高等数学常用公式

常用

$负指数幂:a^{-p}=\dfrac{1}{a^p},a\neq 0$ $x>=0时候,x^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x},x^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{x}$. $求根公式 \dfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ $cos(-x)=cosx,sin(-x)=-sinx$

三角函数值

弧度	0	$\pi$	$2\pi$	$\dfrac{\pi}{2}$	$\dfrac{\pi}{4}$	$\dfrac{\pi}{6}$
sin	0	0	0	1	$\dfrac{\sqrt2}{2}$	$\dfrac{1}{2}$
cos	1	-1	1	0	$\dfrac{\sqrt2}{2}$	$\dfrac{\sqrt3}{2}$
tan	0	0	0	-	1	$\dfrac{\sqrt3}{3}$

两角和与差公式

$sin(A{\pm}B)=sinAcosB{\pm}cosAsinB$ $cos(A{\pm}B)=cosAcosB{\mp}sinAsinB$ $tan(A{\pm}B)=\dfrac{tanA{\pm}tanB}{1{\mp}tanAtanB}$

倍角公式

$sin2\alpha=2sin{\alpha}cos\alpha$
$cos2\alpha={cos^2\alpha}-{sin^2\alpha}=2cos^2\alpha-1=1-2sin^2a$ $tan2\alpha=\dfrac{2tan\alpha}{1-tan^2\alpha}$

半角公式

$sin\dfrac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\dfrac{1-cos\alpha}{2}}$
$cos\dfrac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\dfrac{1+cos\alpha}{2}}$
$tan\dfrac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\dfrac{1-cos\alpha}{1+cos\alpha}}=\dfrac{sin\alpha}{1+cos\alpha}=\dfrac{1-cos\alpha}{sin\alpha}$

切线方程

$y-y_0=f'(x_0)(x-x_0) \ k=f'(x_0)$

法线方程

$y-y_0=-\dfrac{1}{f'(x_0)}(x-x_0) \ k=-\dfrac{1}{f'(x_0)}$

不定积分

通过还原法、分部积分法求解

定积分

先求出不定积分$F$（原函数）
在 $\int_{a}^{b}f(x)dx = F(b)-F(a)$

无穷小量和无穷大量

$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{1}{x}=\infty$
$\lim\limits_{x\rightarrow \infty}\dfrac{1}{x}=0$
求极限时常用等价的无穷小量 $x\rightarrow 0$时：$x\approx sinx \approx tanx \approx arcsinx \approx arctanx \approx e^x-1 \approx ln(1+x)$
$\lim\dfrac{\beta}{\alpha}=0,\beta是比\alpha较高阶的无穷小量$
$\lim\dfrac{\beta}{\alpha}=c\neq1,\beta是与\alpha同阶的无穷小量$
$\lim\dfrac{\beta}{\alpha}=1,\beta是与\alpha等价的无穷小量$
$\lim\dfrac{\beta}{\alpha}=\infty,\beta是与\alpha较低阶的无穷小量$

两个重要极限

$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{sinx}{x}=1$
$\lim\limits_{x\rightarrow \infty}(1+\dfrac{1}{n})^n=e$ $\lim\limits_{x\rightarrow 0}(1+\dfrac{1}{x})^{\dfrac{1}{n}}=e$
求极限，分母不为零的可以直接带入分母=0 求解

函数连续性

$\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}[f(x_0+\Delta x)-f(x_0)]=0$
$\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)=f(x_0)，y在点x_0处连续$

导数定义公式

$f(x_0)=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\dfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$
$f(x_0)=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$
$f(x_0)=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\dfrac{f(x_0+h)-f(x)}{h}$

导数几何意义

$曲线y=f(x)在点M(x_0,y_0)处：$
$切线方程：y-y_0=f'(x)(x-x_0)，斜率k=f'(x)$
$法线方程：y-y_0=-\dfrac{1}{f'(x)}(x-x_0)，斜率k=-\dfrac{1}{f'(x)}$

函数间断点

$f(x)在点x_0处不连续$
$x_0处f(x)没有定义，x_0处f(x)的极限值不存在$ $x_0处有定义\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)存在 ，但\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)\neq f(x_0)$
通常分母为 0 时无意义

求导方法

$(c)'=0$
$(x^a)'=ax^{a-1}$
$(log_ax)'=\dfrac{1}{xlna}(a>0,a\neq1)$
$(lnx)'=\dfrac{1}{x}$
$(a^x)'=a^xlna$
$(e^x)'=e^x$
$(sinx)'=cosx$
$(cosx)'=-sinx$
$(tanx)'=sec^2x$
$(cotx)'=-csc^2x$
$(secx)'=secxtanx$
$(cscx)'=-csccotx$
$(arcsinx)'=\dfrac{1}{\sqrt {1-x^2}}(-1<x<1)$
$(arccosx)'=-\dfrac{1}{\sqrt {1-x^2}}(-1<x<1)$
$(arctanx)'=\dfrac{1}{1+x^2}$
$(arccotx)'=-\dfrac{1}{1+x^2}$
$(u\pm v)'=u'\pm v'$
$(uv)'=u'v+ uv'$
$(cu)'=cu'$
$(\dfrac{u}{v})'=\dfrac{u'v- uv'}{v^2}(v\neq 0)$

复合函数求导

$y=(2+x)^3,y'=3(2+x)^2*(2+x)'=3(2+x)^2$

高阶求导

$\dfrac{d^2y}{dx^2}=\dfrac{d}{dx}(\dfrac{dy}{dx})$
$根据分母来，x^2对x求导两次，xy对x求导在对y求导$

隐函数求导

$F(x,y)=0的两端同时对x求导，再利用复合函数求导$
$e^y=x+y,求\dfrac{dy}{dx}=e^y*y'+1+y'=y'=\dfrac{1}{e^y-1}$
$左侧=(e^y)'=e^y*y',右侧=(x+y)'=1+y'$

对数求导法

两边同时取对数，在对$x$求导，得出$y'$
自然对数，5 的自然对数$ln5$
对数性质，$a^b,ln(a^b)=blna$
$求导f(x)=x^{2x},f'(x)=两边取对数,lnf(x)=ln(x^{2x})=2xlnx$
$两边对x求导,左边=\dfrac{f'(x)}{f(x)},右边(2xlnx)'=2lnx+2x*\dfrac{1}{x}=2lnx+2$
$\dfrac{f'(x)}{f(x)}=2lnx+2,f'(x)=x^{2x}*(2lnx+2)$
$所以f'(x)=x^{2x}(lnx+2)$

函数的和差积商微分运算公式

$u=u(x),v=v(x)可微分$
$d(cu)=cdu,d(u\pm v)=du\pm dv$
$d(uv)=vdu+udv,d(\dfrac{u}{v})=\dfrac{vdu-udv}{v^2}(v\neq 0)$
$y=f(x)在x=x_0处的微分，记为：dy|_{x=x_0}$
$\dfrac{dy}{dx}=f'(x),dy=f'(x)dx$

导数的应用

$区间(a,b)内f'(x)>0,f(x)在(a,b)递增$
$区间(a,b)内f'(x)<0,f(x)在(a,b)递减$

函数的极值

$x\neq x_0时，f(x)<f(x_0)则x_0为极大值点，f(x_0)为极大值$
$x\neq x_0时，f(x)>f(x_0)，x_0为极小值点$
$极小值存在条件，f'(x_0)=0,f'(x_0)=0的点为f(x)的驻点$
$可导函数的极值点必为驻点$

曲线的凹凸性及拐点

$f'(x)>0在[a,b]上图形是凹的$
$f'(x)<0在[a,b]上图形是凸的$
曲线拐点为凹凸分界点, 分母不为 0 的，定义域为$(-\infty,\infty)$

曲线的水平、铅直渐近线方程

求水平渐近线方程就是$x\rightarrow\infty$的极值
求铅直线渐近方程，分母=0 求 x 的值就是曲线的方程

不定积分性质及公式

$\int f(x)dx=F(x)+c$
$[\int f(x)dx]'=f(x),d\int f(x)dx=f(x)dx$
$\int dF(x)=F(x)+c,\int F'(x)dx=F(x)+c$
$\int kf(x)dx=k\int f(x)dx$
$\int [f(x)\pm g(x)]dx=\int f(x)dx\pm \int g(x)dx$
$\int x^adx=\dfrac{1}{a+1}x^{a+1}+c,(a\neq 1)$
$\int \dfrac{1}{x}dx=ln|x|+c$
$\int a^xdx=\dfrac{a^x}{lna}+c,(a>0,a\neq1)$
$\int e^xdx=e^x+c$
$\int sinxdx=-cosx+c$
$\int cosxdx=sinx+c$
$\int sec^2xdx=tanx+c$
$\int csc^2xdx=-cotx+c$
$\int \dfrac{1}{\sqrt{1-x}^2}dx=arcsinx+c$
$\int \dfrac{1}{1+x^2}dx=arctanx+c$
$\int secxtanxdx=secx+c$
$\int cscxcotxdx=-cscx+c$

求不定积分的常用方法

换元法（凑微分法） $u=v(x),F[v(x)]是f[v(x)]v'x的原函数$
$\int f[v(x)]v'(x)dx=F[v(x)]+c$
分部积分法
$\int udv=uv-\int vdu$

定积分

$\int_{a}^{b}kf(x)dx=k\int_{a}^{b}f(x)dx$
$\int_{a}^{b}[f(x)dx\pm g(x)]dx=\int_{a}^{b}f(x)dx\pm \int_{a}^{b}g(x)dx$
$\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^{b}f(x)dx$
牛顿-莱布尼茨公式 $\int_{a}^{b}f(x)dx=F(x)|_{a}^{b}=F(b)-F(a)$

洛必达法则

$是否符合“\dfrac{0}{0}”或“\dfrac{\infty}{\infty}”$
$对分子分母同时求导如何还是，那么在求导直至不是“\dfrac{0}{0}”或“\dfrac{\infty}{\infty}”$
$出现分母不为0时就可以直接带入求解$

多元函数偏导数

$求f(x,y)对y的偏导数,将x看为常数，对y求导$
$求f(x,y)对x的偏导数,将y看为常数，对x求导$

二阶偏导数

$\dfrac{\partial}{dx}(\dfrac{\partial z}{\partial x})=\dfrac{\partial^2 z}{\partial x}=z^{''}_xx=f'_{xx}(x,y)$
$\dfrac{\partial}{dx}(\dfrac{\partial z}{\partial x})=\dfrac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}=z^{''}_xy=f''_{xy}(x,y)$
$\dfrac{\partial}{dx}(\dfrac{\partial z}{\partial y})=\dfrac{\partial^2 z}{\partial y \partial x}=z^{''}_yx=f''_{yx}(x,y)$
$\dfrac{\partial}{\partial}(\dfrac{\partial z}{\partial y})=\dfrac{\partial^2 z}{\partial y^2}=z^{''}_{yy}=f''_{yy}(x,y)$

全微分

$dz=\dfrac{\partial f}{dx}dx+\dfrac{\partial f}{dy}dy$
$u=f(x,y,z)可微,du=\dfrac{\partial f}{dx}dx+\dfrac{\partial f}{dy}dy+\dfrac{\partial f}{dz}dz$
求 x,y,z 的偏导数的总和

二元函数极值

$函数z=f(x_0)在点(x_0,y_0)的某领域内连续，有一阶二阶偏导数，且，f'x(x_0,y_0)=0$
$设f''_{xx}(x_0,y_0)=A，f''_{xy}(x_0,y_0)=B，f''_{yy}(x_0,y_0)=C$
$B^2-AC<0在点(x_0,y_0)处取得极值,当A<0有极大值,,当A>0有极小值$
$B^2-AC=0在点(x_0,y_0)处极值不确定$
$B^2-AC>0在点(x_0,y_0)处无极值$

向量代数与空间解析几何$_2$

$平面一般方程Ax+Bx+Cz+d=0$
$x,y,z的系数就是法线向量n的坐标,n={A,B,C}$

二次曲面

$球面:(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2，球心R=(a,b,c)$
$椭球面:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}=1$
$圆柱面:x^2+y^2=R^2$
$椭圆柱面:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$
$双曲柱面:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=-1$
$抛物柱面:x^2-2py=0,(p>0)$ $旋转抛物面:z=x^2+y^2$
$圆锥面:x^2+y^2-z^2=0,\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}-\dfrac{z^2}{c^2}=0表示顶点在原点$

微分方程

$\dfrac{dy}{dx}+p(x)y=q(x)的解法，y=e^{\int p(x)dx}[\int q(x)e^{p(x)dx}dx]+c$
$求微分方程通解,\dfrac{y}{x}=y',(一阶线性微分方程)$ 二阶常系数线性微分方程 $y''+py'+qy=0的通解形式$
$特征方程r^2+pr+q=0的根r_1,r_2$
$\Delta =p^2-4q>0,两个不相等的实根,r_1,r_2,y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}$
$\Delta =p^2-4q=0,两个相等的实根,r_1,r_2,y=(C_1+C_2x)e^{r_1x}$
$\Delta =p^2-4q<0,一对共轭复根，,r_1,r_2=\alpha\pm\beta i,y=e^{ax}(C_1cos\beta x+C_2sin\beta x)$
$若y=c_1y_1+C_2y_2为对应的齐次方根的通解，y^*为非齐次方根的特解$
$则C_1y_1+C_2y_2+y^*为非齐次方程的通解$
$（先求根r_1,r_2,设y^*=Ae^x,得A=-\dfrac{1}{2},y^*=-\dfrac{1}{2}e^x）$
$y''-y'-2y=e^x的通解$
$r^2-r-2=0,r_1=-1,r_2=2$
$齐次方程通解y=C_1e^{-x}+C_2e^{2x}$
$设原特解y^*=Ae^x,带入的A=-\dfrac{1}{2},所以Yy^*=-\dfrac{1}{2}e^x$
$Ae^x {''}-Ae^x{'}-2Ae^x=e^x,y=Y+y^*=C_1e^{-x}+C_2e^{2x}-\dfrac{1}{2}e^x$
$y''+y'+-6y=0的通解,r^2-5r-6=0,r_1=-1,r_2=6$
$y=C_1e^{-x}+C_2e^{6x}(C_1,C_2为任意常数)$

无穷级数

$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}S_n=S,级数\sum_{n-1}^{\infty},U_n收敛，极限值S，记为\sum_{n=1}^{\infty}U_n=S$
$若\lim\limits_{n\rightarrow\infty}Sn不存在，级数发散$
$级数\sum_{n-1}^{\infty}Un收敛，则\lim\limits_{n\rightarrow\infty}Un=0,得若\lim\limits_{n\rightarrow\infty}Un\neq0,级数\sum_{n=1}^{\infty}Un一定发散$
$级数\sum_{n=1}^{\infty}Un=0,级数收敛性不能判断$
$级数\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n}发散，则级数\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^2}收敛$
$级数\sum_{n=1}^{\infty}|U_n|收敛，则\sum_{n=1}^{\infty}U_n一定收敛，\sum_{n=1}^{\infty}U_n为绝对收敛$
$级数\sum*{n=1}^{\infty}|U_n|发散，但级数\sum*{n=1}^{\infty}U*n 收敛，此事收敛为条件收敛$
$\sum*{n=1}^{\infty}U*n 收敛时，\sum*{n=1}^{\infty}V*n 必收敛,\sum*{n=1}^{\infty}U*n 发散时，\sum*{n=1}^{\infty}V*n 必发散$