > dist[current]:
continue
for neighbor, weight in graph[current]:
distance = current_dist + weight
if distance < dist[neighbor]:
dist[neighbor] = distance
heapq.heappush(pq, (distance, neighbor))
return dist[end] != float('inf')
def is_reachable_dijkstra(graph, start, end):
return dijkstra(graph, start, end)
总结
- DFS：适用于无权图或有权图，递归实现，适合较小的图。
- BFS：适用于无权图，非递归实现，适合较大的图。
- Dijkstra：适用于有权图，计算最短路径，适合需要最短路径信息的场景。
