排列组合

第一部分 排列组合基础

graph LR
A(排列组合)-->B(加法,乘法原则)
A(排列组合)-->C(组合数,排列数)

加法原则,乘法原则

【12】已知从青岛到大连共有火车,飞机,轮船三种交通方式可以选择.一天中,火车有$3$班,飞机有$4$班,轮船有$5$班.那么一天中乘坐这些交通工具从青岛到大连共有$\underline{\hspace{2cm}}$种不同的走法.

【60】放学后,大雄计划先去空地打棒球,然后到静香家一起写作业,最后回到自己的家中.已知,从学校到空地共有$3$条路可供选择,从空地到静香家共有$4$条路可供选择,从静香家到大雄家共有$5$条路可供选择.那么大雄从学校到家共有$\underline{\hspace{2cm}}$种不同的走法.

【81】将$4$封不同的信投入到$3$个信箱,不同的投法有$\underline{\hspace{2cm}}$种.

【252】用$0-9$十个数字,可以组成有重复数字的三位数字的个数为$\underline{\hspace{2cm}}$.

排列数,组合数

【24】军训时,$4$个人站成一排,共有$\underline{\hspace{2cm}}$种不同的站队方法.

【360】军训时,从$6$个人中挑出$4$个人站成一排,共有$\underline{\hspace{2cm}}$种不同的站队方法.

【15】军训时,从$6$个人中挑出$4$个人去打扫卫生,共有$\underline{\hspace{2cm}}$种不同的选取方法.

$A^2_2=\underline{\hspace{2cm}}$【2】
$A^3_3=\underline{\hspace{2cm}}$【6】
$A^4_4=\underline{\hspace{2cm}}$【24】
$A^5_5=\underline{\hspace{2cm}}$【120】
$A^6_6=\underline{\hspace{2cm}}$【720】
$A^2_7=\underline{\hspace{2cm}}$【42】
$C^2_3=\underline{\hspace{2cm}}$【3】
$C^2_4=\underline{\hspace{2cm}}$【6】
$C^3_5=\underline{\hspace{2cm}}$【10】
$C^3_6=\underline{\hspace{2cm}}$【20】
$C^2_6=\underline{\hspace{2cm}}$【15】
$C^{98}_{100}=\underline{\hspace{2cm}}$【4950】

【180】从$6$名大学生中选出队长$1$人,副队长$1$人,普通队员$2$人,组成$4$人知识竞赛代表,不同的选法有$\underline{\hspace{2cm}}$种.

重复挑选辨析

【70】某校现从$4$名男教师和$5$名女教师中,选取三人,组成创文明志愿小组,若男女教师至少各有$1$人,则不同的选法有$\underline{\hspace{2cm}}$种.

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第二部分 排列问题

graph LR
A(排列问题)-->C(挑敌友)
C(挑敌友)-->DD(挑朋友)-->G(捆绑法)-->GG(敌友综合性问题)
C(挑敌友)-->D(挑敌人)-->H(插空法)-->GG(敌友综合性问题)
GG(敌友综合性问题)<-->AA(正反策略)

A(排列问题)-->E(挑顺序)
E(挑顺序)-->M(双胞胎/消序问题)-->MM(除法原则)<-->AA(正反策略)
E(挑顺序)-->J(挑序问题)-->L(板凳置换法)-->AA(正反策略)
MM(除法原则)-->L(板凳置换法)

A(排列问题)-->B(挑位置)-->F(特殊元素优先排)-->FF(少挑多)-->FFG(抢占资源问题)<-->AA(正反策略)

挑敌友

挑朋友问题-捆绑法

【240,144,96,72】军训时甲,乙,丙,丁,戊,己共有$6$个不同的人站在一排.
$(1)$若甲,乙必须相邻站在一起,则共有$\underline{\hspace{2cm}}$种排队方法.
$(2)$若甲,乙,丙三人必须相邻站在一起,则共有$\underline{\hspace{2cm}}$种排队方法.
$(3)$若甲,乙必须相邻站在一起,丙,丁必须相邻站在一起,则共有$\underline{\hspace{2cm}}$种排队方法.
$(4)$若甲,乙必须相邻站在一起,丙,丁,戊必须相邻站在一起,则共有$\underline{\hspace{2cm}}$种排队方法.

【1296】一排$9$个座位坐了$3$个三口之家,若每家人坐在一起,则共有$\underline{\hspace{2cm}}$种不同的坐法.

挑敌人问题-插空法

【480,144】军训时包括甲,乙,丙在内共有$6$个不同的人站在一排. $(1)$ 若甲,乙不相邻,则共有$\underline{\hspace{2cm}}$种排队方法. $(2)$ 若甲,乙,丙三人互不相邻,则共有$\underline{\hspace{2cm}}$种排队方法.

敌友综合性问题

【720,1440,2880】$4$个男生,$3$个女生站成一排.
$(1)$ 若$3$个女生相邻在一起.则有$\underline{\hspace{2cm}}$种不同的排法.
$(2)$ 若$3$个女生互不相邻不在一起.则有$\underline{\hspace{2cm}}$种不同的排法.
$(3)$ 若$3$个女生中有且只有$2$个女生相邻.则有$\underline{\hspace{2cm}}$种不同的排法.

【480,720,2400,3600】$8$个车位,$5$辆不同的车.
$(1)$ 若车全停一起共有$\underline{\hspace{2cm}}$种停法.
$(2)$ 若空车位全在一起共有$\underline{\hspace{2cm}}$种停法.
$(3)$ 若空车位互不相邻在一起,则共有$\underline{\hspace{2cm}}$种停法.
$(4)$ 若只有两个空车位在一起,在共有$\underline{\hspace{2cm}}$种停法.

【288】军训时包括甲,乙,丙在内共有$6$个不同的人站在一排.若甲,乙二人都不愿意和丙相邻,则共有$\underline{\hspace{2cm}}$种排队方法.

挑顺序

双胞胎/消序问题-除法原则

【30,60,90】将$6$颗除颜色外无任何差别的小球排成一排.
$(1)$若其中有$4$颗红球,$1$颗白球,$1$颗黑球.则共有$\underline{\hspace{2cm}}$种排法.
$(2)$若其中有$1$颗红球,$2$颗白球,$3$颗黑球.则共有$\underline{\hspace{2cm}}$种排法.
$(3)$若其中有$2$颗红球,$2$颗白球,$2$颗黑球.则共有$\underline{\hspace{2cm}}$种排法.

【11,279】把单词“$good$”写错共有$\underline{\hspace{2cm}}$种方法.把单词“$referrer$”写错共有$\underline{\hspace{2cm}}$种方法.

【2940】用$0$,$1$,$2$,$2$,$3$,$3$,$3$,$4$可以组成$\underline{\hspace{2cm}}$个$8$位数.

挑序问题-板凳置换法

【360,240,120,180】军训时包括甲,乙,丙,丁在内共有$6$个不同的人站在一排.
$(1)$若甲必须站在乙的前面,则共有$\underline{\hspace{2cm}}$种排队方法.
$(2)$若甲和乙必须站在丙的前面,则共有$\underline{\hspace{2cm}}$种排队方法.
$(3)$若甲,乙必须站在丙,丁的前面,则共有$\underline{\hspace{2cm}}$种排队方法.
$(4)$若甲必须站在乙的前面,丙必须站在丁的前面则共有$\underline{\hspace{2cm}}$种排队方法.

挑位置

挑位置问题-特殊元素优先排

【600】军训时包括班长在内共有$6$个不同的人站在一排,班长不能站在队伍的末尾,则共有$\underline{\hspace{2cm}}$种排队方法.

【288】由$0,1,2,3,4,5$可以组成$\underline{\hspace{2cm}}$个没有重复数字的五位奇数.

【36】计划从$A$,$B$,$C$,$D$,$E$五个人中出$4$个人完成甲,乙,丙,丁四项工作,出任务的$4$人每人完成一项工作,每项工作只能安排给一个人完成.其中$A$和$B$都只会做甲,乙这两项工作,其余的人可以胜任所有的工作.则共有$\underline{\hspace{2cm}}$种不同的安排任务的方式.

【432】有$5$张卡片,正反两面分别写有数字$0$与$1$,$2$与$3$,$4$与$5$,$6$与$7$,$8$与$9$,先从中取出$3$张排成一列,可以摆成$\underline{\hspace{2cm}}$个不同的三位数.

抢占资源问题

【504】军训时包括班长,副班长在内共有$6$个不同的人站在一排,班长不能站在队伍的末尾,副班长不能站在队伍的开头,则共有$\underline{\hspace{2cm}}$种排队方法.

正反策略

【120】某次联欢会要安排$3$个歌舞类节目,$2$个小品类节目,$1$个相声类节目,要求同类型节目不相邻,则共有$\underline{\hspace{2cm}}$种排法.

【1008】$7$个人排一周值班表,要求甲乙必须相邻,丙不在第一天,丁不在最后一天.共有$\underline{\hspace{2cm}}$种不同的排法.

【33】在小于$100$的正整数中,既不能被$2$整除也不能被$3$整除的数有$\underline{\hspace{2cm}}$个.

【24】 用$0$,$1$,$2$,$3$,$4$组成无重复的五位数,其中$1$,$2$相邻的偶数有$\underline{\hspace{2cm}}$个.

【48】$2$位男生和$3$位女生共$5$位同学站成一排,若男生甲不站两端,$3$位女生中有且只有$2$位女生相邻,则共有$\underline{\hspace{2cm}}$种排法.

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第三部分 分配问题

graph LR
A(分配问题)-->C(相同分不同)-->G[挡板法]
A(分配问题)-->D(不同分相同)-->H[平均分堆公式]
A(分配问题)-->B(不同分不同)-->F[分堆再分配]
B(不同分不同)-->P[乘法原则]
A(分配问题)-->J(相同分相同)

相同分不同-挡板法

【91,55,10】$12$个相同的苹果分给$3$个人.
$(1)$ 若允许有人没被分到,则有$\underline{\hspace{2cm}}$种不同的分配方法;
$(2)$ 若每人至少$1$个,则有$\underline{\hspace{2cm}}$种不同的分配方法;
$(3)$ 若每人至少$3$个,则有$\underline{\hspace{2cm}}$种不同的分配方法.

【15】$10$个相同的苹果分给$1$班,$2$班,$3$班.若要求每个班所得的苹果数量不得少于自己的班级序号,则共有$\underline{\hspace{2cm}}$种分法.

【165,455】方程$x_1+x_2+x_3+x_4=12$,正整数解的组数有$\underline{\hspace{2cm}}$种.非负整数解的组数有$\underline{\hspace{2cm}}$种.

不同分相同-平均分堆公式

【1260,280,378,840】将$9$颗不同的石头进行分堆.
$(1)$ 若分成$2$,$3$,$4$三堆,共有$\underline{\hspace{2cm}}$种分法.
$(2)$ 若分成$3$,$3$,$3$三堆,共有$\underline{\hspace{2cm}}$种分法.
$(3)$ 若分成$2$,$2$,$5$三堆,共有$\underline{\hspace{2cm}}$种分法.
$(4)$ 若分成$1$,$1$,$1$,$3$,$3$五堆,共有$\underline{\hspace{2cm}}$种分法.

【5】把$A$,$B$,$C$,$D$四本不同的书分成$3$堆,每堆至少$1$本,$A$,$B$不能分到同一堆.则共有$\underline{\hspace{2cm}}$种不同的分堆方法.

【25】$5$名学生被分成$3$组,每个组至少有$1$个人,至多$3$人.则共有$\underline{\hspace{2cm}}$种不同的分组方法.

不同分不同

分堆再分配

【630】$7$名游客到$3$个不同的景点游览,每个景点至少有$2$个人,至多$3$人.则共有$\underline{\hspace{2cm}}$种不同的游览方法.

乘法原则

【81】将$4$封不同的信投入到$3$个不同的信箱,不同的投法有$\underline{\hspace{2cm}}$种.

【64】$4$名同学争夺跑步,跳高,跳远三项冠军,共有$\underline{\hspace{2cm}}$种可能的结果.

相同分相同

【7】若$9$个相同的球分成三堆,不允许有空堆.共有$\underline{\hspace{2cm}}$种分法.

分配问题汇总

$(1)$ 将$5$颗不同的石头装进$4$个不同的盒子里.若要求每个盒子至少被分到一颗石头,则共有$\underline{\hspace{2cm}}$种分法.若允许有盒子没有被分到,则共有$\underline{\hspace{2cm}}$种分法.【240,1024】
$(2)$ 将$5$颗相同的石头装进$4$个不同的盒子里.若要求每个盒子至少被分到一颗石头,则共有$\underline{\hspace{2cm}}$种分法.若允许有盒子没有被分到,则共有$\underline{\hspace{2cm}}$种分法.【4,56】
$(3)$ 将$5$颗不同的石头装进$4$个相同的盒子里.若要求每个盒子至少被分到一颗石头,则共有$\underline{\hspace{2cm}}$种分法.若允许有盒子没有被分到,则共有$\underline{\hspace{2cm}}$种分法.【10,51】
$(4)$ 将$5$颗相同的石头装进$4$个相同的盒子里.若要求每个盒子至少被分到一颗石头,则共有$\underline{\hspace{2cm}}$种分法.若允许有盒子没有被分到,则共有$\underline{\hspace{2cm}}$种分法.【1,6】

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第四部分 排列组合进阶

二项式定理

【80】在$(x+2)^5$的展开式中,$x^2$的系数为$\underline{\hspace{2cm}}$.

【95】在$(x^2+3x+1)^5$的展开式中,$x^2$的系数为$\underline{\hspace{2cm}}$.

【20】在$-(\frac{3}{x}-\frac{x}{3})^6$的展开式中,常数项为$\underline{\hspace{2cm}}$.

【565】在$(2-x)(x^2+3x+1)^5$的展开式中,$x^3$的系数为$\underline{\hspace{2cm}}$.

错排问题

【0】 $D(1)=\underline{\hspace{2cm}}$.
【1】 $D(2)=\underline{\hspace{2cm}}$.
【2】$D(3)=\underline{\hspace{2cm}}$.
【9】$D(4)=\underline{\hspace{2cm}}$.
【44】$D(5)=\underline{\hspace{2cm}}$.

【44】某单位决定对$5$个部门的经理进行轮岗,要求每位经理必须轮换到$5$个部门中的其它部门任职,则不同的轮岗方案有$\underline{\hspace{2cm}}$种.

【45】设有编号为$1$,$2$,$3$,$4$,$5$的五个小球和编号为$1$,$2$,$3$,$4$,$5$的五个盒子,现将这$5$个小球放入这$5$个盒子内,要求每个盒子内放一个球,且恰好有$1$个球的编号与盒子的编号相同,则共有$\underline{\hspace{2cm}}$种投放方法.

【12】将数字$1,2,3$填入$3\times3$的方格中,要求每行,每列都没有重复数字,下面是一种填法,则不同的填写方法有$\underline{\hspace{2cm}}$种.

1	2	3
3	1	2
2	3	1

畸形排列

【120】$6$个小朋友围成一个圆,则共有$\underline{\hspace{2cm}}$种围圈方法.镜像对称视为两种排列.

【24】$6$个小朋友围成一个正六边形,且小红必须站在小明的正对面,则共有$\underline{\hspace{2cm}}$种站位方法.镜像对称视为两种排列.

【30】将$6$个不同颜色的正方形贴纸粘到一个正方体的六个面上,则共有$\underline{\hspace{2cm}}$种粘贴方法.镜像对称视为两种排列.

涂色问题

【96】如图,用$4$种颜色对图中五块区域进行涂色,每块区域涂一种颜色,且相邻的两块区域颜色不同,不同的涂色方法有$\underline{\hspace{2cm}}$种.

【260】如图,用五种不同的颜色涂在图中的四个区域,每一个区域涂上一种颜色,且相邻区域的颜色必须不同,则共有$\underline{\hspace{2cm}}$种不同的涂法.

A	B
C	D

余数原理

【25】在$1,2,3,⋯⋯,15$这些自然数中任取两个不同的数,使得取出的两数之和是$4$的倍数,则共有$\underline{\hspace{2cm}}$种不同的取法.

【180】数位之和能被$5$整除的$3$位数共有$\underline{\hspace{2cm}}$个.

指派问题

【?】某国际旅行社现有$11$名对外翻译人员,其中有$5$人只会英语,$4$人只会法语,$2$人既会英语又会法语,现从这$11$人中选出$4$人当英语翻译,$4$人当法语翻译.则共有$\underline{\hspace{2cm}}$种不同的选法.

【?】某龙舟队有$9$名队员,其中$3$人只会划左舷,$4$人只会划右舷,$2$人既会划左舷又会划右舷.现要选派划左舷的$3$人,右舷的$3$人,共$6$人去参加比赛.则不同的选派方法共有$\underline{\hspace{2cm}}$.

动态规划

【37】甲,乙两地间的纵横道路网如图所示,若从甲地到乙地沿道路铺设电缆.由于丙地地势凶险,电缆不能经过丙地.要使铺设的电缆长度最短,则共有$\underline{\hspace{2cm}}$铺设方案. ![[net.png|150]]

【89】一只青蛙一次可以跳上一节台阶,也可以跳两节台阶.求该青蛙跳上一个$10$节的台阶总共有$\underline{\hspace{2cm}}$种跳法.

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第五部分 综合练习

【288】有$3$位老师,$4$名学生排成一排照相,其中老师必须站在一起,甲乙两个学生要排在一起,则共有$\underline{\hspace{2cm}}$种排法.

【30】$720$有$\underline{\hspace{2cm}}$个正约数.

【9000】形如$20244202$的数字叫“回文数”,即从左到右读和从右到左读都一样的正整数,则$8$位的回文数共有$\underline{\hspace{2cm}}$个.

【72】$2$个男生和$4$个女生围圆桌而坐,要求$2$个男生不能坐在一起.共有$\underline{\hspace{2cm}}$种不同的排法.

【108】在由$0$,$1$,$2$,$3$,$4$,$5$所组成的没有重复数字的四位数中,能被$5$整除的有$\underline{\hspace{2cm}}$个.

【120】在一张节目单中原有$3$个节目,若保持这些节目相对顺序不变,再添加进去$3$个节目,则所有不同的添加方法共有$\underline{\hspace{2cm}}$种.

【30】将$A,B,C,D$四名学生分到三个不同的班,每个班至少分到一名学生,且$A,B$两名学生不能分到同一个班,则共有$\underline{\hspace{2cm}}$种分法.

【1440】$3$个男生和$4$个女生站成一排,男生不能相邻.则共有$\underline{\hspace{2cm}}$种排法.

【2】将$4$个不同颜色的三角形贴纸粘到一个正四棱锥的四个面上,则共有$\underline{\hspace{2cm}}$种粘贴方法.镜像对称视为两种排列.

【144】$4$名学生和$2$名教师排成一排照相,两位教师不在两端,且要相邻的排法共有$\underline{\hspace{2cm}}$种.

【36】将$4$本不同的书分给$3$个人,每人至少一本,共有$\underline{\hspace{2cm}}$种不同的分法.

【4500】所有数位之和是奇数的$4$位数共有$\underline{\hspace{2cm}}$个.

【31】设有编号为$1-5$的$5$个球和编号为$1-5$的$5$个盒子,将$5$个小球放入$5$个盒子中,每个盒子放$1$个小球,则至少有$2$个小球和盒子编号相同的方法有$\underline{\hspace{2cm}}$种.

【24】$3$人坐在有$8$个座位的同一排上,若每人左右两边都有空位.则共有$\underline{\hspace{2cm}}$种坐法.

【169】满足最小数位是$2$的$3$位数共有$\underline{\hspace{2cm}}$个.

【20】有$10$盏路灯,需要关掉$3$盏,但不能同时关掉相邻的$2$盏或$3$盏,也不能关掉两端的灯,则共有$\underline{\hspace{2cm}}$种关灯方法.

【15】从$2,3,4,5,6,10,11,12$中取出两个数,则能组合成$\underline{\hspace{2cm}}$个最简真分数.

【180】用五种不同的颜色涂在图中的四个区域,每一个区域涂上一种颜色,且相邻区域的颜色必须不同,则共有$\underline{\hspace{2cm}}$种不同的涂法.

A	B	C
	D

【16】甲,乙两地间的纵横道路网如图所示,若从甲地到乙地沿道路铺设电缆.由于丙地是重要的中转节点,电缆必须经过丙地.要使铺设的电缆长度最短,则共有$\underline{\hspace{2cm}}$铺设方案. ![[net.png|150]]

【448,112】从$8$双不同的鞋子中任取$3$只.
$(1)$ 若$3$只鞋子均不能成对的取法有$\underline{\hspace{2cm}}$种.
$(2)$ 若$3$只鞋子恰有一双的取法有$\underline{\hspace{2cm}}$种.

【5760】$8$人排成前后两排,每排$4$人,其中甲,乙在前排,丙在后排,共有$\underline{\hspace{2cm}}$种排法.

【12】从正方体的$6$个面中选取$3$个面,其中有$2$个面不相邻的选法共有$\underline{\hspace{2cm}}$种

【228】所有数位上的数各不相同且数位之和能被$3$整数的$3$位数共有$\underline{\hspace{2cm}}$个.

【606】将$1$,$2$,$3$,$4$,$12$,$34$六个数按着任意次序排成一列,拼成一个八位数,则能产生$\underline{\hspace{2cm}}$个不同的八位数.

【150】下图中有$\underline{\hspace{2cm}}$个矩形.