K-Means 聚类算法的原理和实战K-Means 算法的原理可以概括为通过迭代找到数据集中的 K 个簇中心，将数据点分

K-Means 算法的原理可以概括为通过迭代找到数据集中的 K 个簇中心，将数据点分配到距离最近的簇中，最终使得每个簇内的点尽可能紧密地聚集在一起。它是一种无监督学习算法，通常用于对数据进行聚类分析。

原理

选择初始簇中心：
- 首先，选择 K 个初始的簇中心（通常是随机选择，或使用 K-Means++ 方法进行优化选择）。
分配数据到最近的簇中心：
- 对于每一个数据点，根据其与各个簇中心的距离，将数据点分配到距离最近的簇。这里的距离通常是 欧几里得距离：
- $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$
重新计算簇中心：
- 对每个簇，重新计算其中心（质心）。新的中心是该簇中所有数据点的坐标的平均值。
重复分配和计算：
- 使用新的簇中心，再次重复步骤 2 和步骤 3，直到簇中心不再变化或者变化非常小。

迭代过程

K-Means 算法通过不断迭代来优化簇中心的位置，直到找到一个局部最优解。算法结束的标准通常是：

簇中心稳定：即簇中心在连续两次迭代后不再发生变化。
达到最大迭代次数：通常为了防止算法陷入无休止的迭代，会设定一个最大迭代次数。

优化目标

K-Means 算法的目标是最小化 簇内平方误差（Within-Cluster Sum of Squares, WCSS），其数学表达式为：

∑_{i=1}^{k}∑_{x∈Ci}∣∣x−μi∣∣^2

其中：

$k$ 是簇的数量，
$C_i$ 是第 i个簇，
$u_i$ 是第i个簇的中心，
$x$ 是数据点， $∣∣x−μi∣∣$ 表示数据点与簇中心之间的距离。

实践

我们有 8 个二维坐标数据点：

A1 = (2, 10), A2 = (2, 5), A3 = (8, 4), A4 = (5, 8), A5 = (7, 5), A6 = (6, 4), A7 = (1, 2), A8 = (4, 9)
假设初始每个簇的中心分别是A1、A4和A7。

步骤1：计算每个点到簇中心的距离：

结果如下：

簇 1：A1
簇 2：A3, A4, A5, A6, A8
簇 3：A2, A7

注：这里簇中心为A1，A4，A7点所以可能不太明显

步骤2重新计算簇中心

簇 1 只有 A1，新的中心就是 A1 本身：
- $𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜𝑖𝑑𝑠1 = (2, 10)$
簇 2 包含 A3、A4、A5、A6 和 A8，新的质心为：
- $𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜𝑖𝑑𝑠2 =(( 8 + 5 + 7 + 6 + 4 )/ 5,( 4 + 8 + 5 + 4 + 9 )/ 5)$ = $(6,6)$
簇3
- $𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜𝑖𝑑𝑠3 = ((2+1)/2,（5+2)/2)$ = $(1.5,3.5)$

再次计算每一个点到新簇中心的距离 得到新的簇中心以及每个点的分类为：
Cluster 1 :{A1, A8}
Cluster 2 : {A3, A4, A5, A6}
Cluster 3 : {A2, A7}

下面为可视化图，其中红色为簇中心

并且可以得到新的簇中心位置为：
New_centroids1 = $（（2+4）/2,（10 +9）/2）=（3,9.5)$
New_centroids2 = $((8+5+7+6)/4,（4+8+5+4)/4)=（6.5,5.25)$
New_centroids3 = $((2+ 1)/2,(5+ 2/2)) = （1.5,3.5)$

接着根据继续计算点到新簇的距离，以判断该点的类别（Iteration 3）

分类结果为：
Cluster 1 :{A1, A4, A8}
Cluster 2 : {A3, A5, A6}
Cluster 3 : {A2, A7}

可视化结果如下：

并计算新的簇心为：
𝑁𝑒𝑤 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜𝑖𝑑𝑠1 = $( 2 + 5 + 4 )/ 3 , ( 10 + 8 + 9 )/ 3 = ( 3.667 ,9 )$
𝑁𝑒𝑤 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜𝑖𝑑𝑠2 = $(( 8 + 7 + 6 )/ 3 , ( 4 + 5 + 4 )/ 3 ) = ( 7 , 4.333 )$
𝑁𝑒𝑤 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜𝑖𝑑𝑠3 = $( 2 + 1 )/ 2 , ( 5 + 2 )/ 2 = ( 1.5 , 3.5 )$

同理计算每个点到新簇心距离并继续分类

分类结果为：
Cluster 1 :{A1, A4, A8}
Cluster 2 : {A3, A5, A6}
Cluster 3 : {A2, A7}

可视化：

新簇心为：
𝑁𝑒𝑤 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜𝑖𝑑𝑠1 = $( 2 + 5 + 4 )/ 3 , ( 10 + 8 + 9 )/ 3 = ( 3.667 ,9 )$
𝑁𝑒𝑤 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜𝑖𝑑𝑠2 = $(( 8 + 7 + 6 )/ 3 , ( 4 + 5 + 4 )/ 3 ) = ( 7 , 4.333 )$
𝑁𝑒𝑤 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜𝑖𝑑𝑠3 = $( 2 + 1 )/ 2 , ( 5 + 2 )/ 2 = ( 1.5 , 3.5 )$

到此我们可以发现分类的结果不再变化，并且簇心不再变化，迭代完成。

Tips:
K-Means 算法通过不断迭代来优化簇中心的位置，直到找到一个局部最优解。算法结束的标准通常是：

簇中心稳定：即簇中心在连续两次迭代后不再发生变化。
达到最大迭代次数：通常为了防止算法陷入无休止的迭代，会设定一个最大迭代次数。