虽然对于我们每个人来说二分查找都是耳熟能详的存在，但在实际刷题和开发过程中还是经常性地会写错二分查找（多为出现死循环）。故在此整理一下有关二分查找的常用模板。
标准二分查找
标准二分查找会找到非降序数组中的一个与目标值target相等的元素的位置下标，若未找到则返回-1。
为了确保二分查找算法的正确性，我们必须在每一次算法迭代缩小查找区间的过程中，保证每一次缩小原区间而得到的新的待查找区间都符合相同的特征。常见的区间特征有左闭右闭区间（[i, j]）和左闭右开区间（[i, j)）两种。
[i, j]区间式
在采用左闭右闭区间的二分查找实现中，我们认为区间最右侧j指针所指的元素也是被算在查找范围之内的，因此循环条件为i <= j，且区间向左缩小时的表达式为j = mid - 1（mid所指的元素被排除，但mid-1所指的元素仍然保留在待查找区间内）。
int search(vector<int>& ar, int target) {
int i = 0;
int j = ar.size() - 1;
while (i <= j) {
int mid = i + ((j - i) >> 1);
if (ar[mid] == target) {
return mid;
}
else if (ar[mid] < target) {
i = mid + 1;
}
else {
j = mid - 1;
}
}
return -1;
}
在有些资料中，会将计算中点下标的表达式写作
mid = i + ((j - i) >> 1)，而非mid = (i + j) >> 1。这是为了防止在计算i + j出现溢出。很容易证明，这两个表达式在数学上是等价的。
[i, j)区间式
与前者类似，在左闭右开区间的二分查找实现中，待查找区间并不包括指针j所指元素，因此循环条件和待查找区间向左收缩的表达式也要作相应的修改。
int search(vector<int>& ar, int target) {
int i = 0;
int j = ar.size();
while (i < j) {
int mid = i + ((j - i) >> 1);
if (ar[mid] == target) {
return mid;
}
else if (ar[mid] < target) {
i = mid + 1;
}
else {
j = mid;
}
}
return -1;
}
虽然在这种实现中
j所指元素并不包括在待查找区间内，但我们却不用修改计算mid的表达式。这是因为只有某次进入循环时恰有i、j两者相等，才有mid=j这个不安全的结果，但根据这个实现的循环条件i < j可知，这种情况是不可能发生的。
变式
以一个具体的数组nums=[1, 3, 5, 7, 7, 7, 8, 9]和目标值target=7为例，我们可能碰到针对二分查找综合运用的如下几种变式：
变式1：寻找最后一个小于target的元素的下标
在本例中正确答案应为2.
int search(vector<int>& ar, int target) {
int i = 0;
int j = ar.size() - 1;
while (i <= j) {
int mid = i + ((j - i) >> 1);
if (ar[mid] < target) {
i = mid + 1;
}
// ar[mid] ≥ target
// 如果ar[mid]=target，则继续将区间向左缩小
else {
j = mid - 1;
}
}
// 循环退出时的情形：
// [1, 3, 5, 7, 7, 7, 8, 9]
// ↑ ↑
// j i
return j;
}
试一试：如果将target值由7修改为1，会得到什么结果？这个结果说明了什么？
变式2：寻找第一个大于target的元素的下标
在本例中正确答案应为6.
int search(vector<int>& ar, int target) {
int i = 0;
int j = ar.size() - 1;
while (i <= j) {
int mid = i + ((j - i) >> 1);
// 如果ar[mid]=target，则继续将区间向右缩小
if (ar[mid] <= target) {
i = mid + 1;
}
// ar[mid] < target
else {
j = mid - 1;
}
}
// 循环退出时的情形：
// [1, 3, 5, 7, 7, 7, 8, 9]
// ↑ ↑
// j i
return i;
}
变式3：寻找第一个≥target的元素的下标
这个变式等价于寻找数组中第一个值为target的元素的下标。
在本例中正确答案应为3.
int search(vector<int>& ar, int target) {
int i = 0;
int j = ar.size() - 1;
while (i <= j) {
int mid = i + ((j - i) >> 1);
if (ar[mid] < target) {
i = mid + 1;
}
// ar[mid] ≥ target
// 如果ar[mid]=target，则继续将区间向左缩小
else {
j = mid - 1;
}
}
// 循环退出时的情形：
// [1, 3, 5, 7, 7, 7, 8, 9]
// ↑ ↑
// j i
return i;
}
变式4：寻找最后一个≤target的元素的下标
这个变式等价于寻找数组中最后一个值为target的元素的下标。
在本例中正确答案应为5.
int search(vector<int>& ar, int target) {
int i = 0;
int j = ar.size() - 1;
while (i <= j) {
int mid = i + ((j - i) >> 1);
// 如果ar[mid]=target，则继续将区间向右缩小
if (ar[mid] <= target) {
i = mid + 1;
}
// ar[mid] < target
else {
j = mid - 1;
}
}
// 循环退出时的情形：
// [1, 3, 5, 7, 7, 7, 8, 9]
// ↑ ↑
// j i
return j;
}
