了解决策树算法：原理和实际实现决策树是机器学习中的基本算法，广泛用于分类和回归任务。它们表示基于从数据中学习的规则的模型

决策树是机器学习中的基本算法，广泛用于分类和回归任务。它们表示基于从数据中学习的规则的模型，通过根据输入特征的值将数据拆分为子集来做出决策。本博客将介绍决策树背后的原理，包括 CART、ID3 和 C4.5 等流行算法，以及它们如何使用信息增益和基尼指数等指标选择特征和分割点

什么是决策树？

决策树可以看作是一种流程图式的结构，其中每个内部节点代表基于特征的决策，每个分支代表该决策的结果，每个叶节点代表最终分类或回归结果。

您可以将其视为一系列“如果-那么”规则，这些规则根据特征值对数据进行分类。在分类树中，目标是将数据点分配给不同的类别。在回归树中，目标是预测连续值。

决策树通常被视为白盒模型， 因为它们是可解释的。通过遵循从根节点到叶节点的路径，可以轻松直观地了解决策的制定过程。

决策树的关键概念

1.特征选择

在每个节点上选择正确的特征对于树的准确性和简单性至关重要。决策取决于哪个特征最适合分割数据以最大限度地减少不确定性。不同的算法使用不同的标准来衡量这一点：

ID3使用信息增益
C4.5利用信息增益比改进了 ID3
CART（分类和回归树）使用基尼指数

熵和基尼系数

熵和基尼系数都是用于衡量数据集中无序或不纯的指标。

熵由 ID3 和 C4.5 算法使用。它量化了数据集中的不确定性或无序性。熵的公式 H(X)为：

H（X） = -\sum_{i=1}^{n}pi * log{pi}

其中 $p_i$ 是类i的概率。类分布越多样化，熵就越高。

CART 算法使用基尼指数。它表示如果根据数据集中类的分布随机标记随机选择的样本，则随机选择的样本被错误分类的概率。基尼指数的公式为：
$Gini(p) = \sum_{k=1}^{K}p_k(1-p_k) = 1 - \sum_{k=1}^{K}p_k^2$
较低的基尼系数表示较纯净的节点。

1. ID3 (Iterative Dichotomiser 3)

ID3算法选择提供最大信息增益的特征作为最优特征来划分数据。

信息增益（IG衡量的是基于某个特征划分数据后，输出变量不确定性的减少。其计算公式为：公式为：

IG(D,A) = H(D) - H(D|A)

其中，H(D)是数据集的熵，H(D∣A)是基于特征 A划分数据后的熵。选择能够最大化信息增益的特征。

2. C4.5

C4.5算法通过解决ID3算法偏向于具有多种可能值特征的问题进行改进。C4.5使用的是信息增益率，它通过将信息增益除以特征值的熵来对增益进行归一化。

信息增益比的定义为：

GainRatio(D,A) = \frac{IG(D, A)}{H_A(D)}\\

H_A(D) = -\sum_{i = 1}^{n}\frac{|D_i|}{|D|}\cdot log{\frac{|D_i|}{|D|}}

这里n是特征取值个数，D是样本容量， $D_i$ 是对应特征取值下样本的数量，其实就是把每个取值的样本数量进行考虑。这通过惩罚那些熵 $H_A(D)$ 较高的特征，避免了偏向于拥有许多唯一值的特征。

3. CART (Classification and Regression Trees)

CART算法既可以用于分类，也可以用于回归。对于分类任务，它使用基尼指数来衡量特征划分，并选择能最小化基尼不纯度的特征和划分点。
- 基尼指数和熵类似，基尼指数越大，样本集合的不确定性也就越大
对于回归任务，CART最小化均方误差（MSE） ，寻找能够减少预测值方差的最优划分

使用CART算法构建的树如下：

假设有K个类，样本属于k的概率为 $p_k$ ,基尼指数公式如下：

Gini(D) = \sum_{k=1}^{k}{p_k}(1-p_k) = 1 - \sum_{k=1}^{k}{p_k}^2

如果集合D根据特征A可以被分成D1，D2两个部分即

D1= {(x,y)∈D|A（x） = a}，D2 = D - D1

在特征A下，集合D的基尼指数定义为：

Gini（D，A） = \frac{|D1|}{D}Gini(D1) + \frac{|D2|}{D}{Gini}(D2)

下面是基尼指数和熵之半和分类误差率的关系：

建立决策树过程

根节点创建:首先将所有训练数据视为属于根节点。
拆分:根据所选算法(使用信息增益、增益比或基尼指数)，找到拆分数据的最佳特征和值。
递归:递归地在每个数据子集(子节点)上重复该过程。
停止条件:当停止条件满足时停止(例如，所有节点都是纯的，或者没有更多的特征要分割)。
修剪(如有必要):为了避免过拟合**，通过去除不提供显著效益的节点来修剪树。

过拟合和剪枝

决策树的一个主要问题是过度拟合。树可能会变得过于复杂，甚至会拟合训练数据中的噪声，从而降低其泛化到新数据的能力。为了解决这个问题:

预修剪:根据每个节点的最大深度或最小样本等标准，提前停止生长树。
后剪枝:先构建整个树，然后根据验证数据集删除不能提高性能的节点。

使用“sklearn”的示例实现

下面是一个使用CART算法与Python的“sklearn”库中的“decisiontreecclassifier”进行分类的简单示例:

from sklearn.tree import DecisionTreeClassifier
from sklearn.datasets import load_iris
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.metrics import accuracy_score

# 加载数据
iris = load_iris()
X = iris.data
y = iris.target

# 划分
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.3, random_state=42)

# 创建决策树，并且使用gini指数划分数据
clf = DecisionTreeClassifier(criterion='gini', max_depth=3, random_state=42)

# 训练模型
clf.fit(X_train, y_train)

# 预测
y_pred = clf.predict(X_test)

# 验证
accuracy = accuracy_score(y_test, y_pred)
print(f'Accuracy: {accuracy:.2f}')

在这个例子中，我们使用基尼指数来分割数据，并限制树的深度以避免过拟合。

Reference

《统计学习方法第2版》李航老师